基于MATLAB的單板滑雪場(chǎng)動(dòng)力學(xué)建模及仿真研究

張俊杰， 文學(xué)洙

（延邊大學(xué)工學(xué)院機(jī)械設(shè)計(jì)及理論，吉林 延吉133002）

0 引言

從20世紀(jì)70年代開(kāi)始出現(xiàn)U型單板滑雪場(chǎng)，滑雪場(chǎng)的形狀在不斷地改進(jìn)以適應(yīng)運(yùn)動(dòng)員的要求，現(xiàn)今國(guó)際賽場(chǎng)上常見(jiàn)的滑雪場(chǎng)由平底、過(guò)渡、垂直三部分組成［1］?；┻\(yùn)動(dòng)中滑雪場(chǎng)直接影響滑雪運(yùn)動(dòng)的效果，國(guó)內(nèi)外對(duì)滑雪場(chǎng)的研究使用傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)研究方法居多，這些研究結(jié)果為制造商從安全性等角度提高滑雪場(chǎng)性能提供了可借鑒的方法，也為滑雪者根據(jù)穩(wěn)定性和安全性去操縱自己的滑雪板提供了有用的參考資料［2-3］。然而，由于未能明確給出滑雪場(chǎng)的約束形式等力學(xué)參數(shù)，這些研究成果還不能滿足對(duì)滑雪運(yùn)動(dòng)進(jìn)行完整力學(xué)分析的需要。

為解決以上問(wèn)題，更方便地對(duì)滑雪運(yùn)動(dòng)進(jìn)行完整動(dòng)力學(xué)分析，本文采用理論研究的方法，利用力學(xué)的基本原理，推導(dǎo)出U型滑雪場(chǎng)的力學(xué)模型及相應(yīng)約束方程。在實(shí)踐中的單板雪地滑道是對(duì)稱的，所以只討論一半即可?；郎线吘売幸欢未怪辈糠质菫榱擞欣谶\(yùn)動(dòng)員飛出滑道時(shí)保持穩(wěn)定。過(guò)渡部分連接平底部分和垂直部分，是為了避免運(yùn)動(dòng)員在上滑時(shí)滑板撞擊坡面，過(guò)渡面需跟平底、垂直兩部分光滑相切連接。通過(guò)分析，由于平地部分和垂直部分摩擦力較小，故對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能影響不大，可以不予考慮，所以重點(diǎn)考慮過(guò)渡部分的幾何形狀和尺寸對(duì)飛出時(shí)動(dòng)能及高度產(chǎn)生的影響。因此，下面主要對(duì)過(guò)渡部分的幾何形狀及尺寸分析求解，通過(guò)泛函優(yōu)化模型得出滑雪場(chǎng)的立體形狀。

1 動(dòng)力學(xué)分析

1.1 模型假設(shè)

1）在滑道上滑行時(shí)不考慮空氣阻力；

2）假設(shè)滑道為平整的曲面；

3）整個(gè)滑雪過(guò)程雪質(zhì)都為硬雪，平底和垂直部分摩擦較小。

圖1 滑雪高度示意圖

1.2 動(dòng)力學(xué)關(guān)系式求解

1.2.1 摩擦力求解

為了得出雪道和滑板之間的摩擦力，提出一個(gè)新的離散多點(diǎn)剛性接觸模型，將滑雪板與雪道地面的關(guān)系轉(zhuǎn)化為非約束力約束，把滑雪板-雪地作用力簡(jiǎn)化為浸入力、沖擊力從而得出摩擦力。無(wú)論是自然雪地還是人工雪地都需要經(jīng)過(guò)壓、刮平等修整處理，以保證雪面均勻光滑，方便滑行［4］，設(shè)過(guò)渡曲面與橫截面的交線為f（x，y）=0。由于滑雪板上不同的點(diǎn)相對(duì)于雪地之間的位置和速度不同，滑雪板上各點(diǎn)與地面的接觸情況也各不相同，為了簡(jiǎn)化模型，將滑雪板看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，滑雪板-雪道模型［5］見(jiàn)圖2。

圖2 滑雪板-雪道接觸摸式示意圖

fsi、fci、ffi分別是雪地作用在 i點(diǎn)的浸入力、沖擊力、摩擦力，fei就是滑雪板上一點(diǎn)和雪地之間的相互作用力，是沖擊速度在接觸面上的投影方向，pi是垂直于接觸面積的單位矢量，pv是單位沖擊量，得摩擦力

式中：

其中，v*為一微小量。

其中，ε0是一小值，兩式在ε0處零階、一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。δ、ξ由ε0根據(jù)連續(xù)性計(jì)算。

這就是滑雪板和雪地之間總的相互作用力，該方法對(duì)于具有一定形狀的滑雪板以及不規(guī)則的雪地地形也是適用的。

1.2.2 滑板飛離雪道受力分析及垂直間距表示

運(yùn)動(dòng)員飛離賽道時(shí)，空氣阻力會(huì)影響滑雪運(yùn)動(dòng)的表現(xiàn)，順風(fēng)利于滑行，逆風(fēng)阻礙滑行。經(jīng)研究，在高速的直滑降過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)速度可高達(dá) 62.5 m/s［6］，因此，建立滑雪模型必須考慮空氣阻力的影響。

空氣阻力

式中：cd是空氣阻力系數(shù)，一般在 0.3～0.95［7］之間；ρa(bǔ)為空氣密度；i代表人體或滑雪板；vp為飛離滑道時(shí)的速度；vi是i連體基方向上相對(duì)空氣的運(yùn)動(dòng)速度；Ai是對(duì)應(yīng)于vi的投影面積。

由滑板在飛行過(guò)程中動(dòng)能定理得

由滑板在過(guò)渡區(qū)滑行過(guò)程中動(dòng)能定理得

聯(lián)合以上兩式，公式（1）代入，得出垂直間距高度

為求得最大垂直間距高度，建立泛函優(yōu)化模型，目標(biāo)函數(shù)為

由于過(guò)渡部分連接平底部分和垂直部分，為了避免運(yùn)動(dòng)員在上滑時(shí)滑板撞擊坡，過(guò)渡面需跟這兩部分光滑相切連接。得出約束條件：

3 MATLAB仿真求解

由于上述泛函優(yōu)化模型方程是復(fù)雜的代數(shù)-偏微分方程難以直接求解出曲線函數(shù)，所以采用枚舉的方法選取了三類常見(jiàn)的符合約束條件的曲線，采用數(shù)值解析法代入一系列的過(guò)渡區(qū)部分的高寬比，即圖3中h減去h1、厚度與w減去厚度的比值，求得相應(yīng)的最大垂直高度，如表1。

圖3 雪道示意圖

分析表中數(shù)據(jù)可知過(guò)渡區(qū)為擺線時(shí)獲得最大的垂直間距，且在高寬比在低區(qū)和高區(qū)更好地符合實(shí)際情況，所以采用擺線為過(guò)渡區(qū)的曲線，利用MATLAB軟件對(duì)上表中相應(yīng)的高、寬比對(duì)應(yīng)的過(guò)渡區(qū)為擺線的飛出高度值進(jìn)行擬合得出曲線和曲線方程：

表1 三種曲線高、寬比對(duì)應(yīng)垂直高度

圖4 高寬比擺線飛出高度值擬合曲線

過(guò)渡區(qū)為擺線的高、寬比對(duì)應(yīng)的騰飛高度擬合曲線圖方程為

對(duì)x求一階導(dǎo)數(shù)，得出極大值點(diǎn)x=0.867，即當(dāng)高寬比為0.867時(shí)，飛出高度達(dá)到極大值，代入求得極大值為3.210 m。

設(shè)一般的擺線方程為：

式中，0≤t≤2π。

由最佳高寬比為0.867，設(shè)擺線上一點(diǎn)為（k，0）和（0，0.867k）代入上述擺線方程，得出a的表達(dá)式。取一組k值，從而得到相應(yīng)的a值，詳見(jiàn)表2。

表2 K-a值

進(jìn)而根據(jù)選手的實(shí)際情況，選取相應(yīng)的高寬實(shí)際值，從而得出雪道在橫截面上過(guò)渡區(qū)的具體形狀。其中最佳的a值為2.8，即長(zhǎng)寬比為0.867，寬度為5m，滑雪場(chǎng)高為4.335m，由MATLAB仿真得最佳的過(guò)渡區(qū)立體圖如圖5所示。

圖5 MATLAB擬合最佳的過(guò)渡區(qū)圖

從而得到最佳過(guò)渡區(qū)的擺線方程為：

式中，0≤t≤2π?？紤]到雪道的平底部分，它只與滑板在平底部分的速度和人的平衡調(diào)整時(shí)間有關(guān)，如果距離過(guò)短則運(yùn)動(dòng)員無(wú)法有效調(diào)節(jié)，過(guò)長(zhǎng)則會(huì)影響運(yùn)動(dòng)員飛出的垂直高度。根據(jù)文獻(xiàn)［8-9］的研究表明運(yùn)動(dòng)員的平衡調(diào)整時(shí)間為0.25 s，在平底的平均速度為20m/s，如圖3，得到平底寬度w1為5m。經(jīng)加減計(jì)算也可求出總寬度w2。雪道垂直部分h1，它會(huì)影響運(yùn)動(dòng)員飛出滑道的穩(wěn)定性，與飛出的速度成正比，取值一般在10～30 cm。雪道坡度和場(chǎng)地的摩擦因數(shù)以及表演動(dòng)作的難度有關(guān)，一般取值為16°～18°。根據(jù)比賽規(guī)則可知，在要求完成5～8個(gè)動(dòng)作的前提下，雪道長(zhǎng)度一般取120～150 m。

3 結(jié)語(yǔ)

1）根據(jù)動(dòng)力學(xué)原理，對(duì)滑雪板及滑雪場(chǎng)地進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析，建立了動(dòng)力學(xué)模型，并運(yùn)用MATLAB軟件，對(duì)滑雪場(chǎng)地使運(yùn)動(dòng)員騰空產(chǎn)生最大高度的過(guò)渡區(qū)域進(jìn)行了仿真分析求解。

2）通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)求解得出最大垂直騰空高度，進(jìn)而求解計(jì)算得出使滑雪場(chǎng)地運(yùn)動(dòng)員產(chǎn)生最大的垂直騰空高度的滑雪場(chǎng)形狀與平底與過(guò)渡尺寸，對(duì)滑雪場(chǎng)地的設(shè)計(jì)提供了一定的參考依據(jù)。但是由于影響滑雪運(yùn)動(dòng)的因素較多，為分析方便，本文只考慮了部分因素，所以得到的研究模型尚存在不足之處，需要進(jìn)一步研究和完善。

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