多值線性算子的正則Fredholm對(duì)的子空間序列

范亞靜，蹇人宜

（1北方民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，寧夏 銀川750021；2陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 西安710119）

多值線性算子 （又稱線性關(guān)系）是線性算子概念的自然推廣。最重要且最簡(jiǎn)單的例子是從線性空間X到線性空間Y的線性算子T的逆象，即解的集合T－1y：＝｛x∈X：Tx＝y(tǒng)｝，?y∈Y。多值線性算子的概念產(chǎn)生于20世紀(jì)50年代von Neumann關(guān)于非稠定線性微分算子的共軛算子的研究［1］。此后，最優(yōu)化與控制論的研究引出了對(duì)多值線性算子的研究［2－3］。多值線性算子的理論和方法也用來(lái)處理偏微分方程［4］和常微分方程［5］的某些問(wèn)題。線性算子的Fredholm理論在應(yīng)用數(shù)學(xué)中是一個(gè)十分有用的工具。Cross將經(jīng)典的Fredholm理論移植到線性關(guān)系中，獲得了一系列十分有價(jià)值的結(jié)果［7－11］。Alvarez在文獻(xiàn)［12］中還考慮了賦范空間中的幾乎半－Fredholm線性關(guān)系。與此同時(shí)，F(xiàn)redholm算子及指標(biāo)的概念也以多種不同的方式，向多個(gè)算子方向發(fā)展。Banach空間的Fredholm復(fù)形、Fredholm算子對(duì)及相應(yīng)指標(biāo)的穩(wěn)定性已有許多研究。此外，Boasso在文獻(xiàn)［13］中討論了正則的Fredholm對(duì)及其分類。本文將單值線性算子的正則Fredholm對(duì)的研究思想推廣到多值線性算子的范疇中，引入了Banach空間X、Y上的多值線性算子S、T構(gòu)成的正則Fredholm對(duì)的概念及其相應(yīng)的子空間序列（RS，n）n∈N、（RT，n）n∈N、（RS，n）n∈N＋和（RT，n）n∈N＋并給出其性質(zhì)。

1 基本概念與記號(hào)

定義1［6］設(shè)U、V…是任意非空集合，關(guān)系T是從U到V的映射，其定義域是U的子集D（T），且取值于2V＼?。從U到V的全體關(guān)系記為R（U，V）。

定義2［6］設(shè)X、Y是數(shù)域K＝R或C上的向量空間，關(guān)系T∈R（X，Y）稱為線性關(guān)系（或多值線性算子），是指對(duì)于所有的x、z∈D（T）以及非零系數(shù)α∈K，有

（1）Tx＋Tz＝T（x＋z）；

（2）αTx＝T（αx）。

定義3［6］記LR（X，Y）為從線性空間X到線性空間Y所有線性關(guān)系構(gòu)成的集合。T（X）＝T（D（T））稱為T的值域｛x∈D（T）：0∈Tx｝稱為T的核x∈X，y∈Tx｝稱為T的圖像。

定義4［6］設(shè)X、Y為Banach空間，若G（T）為X×Y中的閉集，則稱T為閉關(guān)系。

設(shè)X、Y為Banach空間，用記號(hào)BR（X，Y）表示X到Y(jié)的有界線性關(guān)系構(gòu)成的集合。這意味著‖T‖==d‖QT‖＜∞，其中Q＝QT是以X為定義域，以為零空間的自然商映射。

定義5［6］S∈BR（X，Y）叫作Fredholm關(guān)系，是指S是閉的，且滿足下列三個(gè)條件：

（Ⅰ）R（S）閉；

（Ⅱ）dim N（S）＜∞；

（Ⅲ）codimR（S）＜∞。

記F＝F（X，Y）表示所有LR（X，Y）上的Fredholm關(guān)系構(gòu)成的集合。

定義6［14］設(shè)S∈BR（X，Y），T∈BR（Y，X），且S、T是閉的，使得

是有限的，則（S，T）稱為多值線性算子的Fredholm對(duì)，記為（S，T）∈PR（X，Y）。

若T∈LR（X，Y）稱為正則的，是指T是閉的，且存在閉的T′∈LR（Y，X），使得T＝TT′T。又若（S，T）∈PR（X，Y），且S、T均是正則的，則稱（S，T）是正則Fredholm對(duì)，記為（S，T）∈RPR（X，Y）。

命題1 如果（S，T）∈RPR（X，Y），那么下述論斷等價(jià)：

（Ⅰ）R（T）是X的可補(bǔ)子空間；

（Ⅱ）N（S）是X的可補(bǔ)子空間；

（Ⅲ）N（S）＋R（T）是X的可補(bǔ)子空間；

（Ⅳ）N（S）∩R（T）是X的可補(bǔ)子空間；

（Ⅴ）R（S）是Y的可補(bǔ)子空間；

（Ⅵ）N（T）是Y的可補(bǔ)子空間；

（Ⅶ）N（T）＋R（S）是Y的可補(bǔ)子空間；

（Ⅷ）N（T）∩R（S）是Y的可補(bǔ)子空間。

本文延續(xù)文獻(xiàn)［14］的內(nèi)容，進(jìn)一步討論多值線性算子的正則Fredholm對(duì)的子空間序列（RS，n）n∈N、（RT，n）n∈N、（RS，n）n∈N＋和（RT，n）n∈N＋的一些性質(zhì)。通過(guò)分析可知，其均為遞減的，從而有類似于文獻(xiàn)［13］的分解。

2 子空間序列（RS，n）n∈N、（RT，n）n∈N

定義7 設(shè)X、Y是兩個(gè)Banach空間，（S，T）∈RPR（X，Y），子空間序列（RS，n）n∈N和（RT，n）n∈N分別遞歸地定義為RS，0＝Y(jié)，RT，0＝X，若RS，n、RT，n已定義，則RS，n＋1==dS（RT，n），RT，n＋1==dT（RS，n），這里N是包括0的自然數(shù)集。

命題2 （RS，n）n∈N、（RT，n）n∈N分別是Y、X的遞減序列。若S（0）、T（0）是有限維的，則RS，n、RT，n是Y和X的有限維子空間，?n≥2。

證明 RS，1＝S（RT，0）＝S（X）＝R（S）?Y＝RS，0；RT，1＝T（RS，0）＝T（Y）＝R（T）?X＝RT，0。

假定RS，n?RS，n－1，RT，n?RT，n－1對(duì)于n≥1成立，則

RS，n＋1＝S（RT，n）?S（RT，n－1）＝RS，n；

RT，n＋1＝T（RS，n）?T（RS，n－1）＝RT，n。又因?yàn)?/p>

RS，2＝R（ST）?R（T）／（N（S）∩R（T））S（0），所以RS，2是有限維的。由于RS，n?RS，2，因此RS，n（n≥2）是有限維的。

同理，RT，n（n≥2）也是有限維的。

命題3 設(shè)X、Y是Banach空間，設(shè)（S，T）∈RPR（X，Y），則對(duì)任何給定的n∈N＋（這里N＋表示正整數(shù)集），分別有X的子空間Nn、Xn2，Y的子空間Mn、Yn2，使得

（Ⅰ）RS，n＝Mn⊕Yn2，RT，n＝Nn⊕Xn2；

（Ⅱ）Mn＝RS，n∩N（T），Nn＝RT，n∩N（S）；

（Ⅲ）Yn2＝RS，n∩Yk2，Xn2＝RT，n∩Xk2，k＝1，2，…，n－1；

（Ⅳ）（Mn）n∈N＋和（Nn）n∈N＋分別是包含于N（T）和N（S）的子空間下降序列，若S（0）、T（0）是有限維的，則（Mn）n∈N＋、（Nn）n∈N＋是有限維子空間序列；

（Ⅴ）（Yn2）n∈N＋、（Xn2）n∈N＋分別是Y2、X2的子空間下降序列，若S（0）、T（0）是有限維的，則（Yn2）n∈N＋、（Xn2）n∈N＋是有限維子空間序列；

證明 定義M1==dN（T）∩R（S），X12==dX2，N1==dN（S）∩R（T），Y12==dY2。按照文獻(xiàn)［14］注2．8的（Ⅱ）和（Ⅲ），得到命題3的（Ⅰ）和（Ⅱ）。

假設(shè)命題對(duì)于n≥1時(shí)成立，則由（Ⅵ）有，S（或T）可誘導(dǎo)出擬同構(gòu)RT，n＋1），那么PSS：?S（0）（或PTT：T（0））是同構(gòu)算子。

由文獻(xiàn)［14］注2．17知，T、S可分別誘導(dǎo)出擬同構(gòu)

故分別有Y和X的子空間V和W，使得

選擇V?Yn2，W?Xn2，并定義

因此｛Yn2｝n∈N、｛Xn2｝n∈N分別是包含在Y2、X2中的下降序列。（Ⅴ）成立。（Ⅵ）、（Ⅱ）是顯然的。又

RS，n＋1＝Mn＋1⊕Yn＋12，RT，n＋1＝Nn＋1⊕Xn＋12，即（Ⅰ）成立。

由定義有

另一方面，?a∈RS，n＋1∩Y2，因?yàn)镽S，n＋1＝（N（T）∩RS，n＋1）⊕Yn＋12，所以存在唯一的m∈N（T）∩RS，n＋1，y∈Yn＋12，使得a＝m＋y，從而m∈N（T），y∈Yn＋12?Y2。又由a－y∈Y2，即m∈Y2，可知m∈N（T）∩Y2，則m＝0。因此a＝y(tǒng)∈Yn＋12。這樣便得到Y(jié)n＋12?RS，n＋1∩Y2?Yn＋12。故Yn＋12＝RS，n＋1∩Yk2＝RS，n＋1∩Y2（k＝1，2，…，n）。

同理，Xn＋12＝RT，n＋1∩Xk2＝RT，n＋1∩X2（k＝1，2，…，n）。于是，Yn2＝RS，n∩Yk2，Xn2＝RT，n∩Xk2（k＝1，2，…，n－1）。

由S（0）、T（0）是有限維的，以及命題2知，RS，n、RT，n是有限維的，因此（Yn2）n∈N＋、（Xn2）n∈N＋也是有限維序列。即（Ⅲ）成立。

由（Ⅲ）知，Yn＋12＝RS，n＋1∩Y2，Yn2＝RS，n∩Y2，Yn＋12?Yn2，因此RS，n＋1?RS，n，故

Mn＋1＝N（T）∩RS，n＋1?N（T）∩RS，n＝Mn。于是，｛Mn｝n∈N＋是包含于N（T）的下降序列。

同理，｛Nn｝n∈N＋是包含于N（S）的下降序列。并且當(dāng)S（0）、T（0）是有限維時(shí)，由命題2知，RT，n、RS，n是有限維的，于是，｛Mn｝n∈N和｛Nn｝n∈N＋是有限維的，故（Ⅳ）成立。

3 子空間序列（RS，n）n∈N＋、（RT，n）n∈N＋

定義8 設(shè)X、Y是兩個(gè)Banach空間，且（S，T）∈RPR（X，Y），Y和X的子空間序列（RS，n）n∈N＋和（RT，n）n∈N＋分別定義為

RS，1＝R（S）＝S（X），RT，1＝R（T）＝T（Y），若RS，n、RT，n已經(jīng)定義，則

這里，X、Y、S、T是文獻(xiàn)［14］注2．17引入的子空間和線性關(guān)系。

顯然，RS，n?RS，n，RT，n?RT，n，?n∈N＋。

關(guān)于RS，n和RT，n有如下基本事實(shí)。

命題4 設(shè)X、Y是Banach空間，設(shè)（S，T）∈RPR（X，Y），S（0）、T（0）是有限維的，則有X的子空間的兩個(gè)序列（Nn）n∈N、（Xn2）n∈N＋，Y的兩個(gè)子空間序列（Mn）n∈N＋、（Yn2）n∈N＋，使得?n∈N＋，有

（Ⅳ）T（或S）誘導(dǎo)出擬同構(gòu)

（Ⅴ）RS，n＝RS，n＋1＋RS，n，RT，n＝RT，n＋1＝RT，n；

（Ⅵ）Mn＝Mn＋1＋Mn，Nn＝Nn＋1＋Nn；

（Ⅶ）Yn2＝Y(jié)n＋12＋Yn2，Xn2＝Xn＋12＋Xn2；

（Ⅷ）當(dāng)n＝1時(shí)，分別有X的子空間XN、X2和Y的子空間YM、Y2，使得X2、Y2是有限維的，且X＝XN＋X2，Y＝Y(jié)M＋Y2，并有擬同構(gòu)

證明 ?n∈N＋，考慮由T誘導(dǎo)的擬同構(gòu)

因?yàn)镽T，n＋1?RT，n＋1?RT，2＝R（TS），所以存在RS，n的一個(gè)有限維子空間Ln，使得

RS，n＝（N（T）∩RS，n）＋Ln。

另一方面，?a∈RS，n∩Yn2，?唯一的m∈N（T）∩RS，n，l∈Ln，使得a＝m＋l。由于a∈Yn2，l∈Ln?Yn2，故a－l∈Yn2，又a－l＝m∈N（T）∩RS，n，因此

又由命題3（Ⅲ）知，

這里，k＝1，2，…，n－1，因而a－l＝m＝0，故a＝l∈Ln。于是RS，n∩Yn2＝Ln。定義Mn＝RS，n∩N（T），Yn2＝Ln。顯然，（Ⅰ）—（Ⅳ）關(guān)于S的結(jié)論成立。

同理可得，（Ⅰ）—（Ⅳ）關(guān)于T的結(jié)論也成立。

下證（Ⅴ）。首先由文獻(xiàn)［14］注2．17知，

假設(shè)對(duì)于S、T當(dāng)n≥1時(shí)結(jié)論成立，即有

RS，n＝RS，n＋1＋RS，n，RT，n＝RT，n＋1＋RT，n，那么由命題3（Ⅵ），并且

同理，RT，n＋1＝RT，n＋2＋RT，n＋1。所以（Ⅴ）對(duì)于一切n≥1都成立。

接下來(lái)證（Ⅵ）和（Ⅶ）。根據(jù)命題3（Ⅰ）及已證明的命題4（Ⅰ）和（Ⅴ）有

特別地，

同理可得，關(guān)于T的類似結(jié)論。

注1 設(shè)X、Y是Banach空間，設(shè)（S，T）∈RPR（X，Y），對(duì)于n∈N，根據(jù)文獻(xiàn)［14］注2．17，有

X＝R（T）＋X1＋X，Y＝R（S）＋Y1＋Y。

又根據(jù)命題3、命題4，有

同理，

這里i＝1，2，…，n－1。

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