玫瑰線的曲率積分是定值

劉帥　鄔雯雯

（1.大連理工大學(xué)，遼寧大連　116024；2.咸陽師范學(xué)院，陜西咸陽　712000）

玫瑰線的曲率積分是定值

劉帥1鄔雯雯2

（1.大連理工大學(xué)，遼寧大連116024；2.咸陽師范學(xué)院，陜西咸陽712000）

玫瑰線是一種重要曲線，極坐標(biāo)下通過改變參數(shù)而得到不同葉子半徑和數(shù)量的優(yōu)美曲線，一般情況下參數(shù)n取正整數(shù)時得到閉合圖形。而曲率是針對曲線上某個點的切線方向角對弧長的轉(zhuǎn)動率，通過微分來定義，表明曲線偏離直線的程度，曲率問題是工程技術(shù)中的常見問題。通過求解玫瑰線的曲率對曲線的積分，在不同的參數(shù)n下分析得到一個玫瑰線全曲率的普遍規(guī)律。

玫瑰線參數(shù)方程 曲率積分全曲率

玫瑰線是一種具有周期性且包絡(luò)線為圓弧的重要曲線，它的極坐標(biāo)方程為：ρ=asin（ nθ），而玫瑰線的幾何結(jié)構(gòu)取決于方程參數(shù)的取值，不同的參數(shù)決定了玫瑰線的大小，葉子的數(shù)目和周期的可變性。這里參數(shù)a（包絡(luò)半徑）控制葉子的長短，參數(shù)n控制葉子的個數(shù)，葉子的大小及周期的長短。如，n分別取2，3，3/2時分別對應(yīng)的是三葉、四葉和六葉玫瑰線如圖1所示。通過計算機的大量實驗得到玫瑰線的一些特性如下：

特性1：當(dāng)n為整數(shù)時，若n為奇數(shù)，則玫瑰線的葉子數(shù)為n，閉合周期為π，即θ角在0-π內(nèi)玫瑰線是閉合的。當(dāng)n為偶數(shù)時，玫瑰線的葉子數(shù)為2，閉合周期為2π，即θ角取值在0-2π內(nèi)玫瑰線才是閉合和完整的。

特性2：當(dāng)n為非整數(shù)的有理數(shù)時，設(shè)為L/W，且L/W為簡約分?jǐn)?shù)，此時L與W不可能同時為偶數(shù)。L決定玫瑰線的葉子數(shù)，W決定玫瑰線的閉合周期（Wπ或2Wπ，見特性3）及葉子的寬度，W越大，葉子越寬。但W也會同時影響葉子數(shù)的多少，對同一奇數(shù)值L，在W分別取奇數(shù)和偶數(shù)值時，葉子數(shù)也是不同的。

特性3：當(dāng)L或W中有一個為偶數(shù)時，玫瑰線的葉子數(shù)為2L，閉合周期為2Wπ。當(dāng)L或W同為奇數(shù)時，玫瑰線的葉子數(shù)為L，閉合周期為Wπ。換句話說，生成偶數(shù)個葉子的玫瑰線，L或W中必須有且只有一個為偶數(shù)值，且L為葉子數(shù)的一半，而生成奇數(shù)個葉子的玫瑰線，L和W都必須為奇數(shù)，且L值就是葉子數(shù)。圖2是一些不同參數(shù)下的玫瑰線圖形。

這里僅研究n取值為正整數(shù)時候的玫瑰線。

曲線的曲率是曲線傾角對其弧長的變化率，它合理而準(zhǔn)確地刻畫了曲線在一點的彎曲程度。它針對曲線上某個點的切線方向角對弧長的轉(zhuǎn)動率，通過微分來定義，表明曲線偏離直線的程度。直角坐標(biāo)下，將玫瑰線在其弧長上每一點的曲率作以積分就得到了玫瑰線的全曲率。

圖1　左為n=4時八葉玫瑰線，右為n=3時三葉玫瑰線

圖2　不同參數(shù)下玫瑰線的圖形

經(jīng)計算，

帶入

化簡得

當(dāng) n為偶數(shù)時，2θπ-，上述積分在積分區(qū)間內(nèi)分為三段：

于是，得到在n取正整數(shù)時，玫瑰線的全曲率的一般規(guī)律。當(dāng)玫瑰線的極坐標(biāo)方程中的參數(shù)為奇數(shù)時，曲率對曲線的積分為2π，；當(dāng)n為偶數(shù)時，曲率對曲線的積分為4π。因此我們發(fā)現(xiàn)，雖然不同參數(shù)下的玫瑰線圖形不一樣，但是其曲線的彎曲程度在連續(xù)變化中所轉(zhuǎn)過的角度是一致的。

［1］大連理工大學(xué).工科微積分［M］.第2版.大連.大連理工大學(xué)出版社，2007（2）：136.