例談三角函數(shù)圖像變換中的易錯(cuò)點(diǎn)

賴建華

（晉江市英林中學(xué) 福建晉江 362256）

例談三角函數(shù)圖像變換中的易錯(cuò)點(diǎn)

賴建華

（晉江市英林中學(xué) 福建晉江 362256）

人教版高中數(shù)學(xué)必修4，教材在編寫函數(shù)y=Asin(ωx +?)的圖像時(shí)，利用計(jì)算機(jī)技術(shù)分別動(dòng)態(tài)地演示了參數(shù)?,ω,A對圖像的影響，這種化抽象為具體、化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)的方法，可以讓學(xué)生真實(shí)感受到這種變化和影響，學(xué)生應(yīng)該是可以很好理解并掌握好這節(jié)內(nèi)容的，但我發(fā)現(xiàn)在具體操作中，學(xué)生卻很容易犯錯(cuò)。

三角 圖像變換 表達(dá)式

一、錯(cuò)因分析

針對學(xué)生為啥還容易出錯(cuò)，我進(jìn)行了比較詳細(xì)的了解和分析，究其原因主要有：1、函數(shù)y=sinx的圖像變?yōu)楹瘮?shù)y=Asin(ωx +?)的圖像，可以通過改變?,ω,A的變換順序，達(dá)到相同的目的，但中間的變換又有差別，特別是在先?后ω,還是先ω后?時(shí)容易出錯(cuò)，以及在ω和A的倍數(shù)關(guān)系時(shí)容易混淆；2、學(xué)生在做這種題時(shí)，只是利用已學(xué)的理論知識(shí)解題，不會(huì)利用計(jì)算機(jī)技術(shù)輔助解題，即使做錯(cuò)了，他們也發(fā)現(xiàn)不了錯(cuò)誤；3、最主要原因還是學(xué)生對參數(shù)?,ω,A對圖像的影響，這種影響變換的本質(zhì)沒有理解到位。

二、變換本質(zhì)

函數(shù)y=sinx的圖像變?yōu)楹瘮?shù)y=Asinx （A>0）的圖像時(shí)，參數(shù)A只影響到縱坐標(biāo)y的倍數(shù)，是振幅變換，使得縱坐標(biāo)y伸長（A>1）或者縮短（00）與單個(gè)x同時(shí)出現(xiàn)的，是相位變化，構(gòu)成了x+?的形式，使得y=sinx的圖像向左（?>0）或者向右（?<0）移動(dòng)?個(gè)單位；函數(shù)y=sinx的圖像變?yōu)楹瘮?shù)y=sinωx(ω＞0)的圖像時(shí)，參數(shù)ω只影響到橫坐標(biāo)x的倍數(shù)，是周期變換使得橫坐標(biāo)x伸長（0<ω<1）或者縮短（ω>1）到原來的1倍。ω

三、例題分析

題型1、函數(shù)y=Asinx的圖像變?yōu)楹瘮?shù)y=Asin(ωx +?)的圖像，在處理參數(shù)?,ω對圖像的影響時(shí)

把函數(shù)y=2sinx,x∈R的圖像上所有的點(diǎn)做_____________變換；

【典型錯(cuò)誤】這種題平時(shí)練習(xí)比較多的，但學(xué)生還是會(huì)做錯(cuò)，學(xué)生容易在兩處出錯(cuò)，錯(cuò)誤一：在處理參數(shù)ω處，容易錯(cuò)做成ω倍，如向左平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）；錯(cuò)誤二：如果是

先周期變換后相位變化時(shí)，沒有提取變量x的系數(shù)，容易做成所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），再圖像向左平移個(gè)單位。

題型2：函數(shù)y=sin(ωx +?)的圖像變?yōu)楹瘮?shù)y=Asin(ωx+?)+B的圖像，在處理參數(shù)A、B對圖像的影響時(shí)

例題2、（2009年山東卷改編題1）將y=sin2x的圖像向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后，縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍（橫坐標(biāo)不變）所得圖像的函數(shù)表達(dá)式為___________。

【典型錯(cuò)誤】在此題中A影響的是縱坐標(biāo)y倍數(shù)，是振幅變化，而B是影響圖像的上下平移變換，這種題型在教材中沒有涉及到，但并不超綱，由于學(xué)生平時(shí)很少練習(xí)到，學(xué)生就更容易出錯(cuò)了，易犯錯(cuò)誤地方主要有：1、在處理相位變化時(shí)，容易把將y=sin2x的圖像向左平移個(gè)單位后，所得的函數(shù)表達(dá)式錯(cuò)誤做成了y=sin(2x +)；2、在處理先上下平移后縱坐標(biāo)的振幅變化時(shí)，由于對參數(shù)A變換的本質(zhì)認(rèn)識(shí)不到位，做成如將y=sin2x的圖像向上平移1個(gè)單位后，得函數(shù)y=sin2x+1的圖像，后縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍（橫坐標(biāo)不變），錯(cuò)誤得函數(shù)表達(dá)式為y=3sin2x+1，這樣縱坐標(biāo)就沒有伸長到原來的3倍。

長到原來的3倍（橫坐標(biāo)不變）后得到的為函數(shù)y=3[sin2(x+)+1]=3sin(2x +)+3的圖像。

例題3、（2009年山東卷改編題2）：要將函數(shù)y=sin2x的圖像變?yōu)楹瘮?shù)y=3sin2x +1的圖像，要做如何變換_________________。

【正確解答1】將函數(shù)y=sin2x的圖像縱坐標(biāo)伸長為原來的3倍（橫坐標(biāo)不變）得到函數(shù)y=3sin2x的圖像，再圖像向上平移1個(gè)單位得到y(tǒng)=3sin2x +1的圖像。

三角函數(shù)圖像變換的形式靈活多樣，不管是先有表達(dá)式后寫變換過程，還是先有變換過程后求表達(dá)式，但只要我們重視概念的教學(xué)，向?qū)W生講清了各個(gè)參數(shù)?,ω,A、B對圖像影響的本質(zhì)，學(xué)生就可以自己透過現(xiàn)象看清事物的本質(zhì)也就能減少類似的錯(cuò)誤了。