微積分中“以直代曲”思想及其應(yīng)用探析

童琳

摘 要 任何學(xué)科都有其自身的規(guī)律和特點(diǎn)。微積分在解決問題時(shí)的思想和方法有其獨(dú)特之處。蘊(yùn)涵著豐富“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，其中“以直代曲”的方法是微積分的重要思想，也是一種重要的處理問題的方法。本文著重分析“以直代曲”思想的特點(diǎn)及所蘊(yùn)含的辯證因素，說明它在解決問題方面的優(yōu)勢，并聯(lián)系實(shí)際說明在運(yùn)用中，應(yīng)充分地把握好這一思想。

關(guān)鍵詞 “以直代曲” 數(shù)學(xué)應(yīng)用 微積分

中圖分類號(hào)：O172文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.10.027

"Replace Curve by Straight Line" Thought and its Application in Calculus

TONG Lin

（College of Education Sciences， Chengdu University， Chengdu， Sichuan 610106）

Abstract Any discipline has its own rules and characteristics. Calculus in ideas and methods to solve problems has its own uniqueness. Contains a wealth of "transformation" of mathematics content， including "straight on behalf song" approach is an important ideological calculus， is also an important way to deal with the problem. This paper analyzes the characteristics of the "straight on behalf song" Thought and dialectical factors inherent， that it advantage in problem solving， and practical instructions in the use of contact should fully grasp the idea.

Key words "Replace curve by straight line"; mathematics application; Calculus

0 前言

直與曲本來是一對矛盾，但在一定的條件下可以轉(zhuǎn)化。在微積分中直與曲充分體現(xiàn)了辯證法的對立統(tǒng)一的思想。通過微積分的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生充分體會(huì)感悟“以直代曲”的思想。而這也是處理許多實(shí)際問題的基礎(chǔ)。例如，它是進(jìn)行近似計(jì)算的基礎(chǔ)。對這一思想方法的把握是進(jìn)行有效運(yùn)用的前提。也使得一些復(fù)雜的計(jì)算在誤差要求的范圍內(nèi)變得簡單可行。

1概念的界定

中國古代劉徽在運(yùn)用“割圓術(shù)”求圓的周長時(shí)，在圓內(nèi)作正多邊形，用多邊形的周長近似代替圓的周長，隨著邊數(shù)的增加，正多邊形的周長也越來越接近于圓的周長。劉徽通過此推導(dǎo)出了求圓的周長的公式。這是最早出現(xiàn)的“以直代曲”的例子。“以直代曲”思想，在幾何上，就是用直線或者直線段來近似代替曲線或者曲線段。從而可以利用直線的某些性質(zhì)來研究曲線的某些性質(zhì)。這樣將問題轉(zhuǎn)化為已知問題來解決，進(jìn)而簡化計(jì)算量和使思維更加簡單。①

2“以直代曲”思想中所蘊(yùn)含的辯證因素

2.1 初等數(shù)學(xué)中矩形法解題回顧

下面我們來看一下在初等數(shù)學(xué)中幾何法解題的矩形法。如果有兩個(gè)量的積剛好等于另一個(gè)量。例如，在勻速直線運(yùn)動(dòng)中，路程等于速度與時(shí)間的積。對比矩形的面積求法，矩形的面積等于長與寬的積。因此，若以矩形長表示時(shí)間，寬表示速度，則矩形的面積就剛好可以表示成路程。類似地，在工程問題中，工作總量等于工作效率與工作時(shí)間的積。因而工作總量也可用矩形的面積來表示。

推廣到一般，我們知道兩個(gè)量之間的關(guān)系若能抽象出函數(shù)關(guān)系，并能作出其函數(shù)圖象（有些函數(shù)不能用圖像表示）。則其函數(shù)曲線與軸所圍成的曲邊梯形的面積往往可以表征很多有實(shí)際意義的量。這可以理解定積分的概念為什么一開始要從求曲邊梯形的面積引入。也使得求曲邊梯形的面積有了更一般的意義。

2.2 定積分中求曲邊梯形的面積

在定積分的概念中，求曲邊梯形的面積。具體來說是由“分割、代替、求和、取極限”這四個(gè)步驟來完成的。

分割，首先將定義區(qū)間進(jìn)行任意分割為個(gè)有限的子區(qū)間，相應(yīng)地將曲邊梯形細(xì)分成個(gè)小曲邊梯形（如圖1）。

代替、求和，在上面基礎(chǔ)上，再將每個(gè)子區(qū)間長度乘該子區(qū)間上某點(diǎn)的函數(shù)值，即將每個(gè)小曲邊梯形的曲邊看作直邊（“以直代曲”），將每個(gè)小曲邊梯形近似代替成小矩形。并寫出其和式。

取極限，通過對和式取極限來求出曲邊梯形的面積。

上面過程中，分割的目的是在局部實(shí)施“以直代曲”，即以小矩形面積計(jì)算代替小曲邊梯形面積，并結(jié)合“逐次逼近”的方法來進(jìn)行計(jì)算。

2.3 在微積分中，“以直代曲”的思想充分揭示了對立統(tǒng)一關(guān)系，以及矛盾在一定條件下可相互轉(zhuǎn)化的辯證思想

在微積分中存在著“直”與“曲”的矛盾，而處理的方式是“以直代曲”（化曲為直）。微積分中“以直代曲”的思想即是，利用微元法進(jìn)行分割，再在局部實(shí)施“以直代曲”，用較規(guī)范的圖形處理一般非規(guī)范性的一般問題來解決。再進(jìn)行“逐次逼近”處理問題。通過這一過程實(shí)現(xiàn)了“直與曲”、“近似與精確”、“有限與無限”的轉(zhuǎn)化。這也說明了矛盾在一定的條件下可以互相轉(zhuǎn)化。

數(shù)學(xué)的思想方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在一元微積分中，以勻速代變速，反映在幾何上就是“以直代曲”，代數(shù)上就是用“線性”代替“非線性”。從這里可以看出，中小學(xué)中幾何解法中的“矩形法”，實(shí)際是可以看成是為求定積分學(xué)習(xí)埋下的伏筆。“曲”與“直”的轉(zhuǎn)化是建立在無限分割的基礎(chǔ)之上的。正因?yàn)槿绱?，在解決求平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積以及多元函數(shù)問題時(shí)時(shí)我們可以用“微元法”使用“以直代曲”的方法來處理。

3 “以直代曲”思想的運(yùn)用

3.1函數(shù)的線性化

“在數(shù)學(xué)上最容易處理的函數(shù)是線性函數(shù)，借助于微分可使一大批非線性函數(shù)在局部轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)，使我們在處理問題時(shí)達(dá)到簡單、方便、高效的目的。”②

在學(xué)習(xí)了微分以后，當(dāng)我們從算式= ·+ （ ），得到 ≈。也即實(shí)現(xiàn)了函數(shù)的線性化，即有≈（） + （）（）。由此得到（） = （） + （）（）。

在幾何上，就是用過處的切線上與有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn)近似代替曲線上的點(diǎn)。從而可以比較方便地求出在曲線上附近點(diǎn)的函數(shù)值。

這給計(jì)算一些復(fù)雜函數(shù)的函數(shù)值（在精度要求的范圍內(nèi)）找到了一種簡潔算法。這也是高等數(shù)學(xué)處理問題一種好方法，在局部范圍內(nèi)“以直代曲”，用近似值代替精確值的方法。這樣達(dá)到一個(gè)將問題簡化的目的。在這里曲與直的辯證關(guān)系得到了充分的體現(xiàn)。同樣在學(xué)生學(xué)習(xí)了二元函數(shù)的微分以后以切平面上的點(diǎn)近似代替曲面上的點(diǎn)，這也可看成函數(shù)線性化問題的拓展。

3.2 求曲邊形的面積以及曲柱體的體積

在微積分中這種思想的運(yùn)用是很多的。定積分的概念、線性化、切平面以及求曲線的長度、圓臺(tái)側(cè)面積、旋轉(zhuǎn)體體積，以及變力作功等，都直接用到了“以直代曲”的思想。

知道數(shù)學(xué)的運(yùn)用并學(xué)會(huì)運(yùn)用，是培養(yǎng)大學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣的一個(gè)切入點(diǎn)。學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣，才會(huì)有數(shù)學(xué)的更好地應(yīng)用。實(shí)質(zhì)也是建立數(shù)學(xué)模型的問題。

例如，運(yùn)籌學(xué)是一門很重要的學(xué)科，而其中扮演重要角色的一個(gè)就是線性規(guī)劃。線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的重要分支，它是一門實(shí)用性很強(qiáng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和普及，線性規(guī)劃的應(yīng)用越來越廣泛。它已成為人們?yōu)楹侠砝糜邢拶Y源制訂最佳決策的有力工具。③

這也符合直線方程比曲線方程簡潔，計(jì)算量小。從曲線改畫成直線容易的特點(diǎn)。

3.3 求曲線長

在微積分中求曲線的長，解決問題的思路，是在曲線上任意插入N個(gè)點(diǎn)，用線段將這些點(diǎn)順次聯(lián)結(jié)起來，用折線去逼近曲線上的弧段。若當(dāng)折線段的最大邊長→0 時(shí)，折線的長度趨向于一個(gè)確定的極限，則稱此極限為曲線弧 AB 的弧長，即 = ∣∣（如圖2）。

由上看到，“以直代曲”的思想起了很大的作用，而“以直代曲”這只是近似，而要實(shí)現(xiàn)由近似到精確就要用到取極限。

事實(shí)上，物理學(xué)上我們計(jì)算變力作功、液體中的壓力、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等非均勻分布的問題，都用到了“以直代曲”思想來解決問題。

4在數(shù)學(xué)的應(yīng)用中感悟“以直代曲”的思想

思考是把知識(shí)變化為智慧的催化劑。因而在數(shù)學(xué)的實(shí)踐和運(yùn)用中，可以使這一思想認(rèn)識(shí)更為深刻，反過來促進(jìn)知識(shí)向縱深發(fā)展。大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)很重要的作用是要培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的最高目標(biāo)。大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)理論知識(shí)的運(yùn)用。并培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)應(yīng)用意識(shí)。

4.1 注意函數(shù)式所表征的實(shí)際意義

在數(shù)學(xué)的應(yīng)用中經(jīng)常要求函數(shù)的改變量，而往往直接去求計(jì)算難度較大。我們設(shè)法將 表示成 的線性函數(shù)，即線性化，從而把復(fù)雜問題化為簡單問題。微分就是實(shí)現(xiàn)這種線性化的一種數(shù)學(xué)模型。

例如，在學(xué)習(xí)了微分以后，學(xué)習(xí)函數(shù)的線性化，就是用過處的切線上與有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn)近似代替曲線上的點(diǎn)。

反過來，在我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的線性化以后，我們再回過頭來看公式= ·+ （ ）

就更能理解為什么把· 稱為 線性主部的意思了。這也給求一個(gè)函數(shù)的近似值提供了理論依據(jù)。

4.2 借助幾何直觀深刻領(lǐng)悟“以直代曲”的思想

例如，對于二元函數(shù)的線性化公式，我們可以畫出它的切平面來理解其意義。即在數(shù)學(xué)教學(xué)和運(yùn)用中讓學(xué)生去感受“以直代曲”的思想，去欣賞數(shù)學(xué)的簡潔之美。并主動(dòng)去運(yùn)用這種方法。事實(shí)上，在微積分中“以直代曲”的思想還有很多，例如，以勻速代變速等等。有了“以直代曲”思想的學(xué)習(xí)，也為學(xué)生學(xué)習(xí)“以曲代曲”的思想打下了基礎(chǔ)。例如，函數(shù)的泰勒公式。即是用一條多項(xiàng)式所表征的曲線去代替另一條曲線。

通過微積分的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)學(xué)的思維模式。并讓數(shù)學(xué)的內(nèi)容和方法滲透到應(yīng)用中去。不斷增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。并在通過此感受數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

注釋

① 趙健寶，李娜.“以直代曲”思想來看一類等價(jià)無窮小[J].邢臺(tái)學(xué)院學(xué)報(bào)，2013（6）.

② 張順燕.數(shù)學(xué)的思想、方法和應(yīng)用[M].北京：北京大學(xué)出版社，2003：196.

③ 張干宗.線性規(guī)劃[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2007-03-01.