斜坡上波浪破碎與越浪非靜壓數(shù)值模擬

張 娜，鄒國良

(1. 天津城建大學 土木工程學院，天津 300384; 2. 南京水利科學研究院，江蘇 南京 210024)

斜坡上波浪破碎與越浪非靜壓數(shù)值模擬

張 娜1，鄒國良2

(1. 天津城建大學 土木工程學院，天津 300384; 2. 南京水利科學研究院，江蘇 南京 210024)

為合理確定防浪建筑物的越浪量，基于含非靜水壓力梯度項的非線性淺水方程建立了近岸波浪越浪數(shù)值模型。通過采用域內造波、消波并結合波前靜壓假定的破碎模型，模擬了規(guī)則波和不規(guī)則波在斜坡上的波浪傳播變形，并在此基礎上進行了越浪量數(shù)值計算。數(shù)值計算結果與物理模型實驗結果表明，非靜壓模型可合理地描述波浪破碎點位置、破碎后的波高、增減水以及斜坡上的堤后越浪量。數(shù)值模型具有較高的計算精度和計算效率，可為實際工程防浪建筑物越浪以及堤頂高程的設計提供一種新的數(shù)值研究手段。

非靜壓；海堤；波浪破碎；越浪量；數(shù)值模擬

修筑堤防、護岸是沿海地區(qū)抵御風暴潮災害的主要工程設施。如果波浪水體大量越過堤頂，就可能對堤后結構造成破壞。因此，尋求一種高效高精度的數(shù)值方法模擬波浪在斜坡上的傳播變形及越浪，對實際工程合理確定海堤護岸堤頂高程具有十分重要的意義，可為我國海堤的合理設計提供科學依據(jù)。

越浪過程包括了波浪在斜坡上的爬高、破碎等復雜的波面變形，以往研究大多采用物理模型實驗的方法，并在大量實測數(shù)據(jù)的基礎上提出估算海堤越浪量的經(jīng)驗公式[1-3]，為數(shù)學模型的開發(fā)提供了寶貴的驗證資料。

數(shù)值模擬是海堤護岸越浪量的一種重要研究方法。目前數(shù)值計算越浪的平面二維模型主要是沿水深積分的模型(如緩坡方程模型和Boussinesq 方程模型等)。二維模型雖然能夠較好地模擬不同波浪變形[4-9]，但在描述地形變化劇烈、短周期波、大密度梯度等動壓力過程的快速變化時仍存在不足。近些年，在波浪與建筑物相互作用、波浪變形數(shù)值模擬中發(fā)展較快的三維數(shù)值模型主要有無網(wǎng)格SPH粒子方法[10]、基于VOF方法求解自由面的雷諾時均N-S方程(RANS)[11-15]等。這些方法適合模擬波浪翻卷、破碎等具有大變形和運動交界面的強非線性自由表面流動問題，已被用于海堤的越浪模擬，但其計算量大，計算效率低，制約了其在實際工程中的廣泛應用。

近年來，采用水位函數(shù)法求解自由面的三維非靜壓波浪模型得到了較快發(fā)展。基于非靜壓模型SWASH模擬實驗室尺度的低頻波在斜坡和淺灘上的傳播，并與水槽實驗進行對比發(fā)現(xiàn)，不僅波高與周期較為吻合，還能有效模擬低頻波的破碎現(xiàn)象[16]?；贕odunov離散格式的三維非靜壓波浪模型NHWAVE能夠較好地模擬波浪的反射，繞射和破碎[17]。通過引入改進的k-ε模型和隨時間變化的孔隙率系數(shù)，NHWAVE還能模擬三維孤立波與多孔結構的相互作用、滲透結構周圍的流場及低頻波的傳播[18-19]。基于有限元開發(fā)的沿深度積分的非靜壓模型CCHE2D-NHWAVE被用于近岸波浪破碎、越浪量及植被消波的數(shù)值模擬[20-21]。

基于N-S方程的非靜壓波-流模型SWASH近年開始逐漸應用于近岸波浪變形及波浪與建筑物相互作用的描述[16, 22-24]。SWASH最早是由Delft大學開發(fā)的，其開源程序可通過http://swash.sourceforge.net免費獲取[25]。近期針對模型開展了一系列的研究，如通過在連續(xù)性方程中添加質量源項進行域內源造波，在非靜壓模型中實現(xiàn)無反射造波[26]；將基于求解相位平均的波作用譜模型和求解相位的非靜壓波浪模型進行嵌套，合理描述波浪從大范圍區(qū)域向小范圍區(qū)域的傳播變形等[27]。SWASH通過求解含非靜壓項的非線性淺水方程來模擬波浪的傳播變形，在垂向往往只需要2～3層[28]即可較好地描述強非線性和強色散性波，使得近岸波浪變形的模擬既能滿足精度要求，又具有較高的計算效率，對于實際工程具有很大的應用潛力。

目前基于非靜壓波浪模型模擬越浪的研究較少[22]。為此，本文應用非靜壓SWASH波浪模型模擬規(guī)則波和不規(guī)則波作用下的波浪在斜坡上的傳播變形(包含了破碎過程)與越浪，并與物理模型實驗結果進行對比，檢驗非靜壓波浪模型SWASH的模擬精度，同時也為越浪的數(shù)值模擬提供一種新的計算方法。

1 數(shù)值模擬方法

1.1 非靜壓波浪模型的控制方程及邊界條件

本文的主要工作是在垂向二維的開源非靜壓波浪模型SWASH基礎上進行，該模型控制方程為包含非靜壓項的淺水方程，其垂向二維的控制方程為：

式中：t表示時間，x是水平坐標，u是x向深度平均的流速，ws和wb分別是表層和底層z方向上的流速，ζ是自由表面高程，d是靜水深，H是總水深，qb是底部非靜壓，g是重力加速度，Cf是無量綱底部摩擦系數(shù)，vt是渦粘系數(shù)。

在自由表面處忽略表面張應力，壓力邊界條件為：

底部邊界條件為：

造波邊界采用域內源造波[26]并結合改進的海綿層消波方法進行數(shù)值消波。

1.2 數(shù)值方法

圖1 計算網(wǎng)格劃分示意Fig. 1 Diagram of computational grid

圖2 交錯網(wǎng)格變量布置方式Fig. 2 Arrangement of the unknowns with a staggered grid system

非靜壓模型采用分步法并結合壓力校正法求解非靜壓-速度耦合方程。時間積分采用變時間步長的顯格式，具體的方程離散及數(shù)值計算方法詳見文獻[22]。

1.3 波浪破碎模型

波浪從深水向淺水傳播的過程中，其非線性影響逐漸增強。伴隨著波形的變陡，水質點的垂向速度梯度增大，波峰處水質點速度接近波浪相速度，而波谷處水質點速度相對較小，當波峰處的水質點水平速度等于波浪傳播的相速度時，波形不能保持穩(wěn)定，波浪發(fā)生破碎，破碎波形成后盡管波前垂向速度梯度仍然較大，但非靜壓梯度的影響，尤其是在沿水深積分形式的動量方程中的影響變得較小[28]。因此，波浪在發(fā)生破碎時，采用波前靜壓假定方法將非靜壓模型轉化為可較好描述破波帶內波浪傳播守恒的非線性靜壓淺水方程，可降低模型在模擬波浪破碎時的垂向網(wǎng)格數(shù)量。Smit 等[23]提出當網(wǎng)格點的垂向速度滿足式(10)或者其臨近網(wǎng)格的垂向速度滿足式(11)時(β<α)即認為波浪破碎，該網(wǎng)格的非靜壓設置為零，只進行靜壓計算；當破碎波波峰離開該網(wǎng)格點，即垂向速度滿足式(12)時，重新進行非靜壓計算。

式中：c為波速，α和β分別為與破碎波形態(tài)有關的系數(shù)。

本文旨在探討垂向網(wǎng)格較粗即分層較少時利用非靜壓波浪模型模擬波浪破碎，且在波浪破碎時將模型轉化為靜壓非線性淺水方程模型，因此可通過引入紊動模型的方法來模擬波浪破碎引起的能量損耗。紊動模型的關鍵在于合理確定紊動粘滯系數(shù)，SWASH模型中波浪破碎的粘滯系數(shù)采用的是類似于Zelt[29]提出的混合長度模型，即認為粘滯系數(shù)與速度梯度以及混合長度有關：

式中：lmix為混合長度，與當?shù)氐牟ǜ叱烧龋壤禂?shù)為1[23]。

2 模擬結果

斜坡上越浪的模擬首先需要數(shù)學模型能準確地模擬波高、破碎點、增減水等，為此采用物理模型實驗對數(shù)學模型在規(guī)則波和不規(guī)則波作用下的波浪傳播變形進行驗證。在此基礎上進一步利用物理模型實驗對規(guī)則波和不規(guī)則波作用下的越浪數(shù)值模擬進行驗證。

2.1 波浪在斜坡上傳播變形的數(shù)值模擬分析

1)規(guī)則波作用下波浪變形數(shù)值模擬及驗證

規(guī)則波作用下波浪傳播變形的數(shù)值模擬基于Ting的崩破波模型實驗[5]。該模型為一個40 m長的波浪水槽，造波位置的靜水深為0.4 m，距離造波板24.75 m處有一段1∶10的陡坡，由坡底0.4 m水深過渡到坡腳處靜水深為0.38 m，水槽末端設置一段1∶35的斜坡延伸至陸地，坡頂露出水面0.05 m，如圖3所示。入射波高為0.125 m，平均周期為2.0 s，沿程布置了21個傳感器，傳感器坐標值如表1所示(坡腳的靜水面位置為坐標軸原點，坡腳位置水平方向向右為x軸正向，靜水面豎直向上為y軸正向)。

圖3 實驗布置(單位：m)Fig. 3 Experimental setup of regular wave transformation (measurements are in meters)

傳感器編號1234567891011X坐標/m-1.45-0.460.541.542.533.524.535.516.016.406.52水深/m0.4000.4000.3640.3350.3070.2780.2490.2210.2060.1940.190傳感器編號12131415161718192021X坐標/m7.017.518.028.519.019.499.9810.4910.9911.50水深/m0.1760.1630.1490.1370.1220.1060.0900.0760.0630.049

數(shù)學模型的范圍與物理模型基本一致，在進行模型參數(shù)設置時，水平方向的網(wǎng)格步長為0.05 m，垂向劃分了2層(垂向分層由kd值決定，其中k表示波數(shù)，d表示水深。當kd<7.0時，垂向劃分2層即可滿足色散性要求[22])。初始時間步長為0.01 s，計算時間步長會根據(jù)CFL數(shù)自動調整，最大CFL數(shù)設置為0.4。與物理模型實驗一致，水槽左端為入射邊界，波浪以源函數(shù)造波方式給出[26]，模型始末端邊界設置各10 m的海綿層，以消除二次反射。由于波浪數(shù)值水槽需要額外預留設置海綿層的空間尺度，因此總長度為60 m。模型計算的初始時間步長為0.01 s，取200個波周期進行波高與增減水的統(tǒng)計。

由于波浪破碎參數(shù)的選取對模擬結果具有重要影響，為此分別對最大波陡參數(shù)α(0.4～0.8)和波形參數(shù)β(0.2～0.6)進行波高與增減水的敏感性分析，結果發(fā)現(xiàn)，波形參數(shù)β=0.2不變，當α從0.6減小至0.4時，波浪初始耗散滯后，當α從0.6增大至0.8時，波浪初始耗散提前。波形參數(shù)β對于波高及增減水的影響并不如最大波陡參數(shù)α的作用明顯，如圖4所示。根據(jù)敏感性分析實驗可知，最大波陡參數(shù)α設為0.8，波形參數(shù)β設為0.2時，表1所示的各傳感器位置波高與增減水的計算值與實測值吻合最好。

圖4 非靜壓規(guī)則波波高模擬結果及增減水模擬結果與實測值對比Fig. 4 Comparison between physical and numerical simulations for the spatial distribution of Hm0 and wave set-up

對采集到的波高數(shù)據(jù)(α=0.8，β=0.2)進行分析，計算的最大波高值為0.168 m，對應水深為0.203 m，該點增水為0.33 cm；實測值的最大波高為0.165 m，對應水深為0.206 m，該點增水為0.35 cm。計算出的破波點處水深為0.201 m，破碎波高為0.162 m，該點增水0.32 cm；實測值的破波點處水深為0.196 m，破碎波高為0.162 m，該點增水0.32 cm。波浪破碎后繼續(xù)向近岸傳播，該過程中波高和水深比一直保持常數(shù)，在0.61左右，在X=11.5 m處，波高與水深比降為0.38，規(guī)則波作用下的數(shù)學模型與物理模型實驗結果吻合較好。

2)不規(guī)則波作用下的波浪變形數(shù)值模擬及驗證

圖5 實驗布置(其中(b)為海堤局部放大，單位:m)Fig. 5 Experimental setup of irregular wave transformation and wave overtopping (measurements are in meters)

傳感器編號123456X坐標/m12.030.036.041.044.846.0水深/m0.94000.46860.29540.15110.04140.0056

波浪數(shù)值水槽長度為70 m，與物理模型實驗一致，網(wǎng)格步長為0.04 m，垂向劃分2層。初始時間步長為0.005 s，模擬時間與物理模型實驗一致，為40 min，取769個波周期進行波高與增減水的統(tǒng)計。底摩阻系數(shù)取0.01，實驗時，水槽兩端設置了10 m的海綿層，以消除波浪反射的影響。波高與增減水的數(shù)物模結果對比如圖6所示，能量譜模擬結果與物模結果對比見圖7。

圖6 非靜壓不規(guī)則波波高模擬結果及增減水模擬結果與實測值對比Fig. 6 Comparison between physical and numerical simulations for the spatial distribution of Hm0 and wave set-up

圖7 2#測點及4#測點不規(guī)則波能量譜模擬結果與實測值對比Fig. 7 Comparison between physical and numerical simulations for wave energy spectrum at station 2 and station 4

根據(jù)實驗結果可知，不規(guī)則波從外海傳至近岸海堤的過程中，計算值的波高在2#測點位置處達到最大，最大波高為0.199 m，減水為-0.252 m；物模測量的最大波高為0.195 m，也是在2#測點位置達到最大，減水為-0.276 m，數(shù)物模對比的譜能量分布如圖7(a)所示。在4#測點位置處，計算值的波高發(fā)生破碎，破碎波高為0.122 m，增水為0.295 m，波高與水深之比為0.81；物模測量的破碎波高為0.134 m，增水為0.165 m，波高與水深之比為0.88，圖7(b)顯示了波浪破碎后的雙峰譜能量分布(數(shù)模與物模對比圖)。總體來說，不規(guī)則波作用下的數(shù)學模型與物理模型實驗結果吻合較好。

2.2 波浪越浪的數(shù)值模擬分析

平均越浪量qa可根據(jù)越浪水舌厚度h(t)與堤頂末端的水層流速u(t)計算。瞬時越浪量qi(t)與平均越浪量qa的關系可由下式表示：

式中：ts和te分別代表測量越浪量的開始和結束時間。

1)規(guī)則波作用下的越浪數(shù)值模擬及驗證

規(guī)則波作用下的越浪數(shù)值模擬是基于張九山的物理模型實驗[13]。水槽長60 m，寬0.8 m，高1.2 m，造波機至緩坡坡腳位置為一段長度為15 m的平底，靜水深為0.65 m，緩坡的坡度為1∶40，緩坡坡頂位置的靜水深為0.45 m，之后通過一段長度為7 m的平底過渡到斜坡堤堤腳。從斜坡堤堤腳通過一段1∶3的斜坡過渡到斜坡堤堤頂，斜坡的水平長度為1.5 m，斜坡堤頂部高出靜水面0.05 m。在斜坡堤堤頂設置一個直立式胸墻，胸墻頂高出靜水面0.125 m，實驗布置如圖8所示。規(guī)則波入射波高為0.132 m，平均周期1.357 s。

圖8 實驗布置(單位：m)Fig. 8 Experimental setup of regular wave overtopping (measurements are in meters)

數(shù)學模型的范圍與物理模型實驗基本一致，在進行SWASH模型參數(shù)設置時，水平方向的網(wǎng)格步長為0.05 m，垂向劃分了兩層。初始時間步長為0.01 s。與物理模型實驗一致，水槽左端為入射邊界，波浪以源函數(shù)造波方式給出[26]，水槽兩端各設置了7.2 m的海綿層，以消除波浪的二次反射。堤腳處波面高程隨時間變化歷時曲線的數(shù)物模結果對比如圖9所示，數(shù)模模擬的規(guī)則波單寬瞬時越浪量的歷時曲線如圖10所示。圖11為堤頂末端的越浪水舌厚度和水層速度隨時間變化曲線。

圖9 堤腳處波面高程隨時間變化歷時曲線數(shù)物模結果對比Fig. 9 Comparison between physical and numerical simulations for time series of free-surface

圖10 規(guī)則波單寬瞬時越浪量的時間過程線Fig. 10 Time series of instantaneous wave overtopping discharge elevations at the toe of the dike

圖11 堤頂末端越浪水舌厚度和水層速度隨時間變化曲線Fig. 11 Time series of layer thickness and layer speed

根據(jù)圖9可知，數(shù)物模各時刻的波面過程吻合較好。根據(jù)數(shù)值模擬結果，從第40 s到第60 s的時間段內，最大單寬瞬時越浪量為0.014 m3/m·s，發(fā)生在第42.55 s，對應時刻的越浪水舌厚度為0.022 m，堤頂水平流速為0.648 m/s。根據(jù)公式(10)對圖11中越浪水舌厚度與水層速度相乘即得到圖10中的單寬瞬時越浪量，再利用公式(11)對圖10中的單寬瞬時越浪量進行面積積分，即求得平均越浪量為qa=1.48×10-3m3/m·s，與物理模型實驗測量的平均越浪量qa=1.44×10-3m3/m·s吻合很好。圖12為規(guī)則波越浪(t=40 s)的數(shù)值水槽波面圖，計算結果較好地模擬出了堤頂越浪的過程。

圖12 規(guī)則波越浪瞬間的數(shù)值水槽波面 (t=40 s )Fig. 12 Numerical flume wave surface of instantaneous wave overtopping (t=40 s)

圖13 不規(guī)則波單寬瞬時越浪量的歷時曲線Fig. 13 Instantaneous wave overtopping discharge

2)不規(guī)則波作用下的越浪數(shù)值模擬及驗證

采用Suzuki不規(guī)則波作用下越浪物理模型實驗對數(shù)學模型進行驗證[22]，關于波浪在斜坡堤上的傳播變形已經(jīng)在2.1節(jié)中進行了論述。圖13為數(shù)模模擬的不規(guī)則波單寬瞬時越浪量的歷時曲線，圖14分別為堤頂末端的越浪水舌厚度(圖14(a))和水層速度(圖14(b))。與規(guī)則波越浪原理一樣，其中單寬瞬時越浪量是由越浪水舌厚度與水層速度的乘積獲得。

根據(jù)數(shù)值模擬結果，從第20 s到第140 s的時間段內，最大單寬瞬時越浪量為0.032 m3/m·s，發(fā)生在第86.8 s，對應時刻的越浪水舌厚度為0.020 m，堤頂水平流速為1.592 m/s。利用公式(11)對圖12中的單寬瞬時越浪量進行面積積分，即求得平均越浪量為qa=0.56×10-3m3/m·s，與物理模型實驗測量的平均越浪量qa=0.58×10-3m3/m·s吻合很好。圖15為不規(guī)則波越浪(t=58 s)的數(shù)值水槽波面圖。

圖14 堤頂末端越浪水舌厚度和水層速度隨時間變化曲線Fig. 14 Time series of layer thickness and layer speed

圖15 不規(guī)則波越浪瞬間的數(shù)值水槽波面(t=58 s)Fig. 15 Numerical flume wave surface of instantaneous wave overtopping (t=58 s)

3 結 語

基于非靜壓模型SWASH建立了波浪數(shù)值水槽，利用域內源造波和海綿層消波方法對規(guī)則波和不規(guī)則波作用下的波浪在斜坡上的傳播變形與越浪過程進行了模擬。通過與物理模型實測數(shù)據(jù)的對比，結果表明，非靜壓模型SWASH對于模擬波浪傳播、破碎、增減水、越浪具有較高的計算精度，此外，垂向只需劃分2～3層即可達到該精度要求，表明非靜壓模型還具有較高的計算效率，對于實際工程具有很大的應用潛力。

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Numerical simulation of wave transformation and overtopping based on non-hydrostatic model

ZHANG Na1, ZOU Guoliang2

(1. School of Civil Engineering, Tianjin Chengjian University, Tianjin 300384, China; 2. Nanjing Hydraulic Research Institute, Nanjing 210024, China)

A wave overtopping numerical model is developed based on the non-linear shallow water equations with non-hydrostatic pressure to reasonably determine the overtopping discharge of the seawall. Wave transformation and wave overtopping discharge on the slope under regular wave and irregular wave are simulated by using internal source generation of waves, wave damping absorber and wave breaking model with hydrostatic front approximation. The results from numerical simulations are compared with physical model data. Good agreement shows that the non-hydrostatic model can reasonably describe the wave breaking location, breaking wave height, wave set-up and wave overtopping discharge. It can be concluded that the non-hydrostatic wave model can provide a new numerical method for practical engineering research of seawall protection with high accuracy and computational efficiency.

non-hydrostatic; seawall; wave breaking; wave overtopping; numerical simulation

TV139.2

A

10.16483/j.issn.1005-9865.2015.02.004

1005-9865(2015)02-0032-10

2014-06-30

天津市自然科學基金資助(14JCYBJC22100)；天津市建交委科技計劃項目(2013-8)；國家級大學生創(chuàng)新訓練計劃項目(201310792017)

張娜(1978-)，女，天津人，博士，高級工程師，主要從事港口、海岸及近海工程研究。E-mail: cheungna@126.com

鄒國良。E-mail: glzou@nhri.cn