類牛頓擺球式碰撞裝置的創(chuàng)新性結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

謝玄， 劉波， 代恒， 鄭華生

（武漢科技大學(xué)機(jī)械自動化學(xué)院，武漢430081）

0 引言

本設(shè)計(jì)源于2015年第四屆湖北工程訓(xùn)練綜合能力競賽“單擺球-滾道永動器”項(xiàng)目組，該競賽要求以單擺重力勢能轉(zhuǎn)換為動能驅(qū)動小球沿軌道運(yùn)動，小球沿軌道滾到最高點(diǎn)回落再將單擺打到最高點(diǎn)，總尺寸（包括運(yùn)動部分）長不大于200 mm（平行地平面）,寬不大于40 mm（平行地平面），高不大于180 mm（垂直地平面）。材料主要選擇鋁合金和鋼。除標(biāo)準(zhǔn)件外，所有零件應(yīng)該自己設(shè)計(jì)制造，其中，擺桿直徑為5 mm的實(shí)心剛性桿件，擺錘和滾球必須為等質(zhì)實(shí)心體，擺錘應(yīng)能拆裝以便稱重，否則不予參加比賽。軸承可以設(shè)計(jì)為滾動、滑動、頂針、電磁和氣浮等形式，軌道可以設(shè)計(jì)為圓形、橢圓形、擺線形、直線與曲線組合形等多種形式。根據(jù)動量定理和能量守恒定理，質(zhì)量相等的小球發(fā)生正碰（其中1個(gè)小球初始速度為零），其速度將會互換。基于此，單擺與軌道上的小球相碰后，單擺理應(yīng)靜止，而小球?qū)⒀鼗⌒诬壍肋\(yùn)動。當(dāng)小球返回到軌道最低點(diǎn)，再與單擺正碰，小球靜止而單擺開始擺動，在單擺上升的過程中，其動能轉(zhuǎn)化為重力勢能，到達(dá)最高點(diǎn)后再下降，重力勢能又轉(zhuǎn)變?yōu)閯幽?，并在最低點(diǎn)與小球再次碰撞，如此循環(huán)往復(fù)。理論上講，裝置可以無限循環(huán)往復(fù)運(yùn)動，但事實(shí)上，由于摩擦及碰撞引起的機(jī)械能損失，真正的“永動機(jī)”是不存在的。盡管如此，本作品設(shè)計(jì)的目的是期望在限定單擺初始高度的條件下探究裝置往復(fù)運(yùn)動的總時(shí)間以及碰撞次數(shù)。其研究的意義在于探尋制作一種碰撞實(shí)驗(yàn)教具和能量轉(zhuǎn)換教具，探尋影響能量轉(zhuǎn)換過程中碰撞實(shí)驗(yàn)?zāi)芰繐p耗的主要因素，從而有助于對節(jié)能減排的探索。

1 軌道設(shè)計(jì)

1.1 滑槽的設(shè)計(jì)有以下三種方案

方案一：在圖1（a）中小球與軌道理想為兩點(diǎn)接觸，其受力情況為垂直于兩斜坡面指向球心，因?yàn)榕鲎埠笮∏虻乃俣确较虿皇抢硐氲那芯€方向，若與理想的切線方向有角度的偏移，可能會發(fā)生干涉。

方案二：圖1（b）中小球與軌道為理想的單點(diǎn)接觸，其受力情況垂直于底面向上，小球在運(yùn)動的過程中與軌道始終保持單點(diǎn)接觸，實(shí)現(xiàn)理想的純滾動，這對于減少能量損失有幫助。

圖1（c）中小球與軌道的接觸理想為單點(diǎn)接觸，其摩擦力比圖1（a）和圖1（b）小一點(diǎn)，但是軌道截面形狀的參數(shù)不易求解，加工實(shí)施困難。

圖1 滑槽設(shè)計(jì)方案圖

因此綜合以上三種的方案的比較分析，方案二更有利于加工和減少能量的損失，從而滑槽選擇方案二更適宜。

1.2 球與滾道之間的摩擦力分析

當(dāng)斜面下滑時(shí)（如圖2），重力勢能轉(zhuǎn)換形式：

圖2 球滾道示意圖

式中：h為斜面最高點(diǎn)的高；Vc為小球沿斜面下滑的速度；m為小球的質(zhì)量；Jc為小球?qū)η蛐牡霓D(zhuǎn)動慣量；ω為小球自轉(zhuǎn)的角速度；R為小球的半徑。其中：

球與滾道之間的摩擦可分為滑動摩擦和滾動摩擦，滑動摩擦因數(shù)一般較大，摩擦的能量損失也較大，球在軌道上滑動的整個(gè)過程中產(chǎn)生的損失也最大，而整個(gè)過程中滾動摩擦力只是把平動動能轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)動動能，因?yàn)檗D(zhuǎn)動動能在碰撞過程中大部分損失，所以為了減小碰撞的整個(gè)運(yùn)動過程中能量的損失，必須盡可能地減小平動動能轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)動能，較好的方法就是通過增加軌道和滾球的剛度，從而減小滾動摩擦因數(shù)μ以及正壓力f。由f=μmgcosθ可知，滾槽的水平傾角θ越大，正壓力越小。因此，θ越大，小球與滑槽之間的摩擦力越小。

1.3 軌道基本軌跡的確定

由于能量的損耗效率，V圓弧=W圓弧/T圓弧＞V直線=W直線/T直線。

綜上，對于該單擺球滾道“永動器”的軌道路徑設(shè)計(jì)為圓弧-直線的組合式軌道，如圖3（b）所示選用直線形軌跡，由于希望保持對心碰撞，軌跡底部加工出一段小水平直線，且該段直線的粗糙度較大，便于在小球碰撞擺錘時(shí)，小球?qū)⑥D(zhuǎn)動能轉(zhuǎn)化為較大的摩擦力作用在擺錘上。考慮到命題要求以及工程上的因素，我們選用的軌道為圓弧-直線式組合軌道，其示意圖如圖4所示。直線軌道的周期:T2= R2/g

圖3 軌道基本軌跡示意圖

圖4 軌道示意圖

2 擺系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1 擺錘與滾球的選取

擺錘到達(dá)最低點(diǎn)與位于軌道上的小球發(fā)生正碰，由動量守恒定律，得

由動能守恒定律得

將兩方程聯(lián)立解得：

由式（5）可知，當(dāng) m1=m2時(shí)，v1′=v2，=v2′=v1。

因此，當(dāng)擺錘以速度v1的速度正碰靜止的小球時(shí)，理想狀態(tài)下，擺錘和小球可達(dá)到速度交換，從而實(shí)現(xiàn)永動碰撞的效果。

當(dāng) 3m1=m2時(shí)，由式（5）可推論

由此類推，小球的質(zhì)量是擺錘的3倍時(shí)，依然可以實(shí)現(xiàn)速度交換，理論上，兩種方案都能實(shí)現(xiàn)速度交換，從而實(shí)現(xiàn)不斷碰撞，但由于碰撞能量損失和小球在軌道上滾動時(shí)的摩擦，因此擺錘和小球的速度不斷地交換下去實(shí)際上是不可能的。

當(dāng)選用方案二時(shí)，通過碰撞的速度交換規(guī)律得知，擺錘與滾球在實(shí)際中更容易在碰撞后一起擺動。為了盡可能地實(shí)現(xiàn)擺錘與小球多次碰撞，應(yīng)選用方案一，即小球的質(zhì)量與擺錘的質(zhì)量相等。

其擺錘和小球的參數(shù)為：小球直徑為20 mm，擺錘直徑為20 mm，二者都為實(shí)心鋼球。

2.2 擺錘與擺桿的連接

命題要求擺桿直徑為5 mm的實(shí)心剛性桿件，由于擺桿自身的重量從而影響擺錘與滾球發(fā)生質(zhì)心碰撞，因此為盡可能減小這種影響，擺桿的材料采用鋁合金。擺錘的直徑為20 mm，考慮到擺球?yàn)閯傂詫?shí)心小球，其強(qiáng)度較大，不易攻螺紋孔，因此采用激光打通孔，在擺桿端部打一個(gè)M2.5的螺紋孔，通過緊固螺紋件將擺錘和擺桿相連。其三維設(shè)計(jì)圖如圖5所示。

圖5 擺錘與擺桿連接示意圖

3 螺桿軸的強(qiáng)度校核

根據(jù)圓軸在扭轉(zhuǎn)和彎曲組合變形下的強(qiáng)度條件［4］：其中。代入計(jì)算得MPa，滿足強(qiáng)度條件。

4 總體設(shè)計(jì)與調(diào)試

對于該裝置，我們已經(jīng)討論得出其各個(gè)方面的大致情況，下面進(jìn)行結(jié)構(gòu)尺寸設(shè)計(jì)與調(diào)試。我們在調(diào)試中發(fā)現(xiàn)兩個(gè)小球的碰撞過程分離開的時(shí)間極短，經(jīng)過少量的幾次碰撞后兩個(gè)小球就會在一起擺動，這對于運(yùn)動時(shí)間的延長極為不利，現(xiàn)進(jìn)行如下分析：1）運(yùn)動的小球在軌道上的速度衰減量極大，且最后近似于單擺的簡諧運(yùn)動，在空氣阻力的影響下，經(jīng)過若干次的振動后近似趨于靜止。2）調(diào)試階段我們選取了桿套與滑動摩擦的部分進(jìn)行分析，觀察發(fā)現(xiàn)其影響不大。且分析發(fā)現(xiàn)滑動轉(zhuǎn)軸的精度如果設(shè)計(jì)不夠好，會極大地?fù)p耗能量。3）擺錘與擺球的質(zhì)量影響也比較大，且在運(yùn)動的過程中我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)大球碰撞小球時(shí)其運(yùn)動過程較小球碰撞大球更易粘在一起運(yùn)動。4）小球在軌道上下滾速度太快，致使擺錘與小球在第一次碰撞后運(yùn)動過程無規(guī)律性，且最終的結(jié)果不太理想，這與周期有關(guān)。5）擺錘與小球碰撞點(diǎn)影響極大，因此在設(shè)計(jì)過程中需要能夠滿足支架和桿套可以進(jìn)行一定的微調(diào)。

單擺-球滾道“永動器”總體設(shè)計(jì)的示意圖如圖6所示。

圖6 單擺-球滾道“永動器”總體設(shè)計(jì)圖

5 軌道工藝分析

為了防止軌道過于笨重，以及便于加工，軌道材料選用鋁合金相對比較適宜?；蹫榫匦尾郏浼庸び袃煞N方案［5］：

方案一：用四軸聯(lián)動的數(shù)控機(jī)床銑。

方案二：將軌道分成兩部分進(jìn)行加工，即直接平面數(shù)控銑中間的滑槽面，另一邊的擋板再用螺栓固定。

但是方案一加工難度大，成本高，且滑槽面的精度不夠高，而方案二采用普通的數(shù)控銑機(jī)床就可以加工，因此，從工程管理上考慮優(yōu)先采用方案二加工。

6 結(jié)語

類牛頓擺球式碰撞裝置的設(shè)計(jì)過程涉及理論的推理與分析，特別是軌道設(shè)計(jì)中的方案選取和各部件的尺寸參數(shù)的取值對于“永動”時(shí)間的影響較大，當(dāng)然，在規(guī)定的尺寸約束條件下，工程計(jì)算的結(jié)果只能作為一個(gè)可行的有效解，理論計(jì)算與現(xiàn)實(shí)情況差別的進(jìn)一步縮小，仍需要后續(xù)的深入研究探討。

［1］ 廖耀發(fā)，孫向陽，李云寶，等.大學(xué)物理教程［M］.2版.北京：高等教育出版社，2011.

［2］ 朱長軍，翟學(xué)軍，薛兵．動量及能量轉(zhuǎn)換和守恒的互動式教學(xué)［J］.物理與工程，2010（3）：58-60.

［3］ 濮良貴，紀(jì)名剛．機(jī)械設(shè)計(jì)［M］.8版.北京：高等教育出版社，2010．

［4］ 劉洪文.材料力學(xué)［M］.5版.北京：高等教育出版社，2011.

［5］ 王先逵．機(jī)械制造工藝學(xué)［M］．2版.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006．