高階Hermite插值的金字塔算法

常錦才，齊雅靜，祝弘揚

(華北理工大學(xué) 理學(xué)院，河北 唐山 063009)

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高階Hermite插值的金字塔算法

常錦才，齊雅靜，祝弘揚

(華北理工大學(xué) 理學(xué)院，河北 唐山 063009)

Hermite插值；Neville-Aitken算法；基函數(shù)

用Neville-Aitken方法構(gòu)造算法金字塔，推導(dǎo)在x0,x1上帶有二階導(dǎo)數(shù)信息的Hermite 插值公式，進一步獲得一般的高階Hermite插值公式，并將該算法應(yīng)用于數(shù)值算例中。算例給出了3個點上的信息，分兩段計算、畫圖，并將兩端拼接起來，圖形表明在內(nèi)節(jié)點處仍保持一定光滑性。

0引言

Hermite插值是函數(shù)逼近理論中的一個重要研究方向，用它來處理以節(jié)點函數(shù)值及其導(dǎo)數(shù)值為插值條件的多項式構(gòu)造問題。Hermite插值作為顯式算法，簡單且收斂性、穩(wěn)定性好，分段處理時具有局部性，即如果要修改某個數(shù)據(jù)，插值曲線僅僅在某個局部范圍內(nèi)受到影響，而代數(shù)多項式插值卻會影響到整個插值區(qū)間，因此對Hermite插值多項式的研究就顯得猶有意義。

雖然對于一般的Hermite插值基函數(shù)很難找到一個統(tǒng)一的表達(dá)式[1]，但是對于一些特殊情形的插值多項式已有不少好的算法設(shè)計。比如，在所有節(jié)點上具有一階導(dǎo)數(shù)信息，且要求插值函數(shù)與被插函數(shù)對應(yīng)的同階導(dǎo)數(shù)相等的Hermite插值問題研究已經(jīng)有了良好的算法[2,3]，也有學(xué)者研究不是所有的節(jié)點上都要求插值函數(shù)與被插函數(shù)導(dǎo)數(shù)值相等的問題[4]。

金字塔算法被國內(nèi)外學(xué)者越來越廣泛的應(yīng)用，比如它被應(yīng)用于多項式插值、逼近和基變換過程，甚至可以運用在對偶化中[1]。因此本文考慮用Neville-Aitken金字塔算法推導(dǎo)在節(jié)點x0,x1上具有二階導(dǎo)數(shù)信息的Hermite插值公式，進一步獲得在兩點處的高階Hermite插值公式。該問題表述為：

1多項式插值的Neville-Aitken公式

首先，利用Lagrange插值多項式得到加權(quán)形式的插值公式：

(1)

易知，2個組合系數(shù)滿足：

第2步：在相同節(jié)點部分利用Taylor展開構(gòu)造一些小金字塔，即在γi個fi上鋪上γi-1個f在xi的一階Taylor展開式，一直逐層鋪到f在xi的γi-1階Taylor展開式；

第3步：在不同節(jié)點部分利用公式(1)，即對鄰接數(shù)據(jù)進行加權(quán)平均來逐層堆砌金字塔其余部分；

2具有二階導(dǎo)數(shù)信息的插值公式

f0f0f0f1f1f1

f0001=l0f000+l1f001f0011=l0f001+l1f011f0111=l0f011+l1f111

f00011=l0f0001+l1f0011f00111=l0f0011+l1f0111f000111=l0f00011+l1f00111

這里，f000111就是要求的插值多項式。比較系數(shù)得到

其中整理得到

不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)γ0=γ1時，有H0j+H1j≡1(j=0,1,2)。

3兩點處的高階Hermite插值公式

和

利用Neville-Aitken方法構(gòu)造算法金字塔容易推導(dǎo)出該插值多項式。

為了方便起見，記

因此有一般的兩點Hermite插值基函數(shù)的表達(dá)式為

其中

4數(shù)值算例

給定數(shù)據(jù)：

按照上述Neville-Aitken公式構(gòu)造算法金字塔，塔尖即為所求的插值多項式，分別為：

H0(x)=x5-2x2+4x+1；

H1(x)=-48x5+367x4-1 084x3+1 538x2-1 047x+278。

用MATLAB畫出區(qū)間上的函數(shù)圖像如圖1所示：

圖1　2條Hermite插值曲線的拼接

不難發(fā)現(xiàn)利用金字塔算法使得遞推過程變得更加清晰，算法結(jié)構(gòu)有利于看出各層之間的聯(lián)系，用MATLAB畫出圖形，在節(jié)點x=1處仍保持光滑性。

5結(jié)論

金字塔算法是一種基于金字塔式遞推的動態(tài)編程方法，可以理解、分析和計算最普遍的多項式等問題，它形象地描繪人們對于知識的認(rèn)識和運用的過程，便于公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，在顯示算法的整體結(jié)構(gòu)上有明顯的優(yōu)勢。本文從金字塔算法的動態(tài)編程路徑圖中導(dǎo)出關(guān)于兩點的高階Hermite插值公式，給出了基函數(shù)及組合系數(shù)，并整理出高階插值的一般形式，為計算幾何及計算機輔助設(shè)計中高階光滑曲線構(gòu)造提供了理論參考。

[1]吳宗敏,劉劍平,曹沅.金字塔算法—曲線曲面幾何模型的動態(tài)編程處理[M]. 北京：電子工業(yè)出版社, 2004.

[2]關(guān)治,陳景良.數(shù)值計算方法[M]. 北京：清華大學(xué)出版社, 1990.

[3]徐士良.C常用算法程序集[M]. 北京：清華大學(xué)出版社, 1996.

[4]高紅.插值節(jié)點不完全具有導(dǎo)數(shù)信息的Hermite插值算法[J]. 山西廣播電視大學(xué)學(xué)報, 2010, 15(2):72-75.

[5]吳宗敏, 蘇仰峰.數(shù)值逼近[M]. 北京:科學(xué)出版社, 2007.

[6]王仁宏.數(shù)值逼近[M]. 北京:高等教育出版社, 2012.

[7]孫紅兵,奚梅成.一般的Hermite插值基函數(shù)的顯式表示[J]. 中國科技大學(xué)學(xué)報, 2001, 31(4): 419-424.

[8]LEI N, TENG Y, REN Y X. A fast algorithm for multivariate Hermite interpolation[J]. Applied Mathematics:A Journal of Chinese Universities(Series B), 2014, 04:438-454.

[9]ZHAN D H, FAN H Y. Some new generating function formulae of the two-variable Hermite polynomials and their application in quantum optics[J]. Chinese Physics B, 2014, 12:34-37.

[10]Puthan Veedu Viswanathan, Arya Kumar Bedabrata Chand. On cubic Hermite coalescence hidden variable fractal interpolation functions[J]. Applied Mathematics:A Journal of Chinese Universities(Series B), 2015, 01:55-76.

[11]Mohammad W. Alomari, Maslina Darus, Ugur S. Kirmaci. SOME INEQUALITIES OF HERMITE-HADAMARD TYPE FOR s-CONVEX FUNCTIONS[J]. Acta Mathematica Scientia, 2011, 04:1643-1652.

[12]YUAN H CH, LI H M, XU X F. New operator identities with regard to the two-variable Hermite polynomial by virtue of entangled state representation[J]. Chinese Physics B, 2013, 06:166-169.

Pyramid Algorithm of Higher-order Hermite Interpolation

CHANG Jin-cai, QI Ya-jing, ZHU Hong-Yang

(College of Science,North China University of Science and Technology,Tangshan Hebei 063009,China)

Hermite interpolation polynomial;Neville-Aitken algorithm;basic function

Hermite interpolation formula with second order derivative information was deduced by Neville-Aitken pyramid algorithm. Furthermore, the general higher-order Hermite interpolation formula was obtained, and the algorithm was used in a numerical example. The numerical example shows the information on three points, we divided it into two sections and calculate respectively and draw it. The two sections will be pieced together at both ends. The picture shows that the two sections still maintain certain smoothness on the common node.

2095-2716(2015)04-0040-05

O241.5

A