廣義猶豫正態(tài)模糊信息集成及其多屬性群決策

馬慶功

常州大學(xué)懷德學(xué)院，江蘇常州213016

廣義猶豫正態(tài)模糊信息集成及其多屬性群決策

馬慶功

常州大學(xué)懷德學(xué)院，江蘇常州213016

定義了猶豫正態(tài)模糊元及其運(yùn)算法則、得分函數(shù)、Euclidean距離等概念；提出了廣義猶豫正態(tài)模糊有序加權(quán)平均算子，并研究其性質(zhì)，該算子不僅盡可能多地保留決策者的偏好信息，還可依據(jù)決策者的主觀意愿選擇不同的參數(shù)和屬性權(quán)重，使得決策結(jié)果達(dá)到?jīng)Q策者的期望值；緊接著對(duì)屬性權(quán)重和算子參數(shù)賦予不同的數(shù)值，獲取廣義猶豫正態(tài)模糊有序加權(quán)平均算子的若干種特殊算子，并探討兩個(gè)常用算子的大小關(guān)系；針對(duì)屬性權(quán)重完全未知的多屬性群決策問題，構(gòu)建一種基于廣義猶豫正態(tài)模糊有序加權(quán)平均算子的群決策方法。該方法利用同一屬性下所有方案屬性值間的距離求得最優(yōu)權(quán)重，然后將同一方案下各屬性值集結(jié)成為綜合屬性值，進(jìn)而得到方案優(yōu)劣排序。通過實(shí)例分析說明該方法的可行性和有效性。

猶豫正態(tài)模糊元；多屬性群決策；信息集成算子；計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

在管理決策分析中，由于社會(huì)的迅速發(fā)展，人們認(rèn)知問題的思維和事物本身的復(fù)雜性、模糊性和不確定性，使得決策者在進(jìn)行評(píng)判時(shí)，常常無法給出精確的數(shù)值。

自1965年Zadeh首先提出模糊集［1］概念之后，模糊集理論成為處理模糊信息的有效工具，并廣泛地應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)投資、經(jīng)濟(jì)管理、模式識(shí)別、醫(yī)療診斷、控制理論等領(lǐng)域。之后，人們提出了模糊集的幾種廣義形式，包括：區(qū)間模糊集［2］、直覺模糊集［3］、區(qū)間直覺模糊集［4］、猶豫模糊集［5］、區(qū)間猶豫模糊集［6-7］、對(duì)偶猶豫模糊集［8］等等。Xu和Chen［9］提出了區(qū)間直覺模糊算數(shù)平均算子，并且將其應(yīng)用于區(qū)間直覺模糊環(huán)境下的多屬性決策過程中。徐澤水［10］研究了在直覺模糊信息環(huán)境下的各種集結(jié)算子，包括有序加權(quán)平均算子、有序加權(quán)幾何算子、誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子及誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何算子等。Wei［11］在區(qū)間猶豫模糊環(huán)境下，提出了各種信息集成算子，并討論了這些算子的性質(zhì)?；讵q豫模糊集和直覺模糊集間的關(guān)系，Xia和Xu［12］提出了猶豫模糊信息集成算子。王堅(jiān)強(qiáng)和李康?。?3］構(gòu)建了一種基于直覺正態(tài)模糊信息集結(jié)算子的決策方法，并將其應(yīng)用于發(fā)動(dòng)機(jī)零部件制造公司選擇供應(yīng)商的案例中。

隨著社會(huì)的飛速發(fā)展，人們的生活中有大量的自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象是服從正態(tài)分布的［14］，并且運(yùn)用正態(tài)模糊數(shù)表述決策信息可以更加客觀準(zhǔn)確地描述和反映現(xiàn)實(shí)中的數(shù)據(jù)信息。一方面，現(xiàn)有的模糊數(shù)的概念的論域大多是離散的，題型模糊數(shù)定義在某個(gè)確定的區(qū)間；另一方面，猶豫模糊信息將所有決策者的決策信息全面進(jìn)行保留，能夠防止因決策信息丟失而導(dǎo)致決策結(jié)果不準(zhǔn)確的后果［15］。因此，研究定義在整個(gè)連續(xù)區(qū)間上的猶豫模糊信息及其信息集成方式具有十分重要的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。本文首先定義了猶豫正態(tài)模糊元的相關(guān)概念，然后提出了廣義猶豫正態(tài)模糊信息集成算子，最后在猶豫正態(tài)環(huán)境下，基于提出的信息集成算子構(gòu)建了一種新的多屬性群決策方法，并以政府部門對(duì)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的選擇為例，說明所提方法的有效性。

1　基本概念

本章首先回顧了正態(tài)模糊數(shù)的概念，然后給出猶豫正態(tài)模糊元的定義，最后提出猶豫正態(tài)元的運(yùn)算法則、得分函數(shù)以及大小比較方法。

定義1.1［14］在實(shí)數(shù)域R上，稱隸屬函數(shù)為μA（x）=的模糊數(shù)A為正態(tài)模糊數(shù)，記為A=（a，σ）。令Ω為全體正態(tài)模糊數(shù)的集合。設(shè)Ai=（ai，σi）（i=1，2）∈Ω，則它們之間的距離公式［14］為：

為了方便計(jì)算，記H?為全體HNFE組成的集合。

與猶豫模糊元相比，HNFE增加了一個(gè)新的正態(tài)模糊數(shù)（a，σ），這使得其論域由離散擴(kuò)展到整個(gè)連續(xù)區(qū)間，這樣隸屬度不再只是相對(duì)于一個(gè)模糊的概念，而是相對(duì)于該正態(tài)模糊數(shù)，能更加準(zhǔn)確地反映決策信息，同時(shí)HNFE能全面地表達(dá)決策者們的不同決策信息，應(yīng)用范圍更加廣泛。

接下來，將提出HNFE的運(yùn)算法則，并研究它們間的運(yùn)算性質(zhì)。

容易證明，上述定義的猶豫正態(tài)模糊運(yùn)算法則滿足以下性質(zhì)：

下面，將討論HNFE的排序方法。先給出如下概念：

當(dāng)HNFE退化為正態(tài)模糊數(shù)時(shí)，即h1=h2=｛1｝，則有，此時(shí)HNFE的距離公式也退化為正態(tài)模糊數(shù)的距離公式。

2　廣義猶豫正態(tài)模糊有序加權(quán)平均算子

基于上一章定義的猶豫正態(tài)模糊運(yùn)算法則，本章將提出一種廣義猶豫正態(tài)模糊信息集成算子，并研究其優(yōu)良性質(zhì)，包括：單調(diào)性、有界性、冪等性、置換不變性。

證明（1）先證明等式（6）成立。首先運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于所有的正整數(shù)n，如下等式成立：

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式（7）成立，即

當(dāng)n=k+1時(shí)，依據(jù)定義1.3，有

即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式（7）成立。因此，對(duì)于所有的正整數(shù)n，等式（7）成立。

由定義1.3的運(yùn)算，則有

（2）接下來，需證明GHNFOWA算子的集成結(jié)果仍是一個(gè)HNFE，關(guān)鍵是證明對(duì)?γ1∈h1，γ2∈h2，…，γn∈hn，有

事實(shí)上，因?yàn)棣?，γ2，…，γn∈［0，1］，那么對(duì)于?j=

綜上，定理2.1成立。

（4）置換不變性：設(shè)A?φ（1），A?φ（2），…，A?φ（n）是A?1，A?2，…，A?n的任意一個(gè)置換，則有

3　GHNFOWA算子的幾種常見形式

首先依據(jù)權(quán)重向量w=（w1，w2，…，wn）T和參數(shù)λ取不同的數(shù)值，得到GHNFOWA算子的若干種特殊形式，然后探究其中兩種常見算子的大小關(guān)系。

Case 1：權(quán)重向量w=（w1，w2，…，wn）T取不同的數(shù)值。

①若w=（1，0，…，0）T，GHNFOWA算子將變?yōu)楠q豫正態(tài)模糊極大（HNF-MAX）算子，即：

②若w=（0，0，…，1）T，GHNFOWA算子將變?yōu)楠q豫正態(tài)模糊極?。℉NF-MIN）算子，即：

Case 2：參數(shù)λ取不同的數(shù)值。

如果λ=1時(shí)，GHNFOWA算子將會(huì)退化為猶豫正態(tài)模糊有序加權(quán)算術(shù)平均（HNFOWAA）算子：

如果λ→0時(shí)，GHNFOWA算子將會(huì)退化為猶豫正態(tài)模糊有序加權(quán)幾何平均（HNFOWGA）算子：

接下來將探究這兩個(gè)常用的算子，即猶豫正態(tài)模糊有序加權(quán)算術(shù)平均（HNFOWAA）算子和猶豫正態(tài)模糊有序加權(quán)幾何平均（HNFOWGA）算子之間的大小關(guān)系，為此，先引入以下引理：

引理3.1［15］假設(shè)xj＞0，λj≥0，j=1，2，…，n，并且，則有。當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)，等號(hào)成立。

證明為了方便計(jì)算，令

依據(jù)定義1.5，有：因此結(jié)論成立。

定理3.1表明運(yùn)用HNFOWAA算子得到的猶豫正態(tài)模糊元不小于運(yùn)用HNFOWGA算子得到的猶豫正態(tài)模糊元。

4　基于GHNFOWA算子的多屬性群決策方法

基于GHNFOWA算子提出一種新的多屬性群決策方法，其中的屬性權(quán)重為實(shí)數(shù)，屬性值以HNFE的形式表示。

考慮猶豫正態(tài)模糊多屬性群決策問題，假設(shè)有m個(gè)可行方案Y1，Y2，…，Ym，伴隨每個(gè)方案的屬性集合為C=｛C1，C2，…，Cn｝，關(guān)聯(lián)權(quán)重向量w=（w1，w2，…，wn）T完全未知，其滿足。在決策過程中，每個(gè)決策者都給出可行方案Yi在屬性Cj下的偏好信息。由于每個(gè)決策者提供的偏好信息不一定相同，因此這些偏好信息就構(gòu)成了可行方案Yi在屬性Cj下的HNFE，則所有決策者提供的可行方案集在屬性集下的決策偏好信息可構(gòu)成一個(gè)猶豫正態(tài)模糊信息決策矩陣。

針對(duì)上述問題，給出基于廣義猶豫正態(tài)模糊信息集成的多屬性群決策方法，具體步驟如下：

步驟1標(biāo)準(zhǔn)化處理

①當(dāng)Cj為效益型屬性時(shí)，，其中；

②當(dāng)Cj為成本型屬性時(shí)，，其中。

步驟2確定屬性權(quán)重

在進(jìn)行多屬性決策時(shí)，如果某一屬性下的所有方案屬性信息差異越小，則說明該屬性能夠給決策者提供的決策信息量就越少，于是在決策過程中的重要性就越低，則應(yīng)該賦予這個(gè)屬性的權(quán)重就越小。反之，若所有方案在某一屬性下的屬性值有明顯的差異，則表明該屬性能夠給決策者提供較多的決策信息，那么該屬性在決策過程中就越重要，則應(yīng)賦予其較大的權(quán)重。因此若屬性Cj（j=1，2，…，n）的權(quán)重信息完全未知，則可通過以下方法確定權(quán)重wj：

步驟3集結(jié)可行方案的綜合屬性值

依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)決策矩陣R?和提出的GHNFOWA算子，計(jì)算每個(gè)可行方案Yi（i=1，2，…，m）的綜合屬性值R?i（i=1，2，…，m），即

步驟4計(jì)算均值得分函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差得分函數(shù)

步驟5可行方案優(yōu)劣排序

運(yùn)用定義1.5中的排序方法，對(duì)可行方案Yi（i=1，2，…，m）進(jìn)行優(yōu)劣排序，并選擇出最優(yōu)的決策方案。

表1　決策者提供的猶豫正態(tài)模糊決策矩陣?=）4×4

表1　決策者提供的猶豫正態(tài)模糊決策矩陣?=）4×4

C1 C2 C3 C4 Y1 Y2Y3 Y4＜（7.1，2.1），｛0.45，0.65｝＞＜（4.1，3.0），｛0.32，0.50｝＞＜（8.6，1.9），｛0.55，0.69｝＞＜（9.2，1.2），｛0.54，0.65｝＞＜（4.1，1.8），｛0.35，0.57｝＞＜（6.8，1.0），｛0.15，0.28｝＞＜（6.2，2.1），｛0.60，0.85｝＞＜（7.1，2.4），｛0.40，0.72｝＞＜（5.7，1.7），｛0.45，0.63｝＞＜（7.1，3.0），｛0.39，0.64｝＞＜（5.4，2.4），｛0.62，0.73｝＞＜（6.1，2.0），｛0.40，0.52｝＞＜（4.8，0.6），｛0.59，0.77｝＞＜（5.1，1.7），｛0.70，0.81｝＞＜（6.2，2.5），｛0.65，0.72｝＞＜（7.1，1.3），｛0.49，0.64｝＞

5　案例分析

考慮一個(gè)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)選擇問題。某政府機(jī)關(guān)欲通過計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)和通信等現(xiàn)代信息技術(shù)手段，實(shí)現(xiàn)政府組織結(jié)構(gòu)和工作流程的優(yōu)化重組，超越時(shí)間、空間和部門分隔的限制，建成一個(gè)精簡、高效、廉潔、公平的政府運(yùn)作模式，以便全方位地向社會(huì)提供優(yōu)質(zhì)、規(guī)范、透明、符合國際水準(zhǔn)的管理與服務(wù)。該政府采購部門現(xiàn)將從現(xiàn)有4套計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)Yi（i=1，2，3，4）中選擇一套計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行安裝。為了選擇一套性能最優(yōu)的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，該政府采購部門將對(duì)四套系統(tǒng)分別在以下四個(gè)性能指標(biāo)下進(jìn)行綜合評(píng)估，即C1網(wǎng)絡(luò)速率；C2系統(tǒng)利用率；C3帶寬；C4硬件設(shè)施，最終選擇性能一套最優(yōu)的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。為了保證決策評(píng)估的客觀性和權(quán)威性，該政府采購部門邀請(qǐng)了不同領(lǐng)域的專家，依據(jù)自身的專業(yè)知識(shí)和實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，并結(jié)合四套計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在測(cè)試過程中的表現(xiàn)出對(duì)這四套系統(tǒng)在上述4個(gè)屬性指標(biāo)下進(jìn)行性能滿意度測(cè)評(píng)，給出了表1所示的猶豫正態(tài)模糊決策矩陣。下面依據(jù)本文提出的猶豫正態(tài)模糊多屬性群決策方法，遴選出綜合性能最強(qiáng)的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。

步驟1標(biāo)準(zhǔn)化處理

由于C1，C2，C3和C4都是效益型屬性，則通過標(biāo)準(zhǔn)化方法（a）對(duì)猶豫正態(tài)模糊決策矩陣D?進(jìn)行處理，得到標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣，如表2所示。

步驟3運(yùn)用GHNFOWA算子分別計(jì)算出每套計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)Yi（i=1，2，3，4）的綜合屬性值以備選系統(tǒng)Y2為例，令λ=1，計(jì)算綜合屬性值為：

步驟4計(jì)算在不同參數(shù)下每套計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的綜合屬性值R?i（i=1，2，3，4）的均值得分函數(shù)1，2，3，4），結(jié)果見表3。

步驟5依據(jù)定義1.5，在不同的參數(shù)下對(duì)四套計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)Yi（i=1，2，3，4）進(jìn)行優(yōu)劣排序，排序結(jié)果見表3。從表3可知，當(dāng)參數(shù)λ取不同的數(shù)值時(shí)，排序結(jié)果基本一致，且綜合性能最優(yōu)的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)均為Y3。

為了說明本文提出群決策方法優(yōu)良性能，將本文的決策方法與文獻(xiàn)［12］中的決策方法進(jìn)行對(duì)比分析。依據(jù)文獻(xiàn)［12］中的猶豫模糊決策方法處理上述問題。

首先，構(gòu)建猶豫模糊決策矩陣D=（hij）4×4，其中hij為表1中每個(gè)HNFE除去均值和標(biāo)準(zhǔn)差后的猶豫模糊元。

然后利用文獻(xiàn)［12］中的公式（27），將每套計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在各個(gè)屬性指標(biāo)下的屬性值集結(jié)成為綜合屬性值hi（i=1，2，3，4）（同樣地，計(jì)算當(dāng)λ→0，λ=1，λ=2，λ=5，λ=10時(shí)的綜合屬性值），由于hi由16個(gè)數(shù)值組成，因篇幅的限制，故在此省略。

接著，依據(jù)猶豫模糊元的得分函數(shù)公式，計(jì)算不同參數(shù)下每套計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)綜合屬性值hi（i=1，2，3，4）的得分函數(shù)值s（hi）（i=1，2，3，4），見表4。

表2　標(biāo)準(zhǔn)化的猶豫正態(tài)模糊決策矩陣?=）4×4

表2　標(biāo)準(zhǔn)化的猶豫正態(tài)模糊決策矩陣?=）4×4

C1 C2 C3 C4 Y1Y2 Y3 Y4＜（0.6，0.6），｛0.45，0.65｝＞＜（1.0，0.4），｛0.32，0.50｝＞＜（0.5，0.6），｛0.55，0.69｝＞＜（0.4，1.0），｛0.54，0.65｝＞＜（0.6，0.7），｛0.35，0.57｝＞＜（0.9，0.4），｛0.15，0.28｝＞＜（0.9，0.9），｛0.60，0.85｝＞＜（1.0，1.0），｛0.40，0.72｝＞＜（0.8，0.6），｛0.41，0.63｝＞＜（1.0，1.0），｛0.39，0.64｝＞＜（0.8，0.8），｛0.62，0.73｝＞＜（0.9，0.7），｛0.48，0.52｝＞＜（0.7，0.4），｛0.59，0.77｝＞＜（0.7，0.7），｛0.70，0.81｝＞＜（0.9，1.0），｛0.65，0.72｝＞＜（1.0，0.5），｛0.49，0.64｝＞

表3　利用GHNFOWA算子計(jì)算四套計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的均值得分函數(shù)值和優(yōu)劣排序

表4　利用GHFOWA算子計(jì)算四套計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的得分函數(shù)值和優(yōu)劣排序

根據(jù)得分函數(shù)值的大小對(duì)這四套計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)劣排序，結(jié)果如表4所示。分析比較發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用本文方法得到的結(jié)果與文獻(xiàn)［12］中方法得到的結(jié)果一致，表明本文提出的群決策方法是可行的和有效的。但是本文提出的決策方法相對(duì)于文獻(xiàn)［12］中的決策方法有以下優(yōu)勢(shì)：首先，正態(tài)分布廣泛存在于各種自然現(xiàn)象、社會(huì)現(xiàn)象和生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)中，運(yùn)用猶豫正態(tài)模糊元表述決策信息可以更加客觀準(zhǔn)確地反映現(xiàn)實(shí)中的數(shù)據(jù)信息；其次，猶豫正態(tài)隸屬函數(shù)具有高階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的性質(zhì)，而其他幾種模糊數(shù)都不具有這種性質(zhì)［16］；再次，本文提出的決策方法使用范圍更為廣泛，由于文獻(xiàn)［12］中提出的幾何算子其實(shí)是本文提出的GHNFOWA算子的一種特殊形式，因此本文的決策方法實(shí)用性更強(qiáng)，拓展了猶豫模糊理論的應(yīng)用范圍；最后，本文提出用HNFE刻畫模糊概念更能貼近人類思維，盡可能多地保留了決策者的偏好信息，并且利用本文提出的決策方法進(jìn)行決策時(shí)，決策者可以依據(jù)自身的偏好和樂觀態(tài)度選擇不同的參數(shù)進(jìn)行信息集成，從而使得決策過程更具有一定的靈活性，而且能有效的體現(xiàn)決策者的決策意愿。

6　結(jié)論

本文首先將離散空間上的猶豫模糊元推廣到連續(xù)空間，給出了HNFE及其相關(guān)概念，并且定義了猶豫正態(tài)模糊運(yùn)算法則；其次，基于這些運(yùn)算法則，提出了廣義猶豫正態(tài)模糊有序加權(quán)平均算子，并研究了其相關(guān)優(yōu)良性質(zhì)；接著給出了GHNFOWA算子的一些常用形式；針對(duì)屬性權(quán)重完全未知的猶豫正態(tài)模糊多屬性群決策問題，構(gòu)建了一種基于GHNFOWA算子的決策方法。該決策方法利用HNFE間的距離確定屬性權(quán)重，再基于提出的GHNFOWA算子計(jì)算得到各方案的綜合屬性值，進(jìn)而確定方案的優(yōu)劣排序。最后將提出的決策方法應(yīng)用于政府部門對(duì)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的選擇過程中，并將本文方法與現(xiàn)有的決策方法進(jìn)行比較分析，以驗(yàn)證提出的決策方法是可行的和有效的。因此，本文的研究成果具有一定的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。

［1］Zadeh L A.Fuzzy sets［J］.Information and Control，1965，8（3）：338-356.

［2］Turksen I B.Interval valued fuzzy sets based on normal forms［J］.Fuzzy Sets and Systems，1986，20：191-210.

［3］Atanassov K T.Intuitionistic fuzzy sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1986，20（1）：87-96.

［4］Atanassov K，Gargov G.Interval-valued intuition-istic fuzzy sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1989，31：343-349.

［5］Torra V.Hesitant fuzzy sets［J］.International Journal of Intelligent Systems，2010，25：529-539.

［6］Chen N，Xu Z S，Xia M M.Interval-valued hesitant preference relations and their applications to group decision making［J］.Knowledge-Based Systems，2013，37：528-540.

［7］Chen N，Xu Z S，Xia M M.Correlation coefficients of hesitant fuzzy sets and their applications to clustering analysis［J］.Applied Mathematical Modelling，2013，37：2197-2211.

［8］Zhu B，Xu Z S，Xia M M.Dual hesitant fuzzy sets［J］. Journal of Applied Mathematics，2012，32（5）：317-386.

［9］Xu Z S，Chen J.Approach to group decision making based on interval-valued intuitionistic judgment matrices［J］.Systems Engineering-Theory and Practice，2007，27：126-133.

［10］Xu Z S，Intuitionistic fuzzy aggregation operators［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2007，15：1179-1187.

［11］Wei G W，Zhao X F，Lin R.Some hesitant interval-valued fuzzy aggregation operators and their applications to multiple attribute decision making［J］.Knowledge-Based Systems，2013，46：43-53.

［12］Xia M M，Xu Z S.Hesitant fuzzy information aggregation in decision making［J］.International Journal of Approximate Reasoning，2011，52：395-407.

［13］王堅(jiān)強(qiáng)，李康健.基于直覺正態(tài)模糊集結(jié)算子的多準(zhǔn)則決策方法［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2013，33（6）：1501-1508.

［14］Wang J，Zhou P，Li K，et al.Multi-criteria decision-making method based on normal intuitionistic fuzzy-induced generalized aggregation operator［J］.TOP，2014：1-20.

［15］Torra V，Narukawa Y.Modeling decisions：information fusion and aggregation operators［M］.［S.l.］：Springer，2007.

［16］李德毅，劉常昱.論正態(tài)云模型的普適性［J］.中國工程科學(xué)，2004，6（8）：28-34.

Generalized hesitant normal fuzzy information aggregation and their application to multi-attribute group decision making.

MA Qinggong

Changzhou University Huaide College，Changzhou，Jiangsu 213016，China

Hesitant normal fuzzy elements（HNFEs）as well as their operational laws，score functions and Euclidean distance are defined.Then，the generalized hesitant normal fuzzy ordered weighted averaging（GHNFOWA）operator is proposed and some desirable properties of the GHNFOWA operator are studied.The GHNFOWA operator not only preserves the decision maker’s preference information as much as possible，but also the values of the parameter and attribute weights can changes on the base on decision makers’attitude to make the results fix the expected values of decision makers. Furthermore，some special cases of the GHNFOWA operator are given when the weight vector and operator parameter takes different values，and the relationship between two common operators is studied.Finally，for multi-attribute decision making problems with the information of attribute weights is completely unknown，a method based on the GHNFOWA operator is investigated.The optimal weights are calculated by the distances of each alternative under an attribute，and then aggregate all the attribute values into the overall attribute values，which is followed by the ranking of the alternative. An example is given to demonstrate the developed method is practicality and effectiveness.

hesitant normal fuzzy elements；multi-attribute group decision making；information aggregation operator；computer network systems

A

O22

10.3778/j.issn.1002-8331.1503-0068

江蘇省科技支撐計(jì)劃（工業(yè)）重點(diǎn)項(xiàng)目（No.BE2013005-3）；靖江市科技局產(chǎn)學(xué)研項(xiàng)目（No.CDHJK1501001）。

馬慶功（1980—），男，碩士研究生，工程師，研究方向：電子技術(shù)及應(yīng)用。E-mail：2985390216@qq.com

2015-03-08

2015-05-06

1002-8331（2015）22-0134-07

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2015-05-27，http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20150527.1053.001.html