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    基于MATLAB優(yōu)化工具箱算法的深溝球軸承的優(yōu)化設計

    2015-11-15 07:22:22廖東升卓明勝何偉光藺維君
    家電科技 2015年8期
    關鍵詞:深溝極小值工具箱

    廖東升 卓明勝 何偉光 藺維君

    (珠海格力電器股份有限公司 廣東珠海 519070)

    MATLAB是矩陣實驗室(Matrix Laboratory)的簡稱,和Mathematical、Maple并稱為三大數(shù)學軟件。它在數(shù)學類科技應用軟件中,在科學計算方面首屈一指。MATLAB可以進行矩陣運算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、實現(xiàn)算法、創(chuàng)建用戶界面、圖像處理、信號檢測、金融建模設計與分析等領域[1]。在空調(diào)領域,深溝球軸承主要用在商用空調(diào)的風機和電機中。目前,軸承的失效在商用空調(diào)的故障率方面占據(jù)了很大的比重,軸承的磨損和發(fā)熱是軸承失效的重要原因。因此,我們尋求一種方法來優(yōu)化軸承的結構,降低軸承失效率,提高商用空調(diào)的質量和使用壽命。

    1 MATLAB優(yōu)化工具箱描述[2]

    MATLAB優(yōu)化工具箱可以求解線性、非線性最小化、最大和最小化、二次規(guī)劃、半無限問題、線性、非線必方程(組)以及線性和非線性最小二乘問題。另外,MATLAB優(yōu)化工具箱還提供線性和非線性最小化、方程求解、曲線擬合以及二次規(guī)劃問題的求解方法。

    1.1 線性規(guī)劃

    線性規(guī)劃標準形式為:

    其中:f—目標函數(shù);A—不等式約束函數(shù)的系數(shù)矩陣;b—不等式約束函數(shù)的常數(shù)向量;Aeq—等式約束函數(shù)的系數(shù)矩陣;beq—等式約束函數(shù)的常數(shù)向量;lb—設計變量下限;ub—設計變量上界。

    MATLAB 優(yōu)化工具箱中,求解線性規(guī)劃的linprog 函數(shù)標準形式為:

    [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

    其中,x—最優(yōu)解;fval—最優(yōu)函數(shù)值;options—設置優(yōu)化選項參數(shù)。

    1.2 非線性規(guī)劃

    非線性規(guī)劃問題包括無約束多元函數(shù)極小值和有約束函數(shù)極小值問題。

    1.2.1 無約束多元函數(shù)極小值

    無約束多元函數(shù)極小值標準形式為:

    求解無約束多元函數(shù)極小值的fminsearch函數(shù)標準形式為:

    [x ,fval]=fminsearch (fun, x0, options, P1,P2,……)

    其中,P1,P2—函數(shù)fun的附加參數(shù)。

    1.2.2 有約束多元函數(shù)極小值

    有約束多元函數(shù)極小值標準形式為:

    其中,C(x)—等式約束函數(shù)的返回向量;Ceq(x)—不等式約束函數(shù)的返回向量。

    求解有約束多元函數(shù)極小值的fmincon函數(shù)標準形式為:

    [x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2,……)

    其中,nonlcon—非線性約束函數(shù)的調(diào)用函數(shù)。

    2 深溝球軸承的優(yōu)化設計[3]

    深溝球軸承是最具代表性的滾動軸承,用途廣泛。適用于高轉速甚至極高轉速的運行,而且非常耐用,無需經(jīng)常維護。該類軸承摩擦系數(shù)小、極限轉速高、結構簡單、制造成本低,易達到較高制造精度。尺寸范圍與形式變化多樣,應用在精密儀表、低噪音電機、汽車、摩托車及一般機械等行業(yè),是機械工業(yè)中使用最為廣泛的一類軸承。在電器行業(yè)領域,深溝球軸承也可以用在商用空調(diào)風機、電機等部件中。

    2.1 優(yōu)化設計變量和目標函數(shù)

    深溝球軸承的摩擦力矩是其磨損和發(fā)熱量的體現(xiàn),把摩擦力矩作為目標函數(shù),影響這個目標函數(shù)值的主要因素有滾珠直徑、滾珠所在圓的直徑,滾珠數(shù)量以及滾道位置角等幾個參數(shù),把這些參數(shù)作為設計變量,尋找摩擦力矩最小時的設計變量的最優(yōu)解。

    表1 優(yōu)化結果對比

    2.1.1 設計變量

    其中:d—滾珠直徑;D—滾珠所在圓的直徑;Z—滾珠數(shù)量;α—滾道位置角。

    2.1.2 目標函數(shù)

    目標函數(shù)是設計問題尋優(yōu)的準則和基礎。本文以摩擦力矩最小為目標函數(shù),則有:

    式中,M—摩擦力矩;Fa—軸承的軸向載荷;Fr—軸承的徑向載荷。于是,目標函數(shù)為:

    2.2 約束條件的建立

    (1)滾珠的接觸強度條件:

    式中,HB為布氏硬度,于是,約束函數(shù)為:

    (2)設計結構尺寸條件:

    約束函數(shù)為:

    3 優(yōu)化實例和結果分析[4]

    已知,軸承軸向載荷Fa=1000N,軸承徑向載荷Fr=2500N。應用MATLAB優(yōu)化工具箱函數(shù)fmincon來求解最優(yōu)解。

    3.1 編寫MATLAB優(yōu)化設計程序

    3.1.1 主程序

    x0=[13 220 40 43];%設計變量的初使值;

    lb=[6 40 5 30];%設計變量的下限值;

    ub=[14.5 250 200 60];%設計變量的上限值;

    [x,fval]=fmincon(@xiul8_4,x0 ,[],[],[],[],lb,ub,@fcon). %求解程序

    3.1.2 目標函數(shù)子程序

    function f=xiul8_4(x)

    f=0.04*((1.5*1000+1.5*2500*tan(pi/180*x(4)))/x(3)/sin(pi/180*x(4)))*x(1)/x(2);

    3.2 優(yōu)化結果

    x(1)= 12.9697;%滾珠直徑%

    x(2)= 250.0000;%滾珠所在圓的直徑%

    x(3)= 45.8762;%滾珠數(shù)量%

    x(4)= 35.3921;%滾道位置角%

    f= 0.3252;%摩擦力矩%

    3.3 優(yōu)化結果分析

    由表1可以看出,優(yōu)化結果是令人滿意的,與優(yōu)化前相比,滾珠所在圓直徑增大了12%,滾珠數(shù)量增加了6個,滾道位置角減小了17.7%,摩擦力矩減小了25%。通過優(yōu)化,使摩擦力矩明顯減小,有效地降低了軸承磨損和發(fā)熱量,從而說明MATLAB對深溝球軸承進行優(yōu)化是可行的。

    4 結語

    MATLAB軟件具有優(yōu)越的計算功能和優(yōu)化功能,應用MATLAB的優(yōu)化工具箱功能解決生產(chǎn)實際中的單目標多約束非線性規(guī)劃或者多目標多約束非線性規(guī)劃問題,可以大幅度提高設計和計算的速度和效率,是解決和處理設計問題的有效工具。將這種方法應用于商用空調(diào)中,可以有效延長軸承的壽命,減小空調(diào)的損壞機率,減少售后維修率,對于空調(diào)品質的改善可以起到重要的作用。

    [1] 周靈.詳解MATLAB工程科學計算與典型應用[M].電子工業(yè)出版社,2010:298-304.

    [2] 蘇金明,阮沈勇,王永利.MATLAB工程數(shù)學[M].電子工業(yè)出版社,2005:245-253.

    [3] 田璐,孫華,戴躍洪,馬宇庭.基于遺傳算法的深溝球軸承優(yōu)化設計研究[J].設計與研究,2010,10(37):12-14.

    [4] 朱愛華,朱成九,張衛(wèi)華.滾動軸承摩擦力矩的計算分析[J].軸承,2008,7:1-3.

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