基于多目標(biāo)元胞遺傳算法的桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

朱大林，張燈皇，鄭曉東，王進(jìn)學(xué)

（三峽大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院，湖北宜昌 443002）

基于多目標(biāo)元胞遺傳算法的桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

朱大林，張燈皇，鄭曉東，王進(jìn)學(xué)

（三峽大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院，湖北宜昌 443002）

為了使桁架結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)更符合工程實(shí)際惰況，建立了同時(shí)最小化結(jié)構(gòu)總質(zhì)量和節(jié)點(diǎn)位移的多目標(biāo)優(yōu)化模型。采用離散實(shí)數(shù)編碼方式，使多目標(biāo)元胞遺傳算法適用于優(yōu)化模型的求解，同時(shí)改進(jìn)了算法的交叉變異算子，使算法保持較好的全局探索和局部尋優(yōu)能力。運(yùn)用該算法對經(jīng)典空間桁架優(yōu)化問題進(jìn)行求解，并與NSGA-II的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對比分析，結(jié)果表明該算法獲得的Pareto前端更加均勻，解的精度更高，極端點(diǎn)值域更廣，是解決此類離散優(yōu)化問題的有效算法。

桁架結(jié)構(gòu)；多目標(biāo)優(yōu)化；離散實(shí)數(shù)編碼；元胞遺傳算法

0 引言

桁架結(jié)構(gòu)因其桿件主要承受軸向拉力或壓力，從而可以充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度，并且結(jié)構(gòu)自重輕、造價(jià)低以及施工簡單，因此被廣泛的應(yīng)用于建筑結(jié)構(gòu)、橋梁設(shè)計(jì)、輸電網(wǎng)架、施工支護(hù)等諸多方面［1］。在給定的工況和約束條件下，合理的分配桁架結(jié)構(gòu)中各桿件的橫截面積，使設(shè)計(jì)目標(biāo)盡可能的優(yōu)化，將具有重要的工程意義。

目前，大多數(shù)學(xué)者［2-4］對桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化研究主要集中在以減輕結(jié)構(gòu)總質(zhì)量為目的的單目標(biāo)優(yōu)化方面。然而，在許多實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中需要對桁架進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，比如同時(shí)最小化結(jié)構(gòu)總質(zhì)量和指定節(jié)點(diǎn)最大位移。事實(shí)上，當(dāng)結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量減輕時(shí)，往往會使某些節(jié)點(diǎn)的位移增大，給結(jié)構(gòu)的使用造成限制。因此，需要統(tǒng)籌兼顧這兩個(gè)相互矛盾的指標(biāo)，建立多目標(biāo)優(yōu)化模型，以提供更加科學(xué)合理的方案。針對桁架結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化問題的研究，一些國內(nèi)外學(xué)者利用多目標(biāo)進(jìn)化算法進(jìn)行了求解。C.A.Coello等［5］提出了一種基于minmax優(yōu)化的遺傳算法，并將該方法成功應(yīng)用于25桿空間桁架和200桿平面桁架的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。Luh和Chueh［6］提出了利用細(xì)胞因子處理約束的免疫算法，通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明該方法可以作為求解結(jié)構(gòu)優(yōu)化的一種手段。任鳳鳴等［7］使用群搜索算法對桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，該方法具有較快的收斂速度。雖然這些優(yōu)化研究已經(jīng)取得了一定的成果，但是設(shè)計(jì)出編碼方式簡單、全局探索和局部尋優(yōu)能力較強(qiáng)的算法仍然是此類問題研究的熱點(diǎn)之一。

多目標(biāo)元胞遺傳算法［8］（Cellular Genetic Algorithm for Multi-objective Optimization，MOCell）是一種將元胞自動(dòng)機(jī)模型和多目標(biāo)優(yōu)化理論引入遺傳算法而發(fā)展起來的進(jìn)化算法，該算法在多樣性和收斂性方面均表現(xiàn)出良好的性能，并在工程中得到了很好的應(yīng)用［9-11］。由于桁架結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)變量通常為一些離散的實(shí)數(shù)，本文采用離散實(shí)數(shù)編碼方式，使MOCell適用于優(yōu)化模型的求解，并提出了改進(jìn)的遺傳操作算子，使算法在求解該問題時(shí)保持較好的性能。為了驗(yàn)證MOCell求解該問題的有效性，分別運(yùn)用MOCell和NSGAII［12］對經(jīng)典空間桁架優(yōu)化問題進(jìn)行求解，并將優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行比較分析。

1 桁架結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化模型

在工業(yè)生產(chǎn)中，桁架結(jié)構(gòu)的桿件橫截面積一般都已經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化，即從給定的離散實(shí)數(shù)集合中選取橫截面積。由于應(yīng)用工況不同，要求也不同，結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)可以有多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，如結(jié)構(gòu)總質(zhì)量最小、指定節(jié)點(diǎn)位移最小、自振頻率最大等等。本文研究的是在滿足桿件應(yīng)力約束條件的情況下，尋找出最優(yōu)的桿件橫截面積組合，使得桁架結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量最小以及指定節(jié)點(diǎn)位移最小。以n桿桁架為研究對象，基本參數(shù)（結(jié)構(gòu)尺寸、材料密度、彈性模量、最大允許應(yīng)力、最大允許位移等）已知，其多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型可表示為：

式中：A=［A1，A2，…，Am］T為設(shè)計(jì)變量，m為桿件的組數(shù)；W為桁架結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量，Li，Ai，ρi分別為第i組桿件的長度、橫截面積以及密度；ujl為各工況下節(jié)點(diǎn)j在給定方向l上的位移；（A）≥0為第i組桿件的應(yīng)力約束條件；［σi］，σi分別為第i組桿件的應(yīng)力允許值和各工況下的最不利應(yīng)力值；｛a1，a2，…，aq｝為可選的桿件橫截面積，一般為離散實(shí)數(shù)集合；f1，f2為子目標(biāo)函數(shù)。

2 桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化的多目標(biāo)元胞遺傳算法

2.1 多目標(biāo)元胞遺傳算法框架

元胞遺傳算法（Celluar Genetic Algorithms）［13］是一種將遺傳算法基本理論和元胞自動(dòng)機(jī)模型相互結(jié)合而發(fā)展起來的進(jìn)化算法，該算法不僅繼承了遺傳算法的優(yōu)良品質(zhì)，而且擁有元胞自動(dòng)機(jī)的部分特性。同一般遺傳算法不同的是，元胞遺傳算法將種群中的每個(gè)個(gè)體分布在一個(gè)環(huán)形聯(lián)通的網(wǎng)狀空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中，圖1a、圖1b分別顯示了一般遺傳算法中隨機(jī)分布的種群和元胞遺傳算法中具有元胞拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的種群。元胞遺傳算法中每個(gè)個(gè)體具有相同的鄰居結(jié)構(gòu)，并且每個(gè)個(gè)體只能與其鄰近個(gè)體進(jìn)行遺傳操作。如圖2所示，為元胞遺傳算法中個(gè)體的進(jìn)化循環(huán)過程，相對于個(gè)體間隨機(jī)遺傳操作的一般遺傳算法而言，元胞遺傳算法能夠使不同范圍的個(gè)體快速收斂到搜索空間的不同區(qū)域，形成多個(gè)小生鏡，每個(gè)小生境的最優(yōu)解又能夠在整個(gè)種群中緩慢擴(kuò)散，保持種群多樣性，從而使算法在具有較快收斂速度的同時(shí)，又具有較好的空間探索能力。多目標(biāo)元胞遺傳算法是在元胞遺傳算法的基礎(chǔ)上，將多目標(biāo)優(yōu)化理論融合到元胞遺傳算法中發(fā)展形成的多目標(biāo)優(yōu)化算法。

圖1 種群結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 元胞遺傳算法中個(gè)體的進(jìn)化循環(huán)過程

2.2 染色體編碼方式

染色體的編碼方式在很大程度上取決于優(yōu)化問題的類型，同時(shí)，編碼方式的好壞也決定了遺傳算子能否被很好的應(yīng)用。由于桁架結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化模型中的設(shè)計(jì)變量從給定的離散實(shí)數(shù)集合中取值，為了使MOCell適用于對優(yōu)化模型的求解，本文采用離散實(shí)數(shù)編碼方式，該編碼方式簡單易實(shí)現(xiàn)，并對該類優(yōu)化問題具有通用性。采用離散實(shí)數(shù)編碼的染色體結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 采用離散實(shí)數(shù)編碼的染色體結(jié)構(gòu)

其中，api為給定的離散實(shí)數(shù)集合 ｛a1，a2，…，aq｝中的任一元素；n為染色體的長度；p1p2…pi…pn為自然數(shù)1，2，3，…，n的任一組合。

2.3 交叉算子

在遺傳進(jìn)化過程中，交叉算子是產(chǎn)生新個(gè)體的主要方法。目前，模擬二進(jìn)制交叉算子［14］（Simulated Binary Crossover，SBX）是實(shí)數(shù)編碼的多目標(biāo)進(jìn)化算法中最常用的交叉算子，其模擬的是二進(jìn)制串單點(diǎn)交叉算子的工作原理，具有良好的全局探索能力。為了將SBX算子應(yīng)用到桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化求解中，同時(shí)考慮到染色體的編碼方式，本文提出了一種改進(jìn)的SBX算子：

其中，β為隨機(jī)變量，在每一維上都需要重新生成，生成方式如下：

其中，u為均勻分布于（0，1）區(qū)間上的隨機(jī)數(shù)；η為任意非負(fù)實(shí)數(shù)。

然后，將給定離散實(shí)數(shù)集合中的實(shí)數(shù)按照大小進(jìn)行排序，相鄰的兩個(gè)數(shù)形成閉區(qū)間，對于SBX交叉操作獲得的子代個(gè)體，判別其每一個(gè)基因ci的值位于哪一個(gè)區(qū)間，選取該區(qū)間左端點(diǎn)值作為基因ci的修正值，如果基因ci的值小于給定離散實(shí)數(shù)集合中的最小值則選取該最小值作為修正值，如果基因ci的值大于給定離散實(shí)數(shù)集合中的最大值則選取該最大值作為修正值。

2.4 變異算子

多項(xiàng)式變異算子（Polynomial Mutation）是多目標(biāo)進(jìn)化算法中廣泛使用的變異算子，該算子能較好地改善算法的局部尋優(yōu)能力，維持種群的多樣性，防止出現(xiàn)早熟現(xiàn)象。鑒于此，針對本文的編碼方式，對多項(xiàng)式變異算子進(jìn)行改進(jìn)，具體運(yùn)算步驟如下：

首先，對SBX算子所得個(gè)體c=（c1，c2，…，cn）中的任一基因ci，按照以下方式產(chǎn)生新的基因：

其中，u為均勻分布于（0，1）區(qū)間上的隨機(jī)數(shù)；ηm是分布指數(shù)，為任意非負(fù)實(shí)數(shù)。

然后，判別基因c＇i的值位于給定離散實(shí)數(shù)集合的哪一個(gè)區(qū)間，取該區(qū)間左端點(diǎn)值作為其修正值，如果基因c＇i的值小于集合中的最小值則取該最小值作為修正值，如果大于集合中的最大值則取該最大值作為修正值。

2.5 約束處理方法

在多目標(biāo)優(yōu)化中，對約束條件的處理方式一般采用罰函數(shù)法和多目標(biāo)法［15］。本文采用Deb［16］提出的多目標(biāo)法處理約束，具體如下：

（1）當(dāng)在兩個(gè)比較的個(gè)體中，一個(gè)個(gè)體為可行解，另外一個(gè)個(gè)體為不可行解時(shí)，選擇可行解；

（2）當(dāng)兩個(gè)比較的個(gè)體均為可行解時(shí)，先比較二者的支配關(guān)系，選擇非支配的個(gè)體，如果均為非支配解，選擇擁擠距離大的個(gè)體；

（3）當(dāng)兩個(gè)比較的個(gè)體均為不可行解時(shí)，選擇違反約束條件程度小的個(gè)體；

2.6 算法流程與步驟

綜合2.1～2.5節(jié)，本文采用的MOCell算法其基本流程與步驟如下：

Step1：對MOCell中的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行設(shè)置。包括個(gè)體更新策略和鄰居結(jié)構(gòu)類型（本文采用異步更新策略和Moore型鄰居結(jié)構(gòu)）、種群大小、最大評價(jià)次數(shù)、交叉概率和變異概率等。

Step2：初始化種群。按照2.2節(jié)中提出的離散實(shí)數(shù)編碼方式，隨機(jī)生成初始種群并將種群中的每個(gè)個(gè)體放置于環(huán)形聯(lián)通的網(wǎng)狀空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中。

Step3：選擇操作。根據(jù)給定的更新策略和鄰居結(jié)構(gòu)，選取中心個(gè)體及其鄰居，采用二進(jìn)制錦標(biāo)賽選擇算子從鄰居中選出父代個(gè)體。

Step4：交叉變異操作。利用2.3節(jié)和2.4節(jié)中改進(jìn)的SBX交叉和多項(xiàng)式變異算子，對父代個(gè)體進(jìn)行運(yùn)算得到子代個(gè)體。

Step5：個(gè)體更新。根據(jù)2.5節(jié)中對約束條件的處理方式，比較子代個(gè)體和父代個(gè)體的優(yōu)劣，如果子代優(yōu)于父代，則用子代替換父代，否則不替換。

Step6：判斷是否滿足終止條件。若評價(jià)次數(shù)未達(dá)到設(shè)定值，則轉(zhuǎn)至Step3，否則退出迭代，得到經(jīng)過優(yōu)化后的種群。

3 實(shí)例求解及結(jié)果分析

圖4 25桿空間桁架

如圖4所示25桿空間桁架，已知材料的彈性模量E=68950MPa，密度ρ=2768kg/m3，桿件尺寸如圖所示，其中L=635mm，可選桿件橫截面積集合D=｛0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0，1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0，2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.8，3.0，3.2，3.3，3.4｝× 645.16mm2，桿件分組見表1，每組桿件的應(yīng)力約束均為［-275.8，275.8］MPa，節(jié)點(diǎn)載荷見表2。以桿件橫截面積為設(shè)計(jì)變量，同時(shí)最小化桁架結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量和①～⑥節(jié)點(diǎn)在x-y-z三個(gè)方向的最大位移。

為了驗(yàn)證MOCell求解桁架結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化模型的有效性，分別運(yùn)用MOCell和NSGA-II對上述桁架進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，并將優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對比分析。兩種算法的參數(shù)設(shè)置為：均采用離散實(shí)數(shù)編碼，改進(jìn)的SBX算子和多項(xiàng)式變異算子；種群大小為100，最大評價(jià)次數(shù)為25000，交叉概率為0.9，變異概率為1/len，len為變量維數(shù)。這兩種算法分別對優(yōu)化模型進(jìn)行30次獨(dú)立運(yùn)行計(jì)算。

表1 25桿空間桁架桿件分組

表2 25桿空間桁架節(jié)點(diǎn)載荷

圖5 25桿空間桁架優(yōu)化MOCell和NSGA-II獲得的Pareto前端比較

圖6 25桿空間桁架優(yōu)化MOCell和NSGA-II獲得的Pareto前端豎向極端點(diǎn)分布比較

圖7 25桿空間桁架優(yōu)化MOCell和NSGA-II獲得的Pareto前端水平極端點(diǎn)分布比較

為了能直觀地了解算法的性能，繪制出MOCell和NSGA-II各自所得最優(yōu)Pareto前端對比圖，如圖5所示。從圖5可以看出，在參數(shù)一致的情況下，MOCell所得Pareto前端分布得更加均勻有致，并且更加趨于最優(yōu)，大部分的解都支配NSGA-II所得解，表明MOCell在求解該優(yōu)化問題時(shí)具有更好的收斂性和均勻性。為了比較兩種算法的擴(kuò)展性，統(tǒng)計(jì)它們30次獨(dú)立運(yùn)行所得Pareto前端的極端點(diǎn)，并利用箱形圖分別展示豎向極端點(diǎn)和水平極端點(diǎn)的分布情況，如圖6、圖7所示。箱形圖中的矩形條代表極端點(diǎn)值的四分位差，數(shù)學(xué)意義為極端點(diǎn)值的分布區(qū)域，矩形條越短意味著數(shù)據(jù)越集中，算法穩(wěn)定性越好，由圖可知，MOCell的矩形條較短，表明其穩(wěn)定性更好。矩形條中的線條代表數(shù)據(jù)的中位數(shù)，對于極端點(diǎn)，中位數(shù)越大表明極端點(diǎn)值域越廣，圖中MOCell所得兩類極端點(diǎn)的中位數(shù)都更大，表明其值域更廣，即擴(kuò)展性更好。

圖8 25桿空間桁架優(yōu)化MOCell獲得的Pareto前端與單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果比較

表3 不同方法的桿件橫截面積比較mm2

對于上述25桿空間桁架結(jié)構(gòu)，在應(yīng)力約束保持不變，①～⑥節(jié)點(diǎn)在x-y-z三個(gè)方向的最大位移不超過8.889mm的情況下，最小化結(jié)構(gòu)總質(zhì)量。文獻(xiàn)［2-4］針對這一單目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行了求解，獲得的最優(yōu)解結(jié)果如表3和圖8所示，圖8中圓圈代表MOCell在30次獨(dú)立運(yùn)行中得到的最優(yōu)Pareto前端。由圖表可知，在滿足約束的情況下，MOCell得到的Pareto前端中存在點(diǎn)A（總質(zhì)量為220.4920kg，位移為8.8660mm）支配文獻(xiàn)［2］和文獻(xiàn)［3］的最優(yōu)解，文獻(xiàn)［4］的最優(yōu)解則被Pareto前端中的其他解支配。由此可以證明單目標(biāo)優(yōu)化得到的解并不一定是最優(yōu)的，MOCell的Pareto前端包含更多的可行解，能為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供更多的方案。

4 結(jié)論

為了使桁架結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)更接近工程實(shí)際，建立了同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)總質(zhì)量和節(jié)點(diǎn)位移的多目標(biāo)優(yōu)化模型。采用離散實(shí)數(shù)編碼，將MOCell引入對桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化求解，并提出了改進(jìn)的遺傳算子，使算法保持較好的全局搜索和局部尋優(yōu)能力。運(yùn)用MOCell對25桿經(jīng)典空間桁結(jié)構(gòu)架優(yōu)化問題進(jìn)行求解，并與NSGA-II的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果表明MOCell所得Pareto前端分布更加均勻、精度更高、極端點(diǎn)值域更廣。與單目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)行對比，MOCell可以提供更多可行的設(shè)計(jì)方案。由此說明，MOCell能夠作為桁架結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的有效方法。

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（編輯 李秀敏）

Optimal Design of Truss Structure Based on Cellular Genetic Algorithm for Multi-objective Optimization

ZHU Da-lin，ZHANG Deng-huang，ZHENG Xiao-dong，WANG Jin-xue
（College of Mechanical&Power Engineering，China Three Gorges University，Yichang Hubei443002，China）

In order to make the design of truss structure more accord with the actual engineering，an optimization model was established with the goals of the minimum structural mass and the nodal displacement. Based on discrete real number coding，improved simulated binary crossover and polynomial mutation，cellular genetic algorithm for multi-objective optimization（MOCell）was successfully applied to the optimal model，integrating excellent ability of global exploration and local exploitation.To evaluate the algorithm，a comparison with NSGA-II on the optimization problem of the well-known space truss was conducted.The results indicated that the pareto front of MOCell had more uniform distribution，higher accuracy and wider range of the extreme points.It could solve this kind of discrete optimization problems effectively.

truss structure；multi-objective optimization；discrete real number coding；cellular genetic algorithm

TH122；TG659

A

1001-2265（2015）03-0016-05 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.03.005

2014-07-01；

2014-09-26

朱大林（1957—），男，湖北宜昌人，三峽大學(xué)教授，研究方向?yàn)橹悄苤圃?、結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，（E-mail）dlzhu@ctgu.edu.cn。