聯(lián)結(jié)螺栓疲勞可靠性計算與分析

戴宗妙， 都軍民

（中國船舶重工集團公司第七一三研究所，鄭州450015）

0 引言

結(jié)構(gòu)可靠性計算是根據(jù)結(jié)構(gòu)的應力特性和材料的強度特性求解結(jié)構(gòu)可靠工作的概率。目前結(jié)構(gòu)可靠性計算的基本方法是采用經(jīng)典的強度-應力干涉模型，該模型假設(shè)結(jié)構(gòu)應力Y和材料強度S均服從正態(tài)分布，定義極限狀態(tài)函數(shù)Z=S-Y，則結(jié)構(gòu)可靠度為［1］

將式（1）化為標準正態(tài)分布，可靠度可寫為

當結(jié)構(gòu)應力Y和材料強度S的均值、方差均已知時，可先求解可靠度系數(shù)β，然后通過查表的方法得到結(jié)構(gòu)的可靠度。但上式只適用于結(jié)構(gòu)承受靜載時的可靠性計算，如果結(jié)構(gòu)承受的是疲勞載荷，其可靠性的分析方法將有很大的不同，主要表現(xiàn)在：

1）結(jié)構(gòu)承受靜載荷時，其結(jié)構(gòu)應力和材料強度為服從一定分布的隨機變量，且該隨機變量的特性不隨時間發(fā)生變化，因此只需計算強度大于應力的可靠性，即可得到結(jié)構(gòu)在整個壽命周期內(nèi)的可靠度。但如果結(jié)構(gòu)承受的是疲勞載荷，則其疲勞強度S和載荷循環(huán)次數(shù)N是關(guān)聯(lián)的（通常用N-S曲線描述疲勞強度和載荷循環(huán)次數(shù)之間的關(guān)系），對應不同的載荷循環(huán)次數(shù)N，材料具有不同的疲勞強度，相應的結(jié)構(gòu)具有不同的可靠性。例如某結(jié)構(gòu)在壽命期內(nèi)載荷循環(huán)次數(shù)為106，則可根據(jù)結(jié)構(gòu)工作應力、對應106的疲勞強度S10-6，計算得壽命周期內(nèi)的可靠度R10-6；若載荷循環(huán)次數(shù)為105，則應根據(jù)疲勞強度S10-5計算得可靠度R10-5，且有R10-6＜R10-5。因此分析結(jié)構(gòu)在疲勞載荷下的可靠性，必須是在假定結(jié)構(gòu)在壽命期內(nèi)的載荷循環(huán)次數(shù)N為一確定值時開展的計算。

2）結(jié)構(gòu)在承受靜載荷作用時,其材料強度由單一的屈服強度或拉伸強度來描述,結(jié)構(gòu)應力也用最大幅值直接描述。但結(jié)構(gòu)在承受疲勞載荷作用時,結(jié)構(gòu)疲勞應力需要用載荷幅值Ya和載荷平均值Ym兩個值進行描述,不同的幅值和平均值組合具有不同的作用效果；同樣,材料的疲勞強度也是由幅值Sa和平均值Sm兩個值來確定的，定義r=（Sm-Sa）/（Sm+Sa）為應力比，也可認為疲勞強度由幅值和應力比確定。

3）計算結(jié)構(gòu)靜載可靠性時，通常認為材料的強度和結(jié)構(gòu)的強度是等效的，這是因為靜載作用時材料的強度并不因結(jié)構(gòu)的特性而發(fā)生改變；而疲勞載荷作用時則有很大不同，由于結(jié)構(gòu)疲勞壽命和尺寸、表面質(zhì)量、局部結(jié)構(gòu)等關(guān)系密切，因此通過材料試件實驗得出的疲勞強度并不能直接用于計算，而必須根據(jù)結(jié)構(gòu)的參數(shù)進行必要的修正。

正是由于疲勞可靠性與傳統(tǒng)靜載可靠性存在著較大不同，需要對疲勞可靠性進行深入分析。本文以聯(lián)結(jié)螺栓的疲勞可靠性為例開展研究。

1 疲勞可靠性設(shè)計與計算

1.1 疲勞可靠性計算的一般方法

針對結(jié)構(gòu)在疲勞載荷作用下的特性，確定聯(lián)結(jié)螺栓疲勞可靠性的一般計算方法如下：

1）在r=-1（即平均值Sm=0，對稱恒幅循環(huán)載荷）條件下，開展材料的疲勞試驗，獲取不同載荷循環(huán)次數(shù)對應的材料疲勞強度Sa，作出材料的S-N曲線；

2）根據(jù)螺栓的尺寸、表面狀態(tài)、應力集中等因素對材料疲勞強度進行修正，采用相應的隨機變量綜合計算方法，得到在r=-1條件下螺栓結(jié)構(gòu)的疲勞強度概率分布；

3）確定螺栓結(jié)構(gòu)的等壽命曲線，得到在特定的應力比r（與結(jié)構(gòu)疲勞應力比相同）下螺栓結(jié)構(gòu)疲勞強度的概率分布；

4）在應力比r條件下，計算聯(lián)結(jié)螺栓疲勞應力的概率分布；

5）采用修正的強度－應力干涉模型計算聯(lián)結(jié)螺栓可靠性。

1.2 螺栓結(jié)構(gòu)疲勞強度確定

假設(shè)材料S-N曲線已通過材料疲勞實驗得到，在rS=-1的條件下，對材料疲勞試驗數(shù)據(jù)進行修正從而獲取結(jié)構(gòu)疲勞強度的經(jīng)驗公式為［2］

式中：S-1為材料疲勞強度；ε為結(jié)構(gòu)尺寸系數(shù)；β為表面狀態(tài)系數(shù)；kf為有效應力集中系數(shù)；Ka為綜合效應系數(shù)；β1為表面加工系數(shù)；β2為表面強化系數(shù)。

由于式（3）將尺寸、表面狀態(tài)、應力集中等因素的影響簡單地疊加在一起，可能導致計算結(jié)果過于保守，考慮各因素之間的相互作用，得綜合效應系數(shù)修正公式為

在實際工況中，材料疲勞強度、各影響因素系數(shù)都不是確定值，而是服從一定分布的隨機變量，因此螺栓結(jié)構(gòu)的疲勞強度實際也是一個由n個隨機變量確定的多維函數(shù)。當其中任意一個隨機變量的變異系數(shù)Cx=σx/μx＜0.1，且這些變量相互獨立、都不起主要控制作用時,根據(jù)概率論的中心極限定理可知螺栓結(jié)構(gòu)的疲勞強度服從正態(tài)分布,其均值和標準差可采用泰勒級數(shù)方法近似求解為

1.3 不同應力比條件下結(jié)構(gòu)疲勞強度的轉(zhuǎn)換

1.2 節(jié)得出了在rS=-1條件下螺栓結(jié)構(gòu)的疲勞強度概率分布。但在很多實際工況中，螺栓載荷產(chǎn)生應力并不滿足rY=-1，這種情況下，就無法實現(xiàn)結(jié)構(gòu)應力與強度的直接比較，而必須將rS=-1條件下的結(jié)構(gòu)疲勞強度轉(zhuǎn)換為rS=ry條件下的疲勞強度。在特定的壽命N條件下，對任意的r，螺栓結(jié)構(gòu)疲勞強度的幅值Sa′和平均值Sm′符合以下關(guān)系［3］：

式中，Su為材料在靜載下的破壞強度（屈服或拉伸強度）。

上式稱為Goodman曲線，結(jié)合應力比r的定義，Goodman曲線又可表示為

式（8）給出了不同應力比條件下，螺栓結(jié)構(gòu)疲勞強度幅值同材料破壞強度之間的關(guān)系，也就間接給出了不同應力比條件下的疲勞強度幅值和平均值的轉(zhuǎn)換方法。

其中 Su、S′a（R=-1）的概率分布均為已知，設(shè) r為常數(shù)，則可根據(jù)式（8），采用泰勒級數(shù)方法得到對應r的Sa′概率分布，同時由應力比r的定義可得Sm′的概率分布。

1.4 螺栓結(jié)構(gòu)疲勞應力確定

設(shè)聯(lián)結(jié)螺栓預緊力為Fy，作用螺栓上循環(huán)工作載荷的最大值為Fmax，最小值為Fmin，則聯(lián)結(jié)螺栓上實際最大和最小載荷分別是［4］：

式中：Cb螺栓剛度；Cm連接件剛度；Cb/（Cb+Cm）稱為聯(lián)結(jié)相對剛度。

根據(jù)（9）式得螺栓實際載荷的幅值和均值分別為：

設(shè) Cb、Cm、Fy、Fmax、Fmin均為服從一定分布的隨機變量，rY為常數(shù)。考慮螺栓結(jié)構(gòu)參數(shù)的分布特性，采用泰勒級數(shù)展開方法，可以得到在應力比rY條件下螺栓結(jié)構(gòu)應力Ya、Ym的概率分布。

1.5 螺栓疲勞可靠性的計算

由于結(jié)構(gòu)壽命是疲勞強度幅值、平均值綜合作用的結(jié)果，因此定義結(jié)構(gòu)在疲勞載荷作用下的復合疲勞強度為，其均值，其標準差為 σS′f=。同樣定義復合疲勞應力為Yf=，可得其均值Yf和標準差σYf。

2 疲勞可靠性分析

2.1 聯(lián)結(jié)螺栓疲勞可靠性隨時間變化規(guī)律

靜強度的可靠性在整個壽命周期內(nèi)是一定的，并不隨結(jié)構(gòu)的工作時間而發(fā)生改變。但聯(lián)結(jié)螺栓在疲勞應力作用下，會產(chǎn)生累計損傷效應，其可靠性會隨著使用次數(shù)的增多而逐漸減小。

假設(shè)結(jié)構(gòu)設(shè)計壽命為N1，相應的結(jié)構(gòu)疲勞強度為Sa（N1），則在實際工作應力為Y1時，可計算出結(jié)構(gòu)的疲勞可靠度。該可靠度是指結(jié)構(gòu)承受了N1循環(huán)載荷作用后的可靠性，也就是結(jié)構(gòu)在整個壽命期中的最低可靠度。但如果結(jié)構(gòu)僅僅承受了N2（N2＜N1）次循環(huán)載荷的作用時，其可靠度應按照與N2對應的疲勞強度Sa（N2）和工作應力Y1進行計算，由于 Sa（N2）＞Sa（N1），因此當螺栓使用次數(shù)越少，計算得到的可靠度就越大，如圖2所示。

圖1 等壽命曲線及給定r時的應力-強度干涉關(guān)系

圖2 疲勞強度與可靠性同循環(huán)載荷次數(shù)關(guān)系

在傳統(tǒng)的方法中，疲勞載荷對螺栓產(chǎn)生的損傷往往用循環(huán)載荷次數(shù)和設(shè)計壽命的比值D=n/N進行描述，該方法是將螺栓的壽命看作是一個線性變化的過程。然而，當采用隨循環(huán)載荷次數(shù)變化的可靠度方法進行描述時，可充分考慮材料的S-N曲線形態(tài)以及各隨機變量的影響，更具直觀性和科學性。

2.2 疲勞可靠度影響因素分析

聯(lián)結(jié)螺栓疲勞可靠度可以看作是一個多因素決定的隨機變量

將影響可靠度的因素可分為以下部分：與材料疲勞強度相關(guān)的數(shù)據(jù)，如S-1、Su等；與結(jié)構(gòu)尺寸、表面狀態(tài)、應力集中等有關(guān)的數(shù)據(jù)，如ε、kf、β等；與作用在螺栓上載荷有關(guān)的數(shù)據(jù)，如Fy、Fmin、Fmax等；與聯(lián)結(jié)螺栓結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)據(jù)，如 Cb、Cm等。

在上述因素中，S-1、Su由材料的特性決定；ε、kf、β、Cb、Cm由螺栓結(jié)構(gòu)、表面狀態(tài)決定，故嚴格控制螺栓加工質(zhì)量、提高其質(zhì)量一致性，會減小隨機變量方差，從而提高螺栓疲勞可靠性；Fmin、Fmax作為外加載荷，一般不具備控制能力，工程中應統(tǒng)計分析其概率分布，識別其對可靠性的影響。預緊力Fy是唯一由操作者決定的因素，在設(shè)計或施工過程中，往往缺乏對預緊力的定量化控制［5］，因此應對預緊力的影響進行深入分析。由式（10）、式（11）得聯(lián)結(jié)螺栓復合應力的均值為

可以看出，螺栓復合應力的幅值和工作載荷最大、最小值、聯(lián)結(jié)相對剛度直接相關(guān)，當聯(lián)結(jié)相對剛度降低時，螺栓復合應力幅值隨之減小。由于聯(lián)結(jié)相對剛度小于1，因此聯(lián)結(jié)相對剛度實際上對工作載荷幅值起到了“縮小”的作用；同理，螺栓復合應力的方差也被相應“縮小”。因此，在結(jié)構(gòu)設(shè)計過程中，適當提高被連接件剛度、降低螺栓剛度有利于提高螺栓疲勞可靠性。在式（13）中雖然沒有直接體現(xiàn)螺栓預緊力的作用，但式（9）成立的前提是螺栓預緊力大于最大工作載荷。反之，一旦當最大工作載荷大于螺栓預緊力時，聯(lián)結(jié)相對剛度的“縮小”作用將不存在，從而導致螺栓復合應力幅值增大，對其可靠性產(chǎn)生非常不利的影響。

3 結(jié)論

通過以上研究，得出以下結(jié)論：

1）疲勞可靠性與靜載可靠性相比更加復雜，不僅需要考慮可靠性隨載荷循環(huán)次數(shù)的變化，而且需要考慮強度（應力）幅值和均值的綜合影響以及材料疲勞強度同結(jié)構(gòu)疲勞強度之間的關(guān)系；

2）需要通過對材料疲勞強度修正以及利用Goodman曲線轉(zhuǎn)換，才能得到在一定壽命條件下，對應不同應力比的結(jié)構(gòu)疲勞強度；

3）聯(lián)結(jié)螺栓的疲勞可靠性隨時間而不斷降低，變化的趨勢與S-N形態(tài)和各隨機變量的影響相關(guān)，在壽命期內(nèi)的最低可靠度是是結(jié)構(gòu)承受了N循環(huán)載荷作用后的可靠性；

4）在實際工況中，對聯(lián)結(jié)螺栓的可靠性進行控制的有效手段是確保螺栓預緊力大于最大工作載荷，且盡量降低聯(lián)結(jié)相對剛度。

［1］ 都軍民，蔡民，戴宗妙.基于可靠性安全系數(shù)的結(jié)構(gòu)設(shè)計方法研究［J］.艦船科學技術(shù)，2007，29（3）：134-136.

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［3］ 陳傳堯.疲勞與斷裂［M］.武漢：華中科技大學出版社，2001：22-23.

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［5］ 杜洪奎.預緊力的分散性對螺栓疲勞壽命的影響［J］.壓縮機技術(shù)，2006，199（5）：21-23.