模糊智能決策樹模型與應用研究

魚先鋒，耿生玲

1.青海師范大學 計算機科學學院，西寧810008

2.商洛學院 數(shù)學與計算機應用學院，陜西 商洛726000

模糊決策是一門對決策信息進行推理、計算和決策的方法論，奠定了智能決策的基礎。在許多決策環(huán)境下，專家往往根據(jù)他們在本領域的常識來評判一列備選方案，而在絕大多數(shù)情況下，他們的認知無法量化而只能用抽象的語言術語來表達。例如，在評估大型工程項目時，專家可能會說“這個項目在理論上基本上是好的，但是可行性有一點兒弱”。再如專家描述某工程會說，在當前階段實施某種方案，完成工程的難度“大”或“小”。在這兩個例子中，專家不可能用精確的數(shù)值來描述“基本上”“一會兒”“一點兒”“大”“小”這些詞匯的精準含義，但是人們都能夠理解它們所表達的意思。在許多現(xiàn)實的定性決策問題中，用語言術語，比如“快”的速度，“高”的價格，“低”的溫度，“好”的績效等，來表達專家的觀點非常普遍而且直觀易懂。然而，雖然語言術語與人們的認知非常接近，但是，語言術語的運算較復雜。1965 年Zadeh 提出了模糊集理論（fuzzy sets），1986年Atanassov 提出了模糊集理論（intuitionistic fuzzy sets）；將定性的信息定量化，來表達人們的定性決策信息。雖然決策信息的取值沒有數(shù)字那么精確，但是它增強了決策信息表達的可行性、靈活性和可信度，在許多不同的研究領域取得了很好的效果。

模糊樹模型在控制和決策方面取得了很多成功應用。而這些應用在樹模型上或者側重某種具體約束問題的控制策略設計，比如單輸入輸出系統(tǒng)；或者控制策略基于特定機制或策略比如自適應機制、最小Wilcoxon 學習方法等。本文根據(jù)不同的推理和決策需求，將提出不同的模糊推理規(guī)則和模糊合成規(guī)則，以刻畫不同的決策過程。并將加權函數(shù)引入決策過程，刻畫決策屬性對決策結果的重要程度。本文將建立更具靈活性和普適性的模糊樹模型。將各種推理控制策略形式化為模糊智能決策樹的邊，推理前提和控制信息形式化為節(jié)點，自動控制，智能選擇，靈活高效，具有普適性。將工程決策問題的成本和收益形式化為邊上的權值，并考慮權值偏好、決策可行性等刻畫，建立了加權模糊智能決策樹模型用以求解最優(yōu)決策。討論了基于模糊智能決策樹做智能控制，和基于加權模糊智能決策樹求最優(yōu)決策方案的算法復雜度，最后結合模糊智能洗衣機控制和工程最優(yōu)決策方案求解的應用實例說明文中給出的模型和算法是合理有效的。

1 模糊智能決策樹

先介紹模糊數(shù)學和模糊推理的幾個基本概念。

（模糊集）集合上的模糊集合（fuzzy set）是一個映射:→[0,1]，也稱為模糊集合的隸屬函數(shù)，常記為μ，?∈，μ()稱為屬于模糊集的隸屬度。模糊集合有以下幾種記法：

（1）={(,())|∈}；

用()表示上模糊集合的全體，即()={|:→[0,1]}。

設,∈()，若?∈有()≤()，則稱含于，或包含，記作?。若?∈，有()=()，稱等于記作=，則((),?)為偏序集。

設,∈()，與的并?，交?，補A的隸屬函數(shù)定義為：

(?)()=()∨()=max{(),()}

(?)()=()∧()=min{(),()}

A()=1-()

顯然，若,∈()，則：

?,?,A∈()

另外，若A∈()(∈)，則可定義模糊集合的任意并與任意交的運算如下：

模糊邏輯推理是建立在模糊邏輯基礎上的不確定性推理方法，是在二值邏輯三段論基礎上發(fā)展起來的。這種推理方法以模糊命題為前提，動用模糊產(chǎn)生式規(guī)則，推導出一個近似的模糊結論。

（模糊命題）含有模糊概念、模糊數(shù)據(jù)的語句稱為模糊命題。它的一般表示形式為：

其中，是模糊概念，用模糊集及隸屬函數(shù)刻畫；是論域上的變量，用以代表所論述對象的屬性；是模糊命題的可信度。

（模糊推理）模糊產(chǎn)生式規(guī)則的一般形式是→(,)。其中，是用模糊命題表示的模糊條件；是用模糊命題表示的模糊結論；∈[0,1]是前提的隸屬度，表示前提的可信度；∈[0,1]是推理的隸屬度，表示該推理的可信程度。

（1）組合前提的不確定性計算：可采用最大最小法，當組合前提是多個單一前提的合取時，若已知(),(),…,(E)，則()=min{(),(),…,(E)}；當組合前提是多個單一前提的析取時，若已 知(),(),…,(E)，則()=max{(),(),…,(E)} ；當前提是模糊命題的否定時，(?)=1-()。

（2）結論不確定性的更新：基于乘法原理，由產(chǎn)生式→(,)確定的結論的隸屬度()=()·。

（3）結論不確定性的合成：由多條不同前提推出了相同的結論，但可信度不同，則用合成算法求出綜合可信度。設有推理→(,)，→(,)，則據(jù)容斥原理：

依據(jù)最大隸屬原則：

依據(jù)保守可信原則：

式（1）～（3）可根據(jù)實際情況選擇一種即可。

當三條以上推理具有相同結論，需要合成推理時，先合成兩條生成一條，再將新生成的一條與第三條進行合成，直至將所有推理合成一個。

下面給出模糊智能決策樹模型。先約定∈N，決策等級標識集合（decision grade label set）={1,2,…,}。

（模糊智能決策樹）模糊智能決策樹模型（fuzzy intelligent decision tree，F(xiàn)IDT）是一個四元組,=(,,,)。其中，為葉子節(jié)點之集，記錄初始決策條件，為內部節(jié)點，存儲計算中間決策條件，為根節(jié)點，存儲計算最終決策結果。為邊集，刻畫模糊決策函數(shù)。圖1 給出了模糊智能決策樹的框架示意圖。在圖1 中用圓圈表示葉子節(jié)點，用矩形表示內部節(jié)點，用圓矩形表示根節(jié)點，用箭頭代表決策邊集。

圖1 模糊智能決策樹框架示意圖Fig.1 Frame diagram of fuzzy intelligent decision tree

中各種節(jié)點和邊具體定義如下：

（葉子節(jié)點）葉子節(jié)點（original decision node）是一個三元組，=(,,)，其中：

（1）為原始決策條件的特征數(shù)量值；

（2）模糊信度函數(shù):→[0,1]，用以原始決策條件的模糊化；

（3）一級模糊決策函數(shù):→[0,1]對應一個指向其父節(jié)點即一個[1]的邊。

（內部節(jié)點）內部節(jié)點為中間決策節(jié)點（middle decision node），是一個三元組，=(,)遞歸定義為：

（1）記[]∈,∈為決策樹中一個第級決策節(jié)點；則[]為[]的子節(jié)點之集，遞歸定義為：

[]={[-1]|([-1],[])＞0}

（2）中間模糊決策函數(shù)定義為:[]→[0,1],+1 ∈，對應一個[]指向其父節(jié)點即一個[+1]的邊，即[]∈[+1]刻畫了決策規(guī)則，[]→[+1](,)即在[]條件的信度為([])的前提下推理到 結論[+1] 的 信 度([+1])。的具體計算已經(jīng)在定義6 關于模糊推理計算的定義中給出。

（3）?,+1 ∈遞歸定義，([+1])=([])。在多級推理決策中第級的結論就是第+1 級的前提。

（4）∈N，若某一決策等級有節(jié)點個，此級節(jié)點標號集合（node ordinal number set）={1,2,…,}。?∈,∈，[][] 表示第層的第個節(jié)點。

（根節(jié)點）根節(jié)點為終級決策節(jié)點（final decision node），是一個二元組=([],,)，其中：

（1）[]為第級決策節(jié)點，記錄模糊的推理結果。

（2）={,,…,ch}表示決策結果的不同等級的特征值；?ch∈為決策結果為等的特征值。

（3）去模糊化函數(shù):[]→，用以決策的模糊化結果[]去模糊化成一個特征函數(shù)值（一般是非負實數(shù)）。例如定義：

其中，[][]為決策結果為等的隸屬度；ch∈為決策結果為等的特征值。

（邊集）邊集={,,}表示決策函數(shù)集合，其中為一級模糊決策函數(shù)，為中間模糊決策函數(shù)，為去模糊化函數(shù)。

（樹高，層高）設是一個模糊智能決策樹，將要做被決策對象的級決策。定義根節(jié)點所處層數(shù)為0，記為()=0；第級節(jié)點[]所處層數(shù)為-+1，記為([])=-+1；若max{([])|∈}=，則稱的高度()=。

（樹杈，子樹）設是一個模糊智能決策樹，?[]∈，∈為決策樹中一個第級決策節(jié)點，則稱以[]為根節(jié)點的樹記為([])，為的一棵子樹。若[]的子節(jié)點之集為[]，若|[]|=∈N，則稱[]節(jié)點分了叉。進一步，若在中有max{|[][]||∈,∈}=，則稱為一棵叉樹。

定義12 和定義13 是為了自然地參照經(jīng)典樹理論的術語描述的性質。經(jīng)典樹理論的其他概念像滿叉樹、完全叉樹等概念也可以很容易拓展到，這里不再贅述。

（的規(guī)模）設=(,,,) 是一個叉模糊智能決策樹,()=。則有：

（1）||=1,|[1]|=1；

（2）||≤n；

（3）||≤(n-1)/(-1)；

（4）||=||+||+||-1 ≤(n-1)/(-1)，邊數(shù)比節(jié)點數(shù)少1。

用數(shù)學歸納法在上按層歸納得到各層節(jié)點數(shù)是關于層數(shù)的等比數(shù)列，公比為，再用等比數(shù)列求和公式很容易證得定理1 中的結論。結論中全是不等式而非等式，因為對具體決策問題生成的一般不會是滿叉樹，或叉完全樹。

（空間復雜度）設=(,,,)是一個叉模糊智能決策樹，()=。則的節(jié)點數(shù)為||+||+||，邊數(shù)為||；的空間復雜度為(n。

由定理1 的結果，定理2 是顯然的。

（時間復雜度）設=(,,,)是一個叉模糊智能決策樹，()=。則用做智能決策需要做||+||+||次運算，的時間復雜度為(n。

決策初始在葉子節(jié)點做原始數(shù)據(jù)模糊化需要||次運算。根據(jù)定義6 和定義9 關于模糊決策算子的定義，用做智能決策需要做||次乘法求決策更新，[]=[][]?([][])，需做最多4(-1)||次運算求決策合成。再將定理1結果帶入，就得到的時間復雜度為(n。

需要指出的是雖然的計算復雜度形式上為樹杈數(shù)關于樹高的指數(shù)形式(n。但慶幸的是現(xiàn)實中樹高也就是決策等級一般比較小，≤4，大多數(shù)情況下=3 或=2。因此用做智能決策是高效的，不會出現(xiàn)狀態(tài)爆炸。

2 加權模糊智能決策樹

工程決策中要考慮成本、收益，決策者對不同成本、收益的偏好，以及不同決策方案的可行性。接下來將這些決策信息融合到?jīng)Q策樹模型中建立加權模糊智能決策樹模型，并給出基于該模型求解融合多屬性信息的最優(yōu)工程決策方案。

（加權模糊智能決策樹）加權模糊智能決策樹（weight fuzzy intelligent decision tree，）是一個二元組，=(,)。其中，=(,,,) 為模糊智能決策樹，加權函數(shù)為:→，給的每一條邊∈賦上一個非負實數(shù)作為邊上的權值()。

（決策路徑與路徑可達測度）若中存在序列=[],[1][],[2][],…,[][j]滿足[][j]∈[+1][j]?，[]∈，∈, j∈，則稱為一條特征長度為的決策路徑；記[0][]=[]，稱：

（1）在工程決策中決策路徑（定義15）和決策子樹（定義13）對應著部分目標決策策略；決策通路（定義16）和對應著完整的決策策略。

（2）路徑長度是邊上權值之和，現(xiàn)實中用以刻畫工程的收益（profit）或成本（cost）；當然工程決策中最優(yōu)的策略應滿足成本盡可能小而收益盡可能大。

（3）在有些決策問題中成本和收益在邊上是鋼性的或者說是分明的，比如一段工程必須花費多少錢，某個產(chǎn)品必然可以有多少利潤；這樣的話在求決策通路的加權長度時令([][j])=1；只考慮邊上的絕對權值，不考慮邊上的可能測度。

（決策收益與成本）記()為中所有的決策通路之集，?∈()。()=wl()表示決策路徑上的收益；()=wl()表示決策路徑的成本。

（受限決策路徑）在某一工程決策中有決策要求(,)，其中，向量對(,)∈R×R，其中R表示正實數(shù)，,∈N分別表示成本和收益的種類數(shù)。若?∈()，滿足(,),記作╞(,)，當且僅當?c∈,={1,2,…,}，(,)≤c且?p∈,={1,2,…,}，(,)≥p。即滿足(,)要求的所有種類的成本的約束。

記(,)={|∈(),╞(,)}為滿足約束(,)的受限路徑之集。

（收益與成本規(guī)范化）在某一工程決策中對有要求(,)，若(,)≠?，(,)∈R×R，()=。?∈{1,2,…,},∈{1,2,…,},∈{1,2,…,}，c表示成本的第個分量；p表示收益的第個分量；則收益與成本規(guī)范化為：

顯然規(guī)范收益與收益正相關，成本與規(guī)范成本負相關；而且他們都被規(guī)范到[0,1]上。這樣做有兩個好處：（1）規(guī)范化數(shù)據(jù)到同一量綱，便于數(shù)據(jù)的融合；（2）這樣規(guī)范化后的收益和成本沿路徑累加起來可以刻畫決策路徑的優(yōu)劣。

（最優(yōu)決策路徑）在某一工程決策中對有要求(,)，若(,)≠?，(,)∈R×R，={,,…,λc}為各種成本的偏好系數(shù)，={,,…,λp}為各種收益的偏好系數(shù)；()=。?∈{1,2,…,},∈{1,2,…,},∈{1,2,…,}，?∈(,)，記=,[1],[2],…,[]，=[0],=[+1]，()為路徑的可達測度，則關于成本的規(guī)范測度為：

式中，nc是邊([-1],[])=e∈上成本的第個分量的規(guī)范化；關于收益的規(guī)范測度為：

記滿足(,) 的最優(yōu)測度為(,)=max{(,,)|∈(,)}，這樣(,)對應的路徑記為(,)，即為滿足(,)的最優(yōu)決策路徑。

求最優(yōu)決策路徑算法

（1）按照定義7～定義11 和定義14，從葉子節(jié)點到根節(jié)點，計算生成=(,)；節(jié)點用結構體存儲，包括隸屬度（前提）、信度（邊即決策函數(shù)）和邊上的權值（成本和收益），還有指向其父節(jié)點、子節(jié)點、兄弟節(jié)點的指針。

（2）遍歷生成受限決策路徑之集(,)。

①輸入決策要求(,)；成本的偏好系數(shù)={,,…,λc}，收益的偏好系數(shù)={,,…,λp}；并根據(jù)定義15 確定路徑測度()。

②路徑標號=1，路徑當前狀態(tài)標號[][]=[0][0]，路徑收益(π=0，路徑成本cost(π=0。

③從根節(jié)點開始遍歷找到最左邊第一個葉子節(jié)點[]，[][]=[]。

④將[][]的所有兄弟節(jié)點依次壓入棧_中。

⑤訪問[][]的父節(jié)點[+1][]，計算：

若(π≤且(π≥，則++；將[+1][]添加到路徑π上，若≤，執(zhí)行④；否則將π添加到(,)中。

否則，若-存在[]的兄弟，從-中彈出[]的緊鄰兄弟[][+1]，=+1,執(zhí)行⑤。

若-不存在[]的兄弟，--,=0；若≥0,執(zhí)行⑤；否則結束（2）。

（3）生成受限決策路徑集的規(guī)范組合測度集合。若(,)≠?，基于(,)中的路徑，求得規(guī)范組合測度集合{(,,)|∈(,)}。

（4）在規(guī)范組合測度集合{(,,)|∈(,)}中打擂臺，打出最大的元素(,)對應的∈(,)，即為(,)。

（算法復雜度）若決策問題形式化為=(,)，是一個叉加權模糊智能決策樹，()=。則求解滿足(,)，(,)∈R×R的最優(yōu)決策路徑的空間復雜度都為(lun)，時間復雜度為(lun。

空間開銷在的每條邊∈上多了個權重()，多出||≤(n-1)/(-1)個空間，故空間復雜度為(lun)。在中的決策通路與葉子節(jié)點一一對應|()|=||≤n，每條通路特征長度為。求(,)是要計算每條路徑的收益和成本需要做4次乘法，2(-1)次加法，復雜度為(n；基于(,)求規(guī)范組合測度集合要做規(guī)范化，復雜度為(lun；求(,)需要打擂臺，復雜度為|(,)|≤|()|=||≤n。因此算法時間復雜度為(lun。

3 決策實例

下面給出基于的智能決策和基于最優(yōu)決策求解的應用實例。

3.1 基于FIDT 的智能決策

將應用到洗衣機的智能控制中。模糊智能洗衣機可以根據(jù)洗滌物的種類、污泥和油脂程度來自動選定洗滌時長與旋轉強度。選取污泥含量、油脂含量作為決策屬性；洗滌時間作為控制信息，定義輸入輸出量的隸屬度函數(shù)并建立模糊規(guī)則。

洗衣機通過借助光度傳感器來檢測沖洗用水透明度的方法，測出沖洗水中污泥含量∈[0,100](%)和油脂含量∈[0,100](%)。根據(jù)污泥含量與油脂含量的檢測數(shù)據(jù)，來確定洗滌時間∈[0,80](min)。用葉子節(jié)點[1]表示污泥，[2]表示油脂。根據(jù)生活經(jīng)驗，可將污泥含量的程度分為污泥少（SN）、污泥中（MN）和污泥（LN），并將其涵蓋于的論域[0,100]，其隸屬度函數(shù)如圖2給出了污泥含量[0,100](%)對“SN”“MN”“LN”3 個等級的隸屬度的一種定義；由圖知若污泥含量為65%，則隸屬度為：

圖2 污泥含量對各等級的隸屬度曲線Fig.2 Membership curve of sludge content to each grade

如圖3 給出了油脂含量0%～100%對“油脂少（SZ）”“油脂中（MZ）”“油脂多（LZ）”的隸屬度的一種定義；由圖知若當前油脂含量為40%，則其隸屬度為：

圖3 油脂含量對各等級的隸屬度曲線Fig.3 Membership curve of grease content to each grade

[][]，∈{1,2},∈{1,2,3}表示決策屬性對等級的隸屬度所對應葉子節(jié)點，例如[2][3]刻畫油脂含量為油脂多。

洗滌時長劃分為很短（TVS）、較短（TS）、適中（TM）、較長（TL）和很長（TVL）5 個等級。表1 定義了一種不同污泥含量和油脂含量等級組合下需要洗滌時長等級的分明推理規(guī)則。9 條推理規(guī)則對應9 個1 級內部節(jié)點和18 條邊。比如第4 條“ 4.∧→”對應圖4 所示的一棵決策子樹。

表1 模糊合成推理規(guī)則庫Table 1 Rule base of fuzzy synthetic reasoning

圖4 TM(4)對應的決策子樹Fig.4 Decision tree corresponding to TM(4)

TM(4)形式化為([1][2],[2][1])=[1][4]。

由于污泥（65%）對SN，油脂（40%）對LZ 的隸屬度為0，表1 規(guī)則庫中的SN 行和LZ 列不被激活。激活規(guī)則如表2 所列。

表2 被激活規(guī)則Table 2 Activated rules

實際上決策樹中有4 個1 級內部節(jié)點，8 條1 級邊，8 個葉子節(jié)點。這一結果直觀地體現(xiàn)了定理1 中的結論全是不等式而非等式，因為對具體決策問題生成的一般不會是滿叉樹，或叉完全樹。

由表2 知有如下4 條規(guī)則被激活：

（4）∧→

（5）∧→

（7）∧→

（8）∧→

由于規(guī)則條件中連接兩個條件（2 個葉子）的是“且”，在此選用取最小值法確定4 條規(guī)則（8 條邊1 級邊）的強度：

規(guī)則4：污泥對MN 隸屬度為0.70，油脂對SZ 隸屬度為0.20，min(0.70,0.20)=0.20。

規(guī)則5：污泥對MN 隸屬度為0.70，油脂對MZ 隸屬度為0.80，min(0.70,0.80)=0.70。

規(guī)則7：污泥對LN 隸屬度為0.30，油脂對SZ 隸屬度為0.20，min(0.30,0.20)=0.20。

規(guī)則8：污泥對LN 隸屬度為0.30，油脂對MZ 隸屬度為0.80，min(0.30,0.80)=0.30。

規(guī)則4 和規(guī)則5 的結論都為TM,根據(jù)定義6 的式（1）按容斥原理合稱為：

0.2+0.7-0.2×0.7=0.76

結論為洗滌時間適中的隸屬度最終為0.76，同理可得結論為洗滌時間較長的隸屬度最終為0.44。這就生成了2 級決策節(jié)點[2][2],[2][3]，分別刻畫洗滌時間為中和洗滌時間為長，[2][1]沒有在此決策問題中出現(xiàn)。

表3 將各洗滌時長等級映射到一個具體的時長。

表3 洗滌等級的特征函數(shù)Table 3 Characteristic function of washing grade

根據(jù)定義10 對終極決策信息的定義，

計算最終洗滌時長（單位min）輸出如下：

因為38.6 ≥5，所以當污泥含量65%，油脂含量40%，智能洗衣機將自動洗滌約38.6 min；38.6 min 后智能洗衣機將再次獲取彼時污泥含量和油脂含量進入下一周期模糊控制洗衣。

3.2 基于WFIDT 最優(yōu)決策求解

某公司計劃把一種新產(chǎn)品投放市場，公司管理者希望能盡快地推出該新產(chǎn)品以搶占市場。設有4個沒有時間重疊的階段沒有完成，包括正以正常速度進行的研究工作（第一階段）。然而，每個階段的實施水平可以從正常水平提高為優(yōu)先水平或應急水平，使之能夠加速完成，而且最后3 個階段都可以考慮提高實施水平。第一階段可以以正常速度完成，也可以加速完成。正常、優(yōu)先、應急標記為、、。管理層現(xiàn)在預計給研究、研制、制造系統(tǒng)設計、開始生產(chǎn)和分銷這4 個階段標記為、、、；撥款3 000 萬人民幣，盡量在11 個月內推出產(chǎn)品，還要盡可能地確保質量問題。

不同工程進度水平下4 個階段完成所需要的時間列在表4 中。各階段預計費用在表5 中給出。各階段完成的可能性（隸屬度）在表6 中給出。

表4 不同水平下4 個階段完成所需時間Table 4 Time required for completion of 4 stages at different levels

表5 不同水平下各階段預計費用Table 5 Estimated cost of each stage at different levels

公司決策者希望確定這4個階段各自應該采取哪一種水平，同時在3 000 萬人民幣的預算內在11 個月內盡可能高質量地確保該產(chǎn)品推出市場。

3.2.2 問題形式化為

將上述決策問題的條件形式化為一個=(,)。約定∈{1,2,3,4}，對應階段、、、；∈{1,2,3}對應水平、、；則[][i]表示中第∈{1,2,3,4}層的一個節(jié)點，表示當狀態(tài)是階段，通過實施水平后到達+1 階段的可能性為[][i] 。例如[2][2] 表示現(xiàn)在在“研制”階段，且“優(yōu)先”水平進入“制造系統(tǒng)設計”階段的可能，由表6 知，[2][2]=0.70。

表6 不同水平下各階段完成可能性Table 6 Completion possibility of each stage under different levels

此決策問題初始數(shù)據(jù)為不同水平下各階段完成可能性，已經(jīng)是模糊數(shù)，不需要進行模糊化，因此不需要形式化葉子節(jié)點。另外約定根節(jié)點為表示工程完成的狀態(tài)。

([][i],[+1][(+1)])表示從段實施水平后到達+1 階段的花費；([][i],[+1][(+1)])表示從段實施水平后到達+1階段的時間；例如([2][2],[3][3])=600；([2][2],[3][3])=3。

決策要求為：

在此問題中認為推理信度即邊的可能測度為表6 中不同水平下各階段完成可能性；?([][i],[+1][(+1)])=∈,()，表示在第階段實施水平進入+1階段的可能測度；比如([2][2],[3][3])=0.70 表示當前的“研制階段”實施“優(yōu)先水平”可以完成進入“制造系統(tǒng)設計”階段的可能性為0.70。為了書寫簡單進一步將[][i]簡記為v。設決策者對時間和費用的偏好=(0.6,0.4)是指相對費用決策者更希望付出時間。

基于上述形式化的用求最優(yōu)決策路徑算法求得，(,)包含以下5 條路徑：

顯然(,)=(,,)=1.321 最大，因此決策路徑為最優(yōu)策略。

=,,,,；解碼后對應策略為，在階段“研究”“研制”“制造系統(tǒng)設計”“開始生產(chǎn)和分銷”分別選擇實施水平“加急”“優(yōu)先”“優(yōu)先”“加急”?，F(xiàn)對這一結果分析如下：

（1）雖然各種滿足策略消耗費用同為3 000，時間除了(,)=10，其他為11；沒選做最優(yōu)策略是因為算法考慮了路徑上的可達測度，保守可達測度最大為0.70。

（2）雖然和的規(guī)范費用最大為0.833，但規(guī)范時間最大為1.220，且相對費用成本決策者更愿意花費時間成本：

故而沒選和選了。

（3）綜上基于的最優(yōu)策略考慮可達性、成本、收益、偏好等眾多因素對決策的影響，求解結果客觀合理。

4 小結與展望

基于模糊數(shù)學理論建立了一個普適的模糊智能決策樹模型。用節(jié)點刻畫決策信息，用樹上的邊記錄決策控制推理規(guī)則；并在節(jié)點和邊上定義合理的模糊決策算子。討論了該模型的計算復雜度。將工程成本和收益作為權值，將不同成本、收益的偏好要求以及不同決策方案的可行性等信息進行融合作為決策方案優(yōu)劣的測度。建立加權模糊智能決策模型，并給出了基于該模型求最優(yōu)的多屬性受限決策的算法。討論算法的復雜度。最后結合模糊智能洗衣機控制和工程最優(yōu)決策方案求解的應用實例說明文中給出的模型和算法是合理有效的。

建立的模型決策過程考慮定性與定量信息，更加客觀自然且自動化程度高；決策結果科學合理且信息量大。不同決策指標建立的不同指標體系框架，都可以靈活高效地形式化為一個。將工程成本和收益作為權值，將不同成本、收益的偏好要求以及不同決策方案的可行性等信息進行融合作為決策方案優(yōu)劣的測度，客觀合理。后續(xù)研究工作將考慮將和用于其他背景下的智能控制與決策建模。考慮在的決策算子中添加其他一些模糊計算和模糊控制算子，使得擴充后的模型可以更靈活高效地做模糊智能決策和控制。