基于小波去噪與DRNN的光纖陀螺隨機(jī)誤差建模研究

王慶賀

(中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471009)

0 引 言

陀螺儀的測量精度直接影響導(dǎo)航系統(tǒng)的性能，對(duì)其誤差的研究至關(guān)重要。陀螺的誤差可分為系統(tǒng)性誤差與隨機(jī)性誤差，其中又以具有復(fù)雜特性的隨機(jī)誤差作為研究的重點(diǎn)。隨機(jī)誤差為有害噪聲，為減小或者消除隨機(jī)誤差對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)的影響，必須研究隨機(jī)誤差的特性并建模。隨著隨機(jī)誤差理論研究的不斷發(fā)展，Allan 方差、ARMA、小波理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法已經(jīng)被應(yīng)用到陀螺的隨機(jī)誤差分析和建模中［1－4］。目前常用的陀螺隨機(jī)誤差模型有白噪聲與有色噪聲的組合模型、ARMA 模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等。然而陀螺的隨機(jī)誤差是復(fù)雜的噪聲復(fù)合，既有白噪聲又有不同特點(diǎn)的有色噪聲，低頻噪聲與高頻噪聲并存，且其時(shí)序數(shù)據(jù)通常為非平穩(wěn)數(shù)據(jù)。這種復(fù)雜的特性使隨機(jī)誤差的建模存在建模難度大和建模精度不高等問題。針對(duì)這些問題，建模時(shí)選取不同的理論方法來組合應(yīng)用，取得了良好的效果。例如在時(shí)間序列研究中，小波理論和ARMA 方法是最常用的組合［5－7］，這對(duì)陀螺隨機(jī)誤差的建模具有借鑒意義［8－10］。但ARMA 模型為線性模型且建模操作復(fù)雜，相對(duì)于ARMA 建模，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有任意非線性映射的能力。對(duì)角神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(DRNN)是一種局部內(nèi)遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，結(jié)構(gòu)簡單且具有良好的動(dòng)態(tài)特性，利用其建模時(shí)，不必如ARMA 一樣進(jìn)行模型假設(shè)，簡化了建模過程。

因此，本文采用這種理論組合的思路，選擇小波閾值去噪和DRNN 對(duì)陀螺隨機(jī)誤差進(jìn)行建模。首先，根據(jù)陀螺隨機(jī)誤差的特點(diǎn)，將其分為高頻部分和低頻部分;然后，采用小波去噪方法去除高頻噪聲，減小誤差的復(fù)雜程度，再用DRNN 對(duì)去噪后的低頻部分進(jìn)行建模;最后，對(duì)陀螺的實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真分析，結(jié)果表明本文所提出的建模方法是行之有效的。

1 基于小波分析的閥值降噪

1.1 小波變換

小波變換是一個(gè)在時(shí)頻域上都具有良好的局部特性的小波函數(shù)和一個(gè)平方可積函數(shù)的內(nèi)積［12］，如式(1)所示:

其中:f(t)為原始信號(hào);φa，b為小波序列，稱為小波;a(＞0)為尺度因子;b 為位移因子;表示復(fù)數(shù)共軛。φ(t)通過a，b 進(jìn)行伸縮和平移。位移因子b 起著平移作用。尺度因子a 不僅會(huì)改變?chǔ)誥，b的頻譜結(jié)構(gòu)，還會(huì)改變窗口的大小和形狀。a 大時(shí)，對(duì)應(yīng)低頻部分，頻率分辨率高，時(shí)間分辨率低;反之，對(duì)應(yīng)高頻部分，頻率分辨率低，時(shí)間分辨率高。

在實(shí)際應(yīng)用小波變換時(shí)是必須離散化的?？扇≌麛?shù)m，n，取常數(shù)a0＞1，b0＞0，對(duì)a，b 進(jìn)行離散化處理，如式(2)所示:

通常取a0= 2，b0= 1，稱為二進(jìn)小波變換，此時(shí)離散小波函數(shù)如下:

相應(yīng)的離散小波變換為

天津市高等學(xué)校師資培訓(xùn)中心（以下簡稱天津市中心）成立于1990年，受天津市教委和天津師范大學(xué)雙重領(lǐng)導(dǎo)。中心下設(shè)行政辦公室、崗前培訓(xùn)辦公室、信息技術(shù)部、教師資格認(rèn)定辦公室，當(dāng)前業(yè)務(wù)以崗前培訓(xùn)、教師資格認(rèn)定、高校教師網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)為主。

小波變換常采用Mallat 算法［11］。Mallat 算法為一種塔式分解算法，分解算法如下:

其中:f(t)為原始信號(hào)，t = 1，2，3，…，Τ;m 為小波變換分解層數(shù)，m = 1，2，3，…，M，其中M =log2Τ;H，G 分別為低頻分解濾波器系數(shù)和高頻分解濾波器系數(shù);Am，Dm分別為分解得到的低頻小波系數(shù)和高頻小波系數(shù)。Mallat 算法的重構(gòu)如下:

1.2 小波閥值去噪

小波去噪方法可分為三大類［11］。第一類為小波變換模極大值去噪;第二類為基于小波變換的相關(guān)去噪;第三類為閥值去噪，為最常用方法。小波閥值去噪基于多分小波變換:不同尺度的小波變換會(huì)表現(xiàn)出不同的形態(tài)，構(gòu)造出相適應(yīng)的規(guī)則，以減小甚至完全置零噪聲產(chǎn)生的系數(shù)，同時(shí)最大限度保留有用信號(hào)的系數(shù)。小波閥值去噪的步驟歸納如下:

(1)選取合適的小波基函數(shù)和分解層數(shù)，對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波分解;

(2)根據(jù)信號(hào)和噪聲的不同頻率特點(diǎn)，對(duì)分解得到的系數(shù)進(jìn)行閥值量化。小波變換較為細(xì)致地劃分了信號(hào)不同頻率成分，在不干擾有用信號(hào)的基礎(chǔ)下，對(duì)噪聲系數(shù)進(jìn)行閥值量化完全可行;

(3)重構(gòu)信號(hào)。

小波閥值去噪的關(guān)鍵是如何選取閥值，如何進(jìn)行閥值的量化。對(duì)于閥值確定規(guī)則，閥值量化方法，文獻(xiàn)［11］有非常全面的介紹，在此不再贅述。

2 對(duì)角神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(DRNN)

對(duì)角遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Diagonal Recurrent Neural Network，DRNN)為內(nèi)部遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其隱層神經(jīng)元只接收自我延遲反饋且與其他同層神經(jīng)元無反饋連接。相比全局反饋遞歸網(wǎng)絡(luò)(如Elman 網(wǎng)絡(luò)等)，DRNN 的結(jié)構(gòu)更簡單，這使其在保留動(dòng)態(tài)映射能力的同時(shí)有更快的學(xué)習(xí)速度。DRNN 的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 DRNN 結(jié)構(gòu)圖

圖1 所示為三層DRNN 網(wǎng)絡(luò)，設(shè)輸入神經(jīng)元為n個(gè)，隱層神經(jīng)元為h個(gè)，一個(gè)輸出神經(jīng)元。DRNN的數(shù)學(xué)模型如下:

式中:O(k)為DRNN 輸出;Sj(k)，Xj(k)分別為隱層第j個(gè)神經(jīng)元的輸入與輸出;Ii(k)為第i個(gè)輸入神經(jīng)元的輸入;下標(biāo)為零輸入的代表偏置輸入，賦值為1。WI為輸入層至隱層的權(quán)值矩陣與偏置值;WO為隱層至輸出層的權(quán)值矩陣與偏置值;為隱層神經(jīng)元自反饋的權(quán)值與偏置值。隱層神經(jīng)元F(x)取S 函數(shù)，輸出神經(jīng)元取purelin 函數(shù)為激活函數(shù)。

建模時(shí)，I(τ)為DRNN 網(wǎng)絡(luò)τ 時(shí)刻的輸入，為了進(jìn)行預(yù)測，取其中)代表t 時(shí)刻輸出的估計(jì)值，且有n = 2。如此可使輸出為1)的函數(shù)，且不必如外遞歸網(wǎng)絡(luò)或ARMA 確定模型的階次［13］。此時(shí)網(wǎng)絡(luò)輸出為τ 時(shí)刻期望輸出的估計(jì)值，從而實(shí)現(xiàn)預(yù)測。

DRNN 的學(xué)習(xí)算法可使用通過時(shí)間的反向傳播(BPTT)算法(BP 算法擴(kuò)展形成的)。此外，引入LM 算法優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練會(huì)比單獨(dú)使用BP 算法有更快的收斂速度［14］。本文采用適用于DRNN 的LMBP 算法為訓(xùn)練算法。

對(duì)于DRNN 網(wǎng)絡(luò)，數(shù)學(xué)描述如式(9)～(11)所示。取性能函數(shù)如下:

其中，

由式(12)～(17)可以求得雅可比矩陣，從而推導(dǎo)出DRNN 的LM 算法。

3 基于小波去噪與DRNN 的隨機(jī)誤差建模仿真

由于工作原理和環(huán)境干擾等原因，光纖陀螺存在多種確定性誤差和隨機(jī)性誤差，輸出信號(hào)是非平穩(wěn)且弱非線性的，傳統(tǒng)去噪方法效果并不理想。陀螺隨機(jī)誤差主要包括量化噪聲，角度隨機(jī)游走，零偏不穩(wěn)定性(1/f 噪聲)，角速率隨機(jī)游走，速率斜坡，正弦分量等［15］。本文以光纖陀螺實(shí)測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，對(duì)隨機(jī)誤差進(jìn)行分析。

圖2 為一組光纖陀螺在靜基座下X 軸的隨機(jī)誤差數(shù)據(jù)。陀螺采樣周期為1 Hz，采樣時(shí)間為7 h，現(xiàn)截取陀螺穩(wěn)定運(yùn)行后14 000 s 的數(shù)據(jù)。

圖2 光纖陀螺隨機(jī)誤差

對(duì)于所采集的隨機(jī)誤差數(shù)據(jù)，其特性可從時(shí)域與頻域兩方面進(jìn)行分析。時(shí)域上，可采用相關(guān)性分析法;頻域上，可進(jìn)行功率譜密度(PSD)分析，能夠更好的辨識(shí)出周期性誤差。此外，Allan 方差方法是由David Allan 提出的，是一種時(shí)域分析方法，能夠細(xì)致地對(duì)噪聲統(tǒng)計(jì)特性的貢獻(xiàn)進(jìn)行表征與辨識(shí)，而且具有便于計(jì)算、易于分離等優(yōu)點(diǎn)［16］。對(duì)于本組數(shù)據(jù)的分析結(jié)果如圖3 ～5 所示。

圖3 隨機(jī)誤差相關(guān)性分析圖

圖4 隨機(jī)誤差PSD 分析

圖5 Allan 方差分析

從圖3 ～4 可以看到，隨機(jī)誤差自相關(guān)與互相關(guān)曲線都具有嚴(yán)重的拖尾現(xiàn)象，功率譜密度圖出現(xiàn)尖峰，這說明隨機(jī)誤差里含有周期性噪聲和有色噪聲;圖5 Allan 方差辨識(shí)結(jié)果也支持這一點(diǎn)結(jié)論，并且可以從圖上更細(xì)致地辨識(shí)各種誤差;數(shù)據(jù)中白噪聲范圍分布較廣，周期性噪聲集中在中高頻部分，有色噪聲一般集中在低頻部分，可能會(huì)與集中在低頻部分的有用信號(hào)混淆，很難從頻域角度對(duì)其進(jìn)行分離［17－18］?？傊?，多種復(fù)雜的噪聲項(xiàng)使隨機(jī)誤差的建模非常繁瑣且制約其精度。

小波變換能平穩(wěn)化信號(hào)，基于小波多分辨的閥值去噪優(yōu)于基于傅立葉變換的傳統(tǒng)去噪方法。對(duì)角神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(DRNN)具有內(nèi)遞歸特性和局部反饋特性，動(dòng)態(tài)性能優(yōu)于ARMA、前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，且節(jié)點(diǎn)少于全局反饋網(wǎng)絡(luò)，有更好的動(dòng)態(tài)性和實(shí)時(shí)性。本文采用這兩種理論進(jìn)行組合來處理陀螺隨機(jī)誤差并建模。首先對(duì)隨機(jī)誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行小波閥值去噪，濾除高頻噪聲;然后對(duì)去噪后的噪聲進(jìn)行DRNN 建模，并進(jìn)行預(yù)測。

利用小波去噪需要選取小波基函數(shù)和分解尺度，在這兩點(diǎn)確定后再進(jìn)行閥值選取和量化。對(duì)于小波函數(shù)，綜合考量計(jì)算量和去噪效果，經(jīng)對(duì)比實(shí)驗(yàn)后選取sym4 小波;在分解層次大于4 尺度后，高頻系數(shù)均值出現(xiàn)較大波動(dòng)，所以選取分解尺度為4層。各層低頻、高頻系數(shù)如圖6 所示;采用軟閥值去噪，效果如圖7 所示，經(jīng)去噪后，陀螺隨機(jī)噪聲方差從0.008 8 降到6.59e-4，降噪效果明顯。

圖6 小波分解各層系數(shù)

圖7 小波去噪效果圖

小波變換具有非因果性，且不具有平移不變性，不能實(shí)現(xiàn)時(shí)間序列的遞推估計(jì)，這限制了小波去噪的在線應(yīng)用。

從時(shí)間序列分析角度出發(fā)，研究對(duì)象的模型是非常有效的，大部分基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的建模都是以此開展的。利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行建模已經(jīng)有不少的研究應(yīng)用，其主要思想是仿照ARMA 模型方法進(jìn)行非線性的建模［13］，具有延遲的外部遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)非常好的體現(xiàn)了這一特點(diǎn)。對(duì)角遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為具有延遲的內(nèi)遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，同外遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一樣可以實(shí)現(xiàn)時(shí)間序列建模、預(yù)報(bào)，且不需要事先知道模型的階次。小波去噪后，引入DRNN 對(duì)剩余的低頻噪聲進(jìn)行建模，實(shí)現(xiàn)遞推是可實(shí)現(xiàn)的。

本文采用具有3 層結(jié)構(gòu)的DRNN，輸入層含兩個(gè)神經(jīng)元，兩個(gè)輸入分別為當(dāng)前時(shí)刻值和當(dāng)前時(shí)刻的估計(jì)值;輸出層含一個(gè)神經(jīng)元，網(wǎng)絡(luò)的輸出為下一時(shí)刻的估計(jì)值;隱層神經(jīng)元經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)后取15個(gè)。隱層神經(jīng)元傳遞函數(shù)為S 型函數(shù)，輸出神經(jīng)元傳遞函數(shù)為purelin 函數(shù)。取去噪后2 500 組數(shù)據(jù)，對(duì)前500 組數(shù)據(jù)進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練建模，后2 000 組數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練數(shù)據(jù)跟期望數(shù)據(jù)對(duì)比如圖8 所示，2 000 組預(yù)測效果如圖9 所示。

圖8 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練效果

圖9 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測效果

圖8 中，低頻部分經(jīng)DRNN 建模采用LMBP 算法收斂速度非?？?。從圖9 可以看到DRNN 泛化能力較好，所預(yù)測的輸出與期望的數(shù)值基本吻合。定量分析發(fā)現(xiàn)，DRNN 建模誤差均值為－0.002 5，方差為4.387 0e-4;利用DRNN 模型進(jìn)行預(yù)測的誤差均值為－1.028 4e-4，方差為5.774 5e-5。并且經(jīng)殘差自相關(guān)與互相關(guān)分析發(fā)現(xiàn)，DRNN 模型的誤差和預(yù)測的誤差都為白噪聲過程。

4 結(jié) 論

針對(duì)光纖陀螺隨機(jī)誤差，本文組合采用小波閥值去噪和DRNN 的建模并仿真驗(yàn)證。結(jié)果表明，采用這兩種方法組合處理光纖陀螺隨機(jī)誤差，能夠有效地對(duì)隨機(jī)誤差建模和補(bǔ)償，從而提高慣導(dǎo)系統(tǒng)的測量精度。但同時(shí)，小波去噪和DRNN 建模都存在實(shí)時(shí)性較差的問題，需進(jìn)一步研究相對(duì)應(yīng)的快速算法以應(yīng)對(duì)工程應(yīng)用。

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