李剛
函數(shù)與方程思想,同分類討論、類比、化歸、數(shù)形結(jié)合等思想一起被列為高中數(shù)學(xué)的幾個(gè)重要的基本思想之一,函數(shù)與方程貫穿了整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)始終。無(wú)論是在求自變量值域、不等式求解、求極值、以及數(shù)列的問(wèn)題中,函數(shù)與方程思想都發(fā)揮著重要的作用。通過(guò)對(duì)所給數(shù)量的關(guān)系仔細(xì)觀察、分析、判斷、發(fā)現(xiàn)數(shù)量間由此及彼的聯(lián)系,建立起函數(shù)模型,能夠更好地解決相關(guān)數(shù)學(xué)難題。函數(shù)與方程,二者相互聯(lián)系又相互轉(zhuǎn)化,辯證又統(tǒng)一地存在于高中數(shù)學(xué)教程中,在答題和解題技巧中發(fā)揮著不可或缺的作用。
數(shù)學(xué)教學(xué)函數(shù)思想函數(shù)與方程函數(shù)與方程是兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)概念,二者緊密聯(lián)系,又不可分割。在高中數(shù)學(xué)中,函數(shù)與方程涉及到多個(gè)知識(shí)面的考查與運(yùn)用,每年在高考中都占有固定的分額,是高考的必考和熱門項(xiàng)目。因此,學(xué)生在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,必須熟練地掌握函數(shù)與方程和性質(zhì)與特性,靈活地運(yùn)用函數(shù)與方程的思想到解題當(dāng)中來(lái),才能在這塊必考知識(shí)點(diǎn)上穩(wěn)操勝券。
在數(shù)學(xué)解題中,函數(shù)與方程思想可以將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,巧妙轉(zhuǎn)化變量之間的關(guān)系,以函數(shù)圖形代替抽象數(shù)量關(guān)系,搭建解決抽象問(wèn)題的橋梁?;睘楹?jiǎn),化無(wú)限為有限,是函數(shù)與方程思想的精妙所在。
一、函數(shù)的思想
函數(shù)描繪了定量與變量間的抽象關(guān)系,函數(shù)思想即通過(guò)已知的數(shù)量關(guān)系,構(gòu)建相關(guān)的函數(shù)模型,并通過(guò)函數(shù)模型的建立來(lái)研究、分析問(wèn)題,最終解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想策略。函數(shù)是一個(gè)工具,是描繪客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型,在高中數(shù)學(xué)中,函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心主線之一。函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性、函數(shù)的最值和圖像變換等性質(zhì)在解題應(yīng)用中無(wú)處不在。利用函數(shù)思想,總是可以將紛雜的問(wèn)題條理化,化繁為簡(jiǎn),化無(wú)形為有形,巧妙地將問(wèn)題化解。
例如,2011年陜西省高考數(shù)學(xué)試卷中有這樣一道題目:
可見(jiàn),熟練地了解一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù),以及三角函數(shù)等各函數(shù)的特性,是利用函數(shù)思想解決問(wèn)題的基本條件。在了解函數(shù)特性的基礎(chǔ)上,挖掘各變量的隱含條件,構(gòu)建出相關(guān)的函數(shù)模型,是解題的關(guān)鍵。
二、方程的思想
方程是建立等量的關(guān)系,并由這些已知的等價(jià)關(guān)系進(jìn)行推斷,得出未知的解的過(guò)程。方程可以看作是函數(shù)值為零的特例,方程組的解可以看作是函數(shù)圖形的交點(diǎn)。方程的思想是利用方程的性質(zhì)來(lái)分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中的變量關(guān)系,構(gòu)建相關(guān)的方程或方程組,并利用其去研究、分析、解決問(wèn)題的思想策略。作為一個(gè)數(shù)學(xué)思想,方程思想在數(shù)學(xué)發(fā)展史上有著重要的作用。與函數(shù)思想相比,方程思想是一種動(dòng)中求靜的思想,在動(dòng)態(tài)變量中研究等量關(guān)系,從而未知轉(zhuǎn)化為已知,解決相關(guān)難題。
利用方程思想,便是要在表面的關(guān)系中挖掘隱藏條件,尋找變量中的代數(shù)關(guān)系,建立方程組,解決方程中的未知變量。方程思想在代數(shù)、解析幾何中都有著廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)教師在授課中要培養(yǎng)學(xué)生建立方程的思想意識(shí),將方程思想運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)中去。
三、函數(shù)與方程思想的運(yùn)用
函數(shù)與方程知識(shí)涉及的知識(shí)面廣、范圍大,在方程的求解、函數(shù)的值域、不等式和數(shù)列問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)中都具有廣泛的應(yīng)用:
1.方程的求解。有一些方程的求解,也即是函數(shù)圖象有相交點(diǎn),方程求解的問(wèn)題可頃刻間轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題了,這就是方程問(wèn)題的函數(shù)化,其本質(zhì)也是數(shù)形結(jié)合思想,所以數(shù)學(xué)幾個(gè)基本思想在本質(zhì)上是相通的。
2.函數(shù)的定義域求解。函數(shù)本是描述變量與參量的一個(gè)數(shù)學(xué)模型,探索變量之間的取值范圍和最值是常見(jiàn)的運(yùn)用函數(shù)方程思想的案例。在求解的過(guò)程中,充分利用函數(shù)特性,靈活轉(zhuǎn)換方程與函數(shù)的關(guān)系,才能準(zhǔn)確求解。
3.幾何圖形的圖象關(guān)系。方程思想在解析幾何中處于主導(dǎo)地位,在求曲線方程,判斷直線與曲線,曲線與曲線的位置關(guān)系上,方程是重要的解題思想。有些直線與圓、曲線的位置關(guān)系,需要通過(guò)解二次元的方程得到求解,而有些求直線與曲線的最值問(wèn)題時(shí),往往也需要構(gòu)建函數(shù),利用其性質(zhì)來(lái)求解。
4.不等式求解問(wèn)題。在處理不等式的恒成立、求解問(wèn)題時(shí),通常采用建立相關(guān)函數(shù),通過(guò)函數(shù)性質(zhì)確定變量的取值范圍與最值,從而解決問(wèn)題。
5.數(shù)列問(wèn)題。從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看,數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集的函數(shù),而數(shù)列的通項(xiàng)公式也即函數(shù)和解析式,所以說(shuō),數(shù)列問(wèn)題的本質(zhì)仍然是函數(shù)問(wèn)題,數(shù)列的問(wèn)題也即函數(shù)的問(wèn)題,運(yùn)用函數(shù)來(lái)解決數(shù)列問(wèn)題是首當(dāng)其沖的不二選擇。
四、函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)換
函數(shù)與方程二者相互聯(lián)系,辯證統(tǒng)一,完美地棲身于高中數(shù)學(xué)的框架之中。函數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題,方程問(wèn)題亦可以轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題,二者互為工具,互相轉(zhuǎn)化,而數(shù)形結(jié)合是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)換的橋梁。把數(shù)量關(guān)系和幾何圖象結(jié)合起來(lái),實(shí)現(xiàn)二者的靈活轉(zhuǎn)換,可以將抽象的數(shù)學(xué)難題輕松解決。學(xué)生在遇到相關(guān)難題時(shí),要熟練掌握函數(shù)與方程思想的精髓,靈活運(yùn)用二者的轉(zhuǎn)換關(guān)系,只有這樣,才能在考試中起到事半功倍的作用。
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