非線性彈性轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)穩(wěn)定裕度數(shù)值分析

劉繼華，陳立，羅載奇，李奕新，錢興良

（中國燃?xì)鉁u輪研究院，成都610500）

非線性彈性轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)穩(wěn)定裕度數(shù)值分析

劉繼華，陳立，羅載奇，李奕新，錢興良

（中國燃?xì)鉁u輪研究院，成都610500）

基于互補群群際能量壁壘準(zhǔn)則量化理論，提出了軌跡加速度-位移擴(kuò)展相平面穩(wěn)定裕度分析法，從理論分析、數(shù)值計算兩方面驗證了該方法的正確性。建立了采用Capone圓軸承非線性油膜力模型的彈性轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)模型，并用數(shù)值積分和龐加萊映射方法，得到系統(tǒng)在某些參數(shù)域中的分岔圖、軸心軌跡圖、龐加萊映射圖、時間歷程圖和頻譜圖，得出分岔失穩(wěn)速度隨質(zhì)量偏心的變化規(guī)律：分岔速度隨質(zhì)量偏心的趨勢是先減小后增大，擬合曲線符合三次高斯公式，擬合精度達(dá)0.998 2。數(shù)值分析結(jié)果為該類轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的設(shè)計和安全運行提供了理論參考。

旋轉(zhuǎn)機(jī)械；轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)；加速度-位移擴(kuò)展相平面；非線性；穩(wěn)定裕度；分岔失穩(wěn)轉(zhuǎn)速；質(zhì)量偏心

1　引言

高轉(zhuǎn)速輕結(jié)構(gòu)是高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械的設(shè)計趨勢，它提高了旋轉(zhuǎn)機(jī)械的性能，但也引發(fā)出很多嚴(yán)重的問題［1］。比如原來能用線性理論得出的結(jié)果不僅誤差大，而且無法解釋實際中出現(xiàn)的自激振動、分岔、跳躍等現(xiàn)象［2］。動力機(jī)械工程中，具有強(qiáng)烈非線性的重要組成部分是油膜軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)［3-6］。

定性的穩(wěn)定性分析只能確定某些特殊點系統(tǒng)是否穩(wěn)定，而無法判斷一個原來穩(wěn)定的系統(tǒng)在參數(shù)小變化下是否還能保持穩(wěn)定，也無法估計一個不穩(wěn)定系統(tǒng)的參數(shù)如何變化、變化多少才能使其穩(wěn)定。這時需采用穩(wěn)定定量分析方法［7］。

薛禹勝院士在電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中提出的互補群群際能量壁壘準(zhǔn)則量化理論，在國內(nèi)外電力系統(tǒng)中得到成功應(yīng)用［8］，后來又被引入到非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中［9-10］。文獻(xiàn)［11］采用動能差序列衰減指數(shù)法來衡量工頻周期運動的穩(wěn)定裕度。由于分析的是系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的數(shù)據(jù)，每次實驗需用小重物敲擊轉(zhuǎn)子圓盤幾次。這樣不僅對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有損壞，而且每次敲擊的力度不同，所測的數(shù)據(jù)也會不同，從而造成一定的誤差。

本文提出了基于軌跡的加速度-位移擴(kuò)展相平面穩(wěn)定裕度分析法，并從數(shù)學(xué)理論和數(shù)值計算兩個方面求證其正確性。這種方法的好處是直接從穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)著手，避免敲擊轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)而產(chǎn)生的系統(tǒng)損壞?；贑apone圓軸承非線性油膜力模型，對彈性轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值計算，得出系統(tǒng)隨參數(shù)變化的穩(wěn)定裕度變化。采用分岔圖、軸心軌跡圖、龐加萊映射圖、時間歷程圖和頻譜圖分析轉(zhuǎn)子盤中心振動響應(yīng)，得出分岔速度隨質(zhì)量偏心的變化規(guī)律。

2　數(shù)學(xué)模型

分析對象為單盤對稱轉(zhuǎn)子，見圖1，兩端支撐為滑動短軸承。采用簡單離散轉(zhuǎn)子模型［12］，將圖中的轉(zhuǎn)子模型離散為三個質(zhì)點，軸段處的質(zhì)量分別離散到軸頸和輪盤處。單盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的離散模型如圖2所示，兩軸段等效為剛度k，輪盤處的阻尼為c1，非線性油膜力分別作用在兩個軸頸處的質(zhì)點上。

圖1　單盤對稱轉(zhuǎn)子模型Fig.1 Mode of single-disk rotor

圖2　單盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的離散模型Fig.2 Discrete mode of single-disk rotor bearing

參數(shù)采用無量綱處理，無量綱時間τ=wt；無量綱位移x=X/c，y=Y/c，c為軸承半徑間隙（mm）。則無量綱速度，其中“?”表示d/dt，“′”表示d/dτ；無量綱偏心量ρ=e/c，e為偏心量（mm）；無量綱非線性油膜力分量［7］，；轉(zhuǎn)子受到的無量綱重力；無量綱質(zhì)量，其中δ為Sommerfeld修正數(shù)，反映潤滑油粘度、軸承徑向間隙及長徑比等多因素的影響，，R為軸承半徑（mm），L為軸承有效寬度（mm），η為潤滑動力粘度（Pa·s）?？傻贸鱿铝袩o量綱方程：

式中：fx、fy為無量綱非線性油膜力，其詳細(xì)表達(dá)式參見文獻(xiàn)［13］。

3　加速度-位移擴(kuò)展相平面穩(wěn)定裕度計算法

單自由度剛體系統(tǒng)在一個自由度上的運動方程為：

式（2）可變?yōu)椋?/p>

將式（3）兩邊分別對δ積分，得到：

式中：M為廣義慣量，Pm、Pe分別為廣義驅(qū)動力和廣義制動力，δ為剛體位移，w為剛體運動速度，為單剛體運動的等值加速度。式（5）的物理意義為：不平衡力對剛體所做的功轉(zhuǎn)換為剛體的動能。剛體動能的變化可以用外力-位移擴(kuò)展相平面（P-δ平面）上的面積來表達(dá)。

當(dāng)M為常數(shù)時：

將式（6）代入式（5）可得出：

對于M為常數(shù)的系統(tǒng)，剛體動能變化也可用加速度-位移擴(kuò)展相平面（γ-δ平面）上的面積來表達(dá)。，由于x存在二階導(dǎo)數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)必連續(xù)，，所以。這就從理論分析上說明了。

圖3為轉(zhuǎn)速w=300 rad/s的周期解的加速度-位移擴(kuò)展相平面，用MATLAB計算其閉合圖形面積，得出S正=0.001 2，S負(fù)=0.001 2。這就從數(shù)值方面說明加速度-位移擴(kuò)展相平面所圍成的面積代數(shù)和為零。

圖3　轉(zhuǎn)速300 rad/s時的加速度-位移擴(kuò)展相平面Fig.3 Acceleration-displacement expansion phase plane dynamics（w=300 rad/s）

從數(shù)學(xué)理論和數(shù)值計算得出，對于M為常數(shù)的系統(tǒng)，對于穩(wěn)態(tài)周期1解，系統(tǒng)每個周期T內(nèi)，在γ-δ平面上所圍成面積的代數(shù)和為零，即動能增加面積與動能減小面積相等。實際上，正面積的大小反應(yīng)了系統(tǒng)貯存能量的多少，所以可用加速度-位移擴(kuò)展相平面的正面積表示系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4　數(shù)值計算分析

式（1）描述了一個非線性動力學(xué)系統(tǒng)的微分耦合方程，可以由數(shù)值計算得出近似解。本文使用MATLAB編程，由于油膜力和基座支撐力的強(qiáng)非線性作用，采用Rung-Kutta法求解。選用的時間步長為2π/100，誤差小于10-6，計算1 500周期，取系統(tǒng)后500周期的響應(yīng)，以消除其瞬態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)穩(wěn)定性分析時，選取如下轉(zhuǎn)子模型參數(shù)［13］：m1=420 kg，m2= 50 kg，L=28.5 mm，c=0.2 mm，R=57 mm，η=0.018 Pa·s，k=2.105×108，c1=3×10 N·s/m。

4.1隨轉(zhuǎn)速增大的動態(tài)響應(yīng)的分析

轉(zhuǎn)軸和葉輪的加工及安裝過程中，總會出現(xiàn)殘余偏心量，使得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在運轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生振動。本節(jié)重點分析油膜支撐轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)在偏心量-轉(zhuǎn)速參數(shù)域內(nèi)的穩(wěn)定性及其分岔規(guī)律。ρ=0.1、w= 300 rad/s時系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)如圖4所示。此時軸心軌跡為一個較規(guī)則的橢圓；Poincare圖只出現(xiàn)一個離散的點；頻譜圖上只出現(xiàn)了一個工頻；時間歷程圖為較規(guī)則的周期運動。由此可以判斷，系統(tǒng)此時的運動表現(xiàn)為工頻周期運動。

圖4　無量綱偏心量為0.1轉(zhuǎn)速為300 rad/s時的動態(tài)響應(yīng)圖Fig.4 Dynamic response diagram（ρ=0.1，w=300 rad/s）

進(jìn)一步增大系統(tǒng)轉(zhuǎn)速，系統(tǒng)同頻運動周期發(fā)生分岔而失穩(wěn)。ρ=0.1、w=500 rad/s時系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)如圖5所示。軸心軌跡為不相交的內(nèi)凹封閉曲線；Poincare圖上表現(xiàn)為兩個離散的點；頻譜圖上出現(xiàn)一個基頻率和一個半頻率，且半頻率幅值比基頻率幅值大；時間歷程圖為較規(guī)則的倍周期運動。由此可以得出，系統(tǒng)此時的運動表現(xiàn)為倍周期運動。

當(dāng)轉(zhuǎn)速升高到w=650 rad/s時，系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)如圖6所示。此時軸心軌跡為在一個圓環(huán)內(nèi)相交的曲線；Poincare圖為一些離散的點，但這些點形成一個封閉的形狀；頻譜圖上出現(xiàn)了一些不可約分的頻率。這些特點都說明，系統(tǒng)的運動表現(xiàn)為概周期運動。

4.2分岔圖對比分析

進(jìn)一步用數(shù)值計算方法得出系統(tǒng)在ρ=0.1時的全局分岔圖，見圖7?？梢姡瑆≤423 rad/s時都表現(xiàn)為周期運動，w＞423 rad/s時系統(tǒng)的同頻周期運動發(fā)生分岔而失穩(wěn)，424 rad/s＜w＜560 rad/s時為周期運動，570 rad/s＜w＜720 rad/s時系統(tǒng)由周期運動逐漸分岔為概周期運動。

圖5　無量綱偏心量為0.1轉(zhuǎn)速為500 rad/s時的動態(tài)響應(yīng)圖Fig.5 Dynamic response diagram（ρ=0.1，w=500 rad/s）

圖6　無量綱偏心量為0.1轉(zhuǎn)速為650 rad/s時的動態(tài)響應(yīng)圖Fig.6 Dynamic response diagram（ρ=0.1，w=650 rad/s）

圖7　無量綱偏心量為0.1時的全局分岔圖Fig.7 Global bifurcation diagram（ρ=0.1）

圖8示出了ρ=0.4時的分岔細(xì)化圖?？梢姡D(zhuǎn)速358 rad/s與360 rad/s之間只相差2 rad/s，但幅值卻相差0.5個無量綱值，此時系統(tǒng)也沒出現(xiàn)分岔現(xiàn)象。這種由外力強(qiáng)迫頻率發(fā)生微小變化而振幅出現(xiàn)劇烈變化的現(xiàn)象，稱為跳躍現(xiàn)象，為非線性所特有。

圖8　無量綱偏心量為0.4時的分岔細(xì)化圖Fig.8 Local bifurcation diagram（ρ=0.4）

由于不同的偏心量系統(tǒng)將出現(xiàn)不同的失穩(wěn)特性，因此有必要研究偏心量變化對系統(tǒng)穩(wěn)定的影響。從圖9可知，隨著偏心量的增大，開始時失穩(wěn)轉(zhuǎn)速不斷降低；當(dāng)無量綱偏心量增至0.25時，系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速又逐漸升高。較小和較大的不平衡量都會增大系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但較大的不平衡量會引起轉(zhuǎn)子軸承受力增大，且有可能出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。因此，為確保系統(tǒng)安全運行，必須對轉(zhuǎn)子進(jìn)行較高精度的動平衡。

圖9　轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)偏心量-轉(zhuǎn)速參數(shù)域分岔集Fig.9 Bifurcation set of rotor bearing system with the parameter region of eccentricity and speed

對轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)偏心量-轉(zhuǎn)速參數(shù)域分岔集進(jìn)行擬合得出，三次高斯公式有很高的擬合精度，擬合度達(dá)0.998 2。失穩(wěn)轉(zhuǎn)速與偏心率、潤滑粘度、軸承間隙、軸承寬徑比等參數(shù)，形成一個三次高斯公式的表達(dá)式。

5　系統(tǒng)穩(wěn)定性裕度的計算分析

5.1周期運動穩(wěn)定裕度

周期運動的穩(wěn)定裕度用加速度-位移擴(kuò)展相平面上相比正面積準(zhǔn)則，來衡量周期運動的穩(wěn)定情況。首先畫出某個周期運動的加速度-位移相平面圖，計算出正面積；然后找出第一個周期分岔點，計算出臨界正面積Acr；最后得出周期運動穩(wěn)定裕度β。β值越小，系統(tǒng)的穩(wěn)定性程度越差；臨界狀態(tài)時，β=0。

5.2倍周期運動穩(wěn)定裕度

隨著參數(shù)的變化，系統(tǒng)經(jīng)倍周期分岔，其運動狀態(tài)由周期運動變?yōu)楸吨芷谶\動。倍周期運動的明顯特征是穩(wěn)態(tài)時動能差序列為常數(shù)C1，該數(shù)值為一個周期內(nèi)最大擺次中的最大動能與同向擺動的另一個擺次中最大動能的差值的絕對值，反映了倍周期運動中低頻分量的大小及倍周期運動的劇烈程度。故把穩(wěn)態(tài)時動能差序列之值加上負(fù)號，定義為倍周期運動的穩(wěn)定裕度，即有：

C1越大，表示倍周期運動中的低頻分量越大，倍周期運動越劇烈，系統(tǒng)的失穩(wěn)程度越嚴(yán)重。臨界狀態(tài)時，β=0。

5.3概周期運動穩(wěn)定裕度

鑒于概周期運動動能差序列的非周期特征，研究時必須選擇合適的樣本長度。取n個近似周期（本研究取10個近似周期），在動能差序列上依次截取形成一個樣本序列。計算對應(yīng)于每一個長度內(nèi)動能差序列的數(shù)學(xué)期望（Ex），從而形成一個均值序列，該值反映了概周期運動動態(tài)中心點動能差的平均變化程度。因此，概周期運動的穩(wěn)定裕度可以表示為：

β值越小，說明系統(tǒng)失穩(wěn)程度越嚴(yán)重，概周期運動越劇烈。臨界狀態(tài)時，β=0。

5.4加速度-位移擴(kuò)展相平面穩(wěn)定裕度計算法求解

流程

通過上述分析，得出了不同運動的穩(wěn)定裕度算法，按照以下流程，可以得出加速度-位移擴(kuò)展相平面穩(wěn)定裕度，從而確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。

（1）做出系統(tǒng)的位移-加速擴(kuò)展平面圖，通過圖上動態(tài)中心點的個數(shù)來判斷系統(tǒng)所處運動狀態(tài)。

（2）找出周期分岔點，求出其加速度-位移擴(kuò)展正面積A+，并令其為臨界面積。

（4）系統(tǒng)處于倍周期運動時，做出其速度序列圖，求出速度峰值。

（5）系統(tǒng)處于概周期運動時，做出其速度序列圖，取n個近似周期，求出速度峰值v1、v2…，動能差序列；然后求出Si的數(shù)學(xué)期望E（Si），β=-E（Si）。

5.5穩(wěn)定裕度計算算例

采用加速度-位移擴(kuò)展相平面穩(wěn)定裕度計算法，求解式（1）中ρ=0.1時系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度變化規(guī)律。周期運動的穩(wěn)定裕度變化規(guī)律如圖10所示，可見系統(tǒng)周期運動時，隨著轉(zhuǎn)速的增大穩(wěn)定裕度不斷降低，具有很好的單調(diào)性，符合穩(wěn)定性的概念。

圖10　無量綱偏心量為0.1時周期運動的穩(wěn)定裕度規(guī)律圖Fig.10 Periodic motion stability margin（ρ=0.1）

圖11　無量綱偏心量為0.1時倍周期運動的穩(wěn)定裕度規(guī)律圖Fig.11 Double-periodic motion stability margin（ρ=0.1）

系統(tǒng)倍周期穩(wěn)定裕度變化規(guī)律如圖11所示。可見，轉(zhuǎn)速為423 rad/s時，穩(wěn)定裕度為-0.000 196 7，可近似為零。分岔圖上的分岔失穩(wěn)轉(zhuǎn)速為423 rad/s，分岔點的穩(wěn)定裕度為零。隨著轉(zhuǎn)速的增大，穩(wěn)定裕度逐漸減小，當(dāng)轉(zhuǎn)速增大到480 rad/s時，穩(wěn)定裕度的單調(diào)性開始出現(xiàn)轉(zhuǎn)折；隨著轉(zhuǎn)速的繼續(xù)增大，穩(wěn)定裕度開始逐漸增大，當(dāng)轉(zhuǎn)速增大到560 rad/s時，穩(wěn)定裕度逐漸趨于零。由前文分岔圖可知，此時處在分岔點，重新回到工頻周期運動。

系統(tǒng)概周期的穩(wěn)定裕度變化規(guī)律如圖12所示?？梢?，當(dāng)轉(zhuǎn)速低于580 rad/s時，系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度為零，結(jié)合分岔圖可得出此時系統(tǒng)表現(xiàn)為工頻周期運動。當(dāng)轉(zhuǎn)速超過580 rad/s時，系統(tǒng)開始逐漸變?yōu)楦胖芷谶\動，穩(wěn)定裕度逐漸下降。當(dāng)轉(zhuǎn)速增大到660 rad/s時，穩(wěn)定裕度的單調(diào)性開始出現(xiàn)轉(zhuǎn)折，隨著轉(zhuǎn)速的增大穩(wěn)定裕度逐漸增大。

圖12　無量綱偏心量為0.1時概周期運動的穩(wěn)定裕度規(guī)律圖Fig.12 Almost-periodic motion stability margin（ρ=0.1）

從以上分析可得出，基于軌跡的加速度-位移擴(kuò)展相平面得出的穩(wěn)定裕度為零的點，與通過Poincare映射法做出的分岔圖上的分岔點，其對應(yīng)轉(zhuǎn)速基本相同，說明了這種方法的正確性。基于軌跡的加速度-位移擴(kuò)展相平面方法不僅可以判斷系統(tǒng)的分岔點，還具有其獨特的優(yōu)點。通過這種方法得出的穩(wěn)定裕度可用來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定度和失穩(wěn)度，適當(dāng)改變系統(tǒng)的質(zhì)量偏心、潤滑油粘度、軸承間隙等參數(shù)可增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性；在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，使轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)處于最佳的穩(wěn)定性和安全性運行狀態(tài)。

6　結(jié)論

（1）提出了軌跡加速度-位移擴(kuò)展相平面穩(wěn)定裕度分析法，從理論分析、數(shù)值計算兩方面驗證了該方法的正確性。

（2）偏心量較大的系統(tǒng)的失穩(wěn)分岔速度較大，但偏心量較大其轉(zhuǎn)子系統(tǒng)會存在跳躍現(xiàn)象的可能性，軸承受力增加；需對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行較高精度的動平衡，以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和安全性。

（3）對于穩(wěn)態(tài)周期運動，系統(tǒng)每個周期內(nèi)在加速度-位移擴(kuò)展相平面上所圍成面積的代數(shù)和為零。

（4）通過基于軌跡的加速度-位移擴(kuò)展相平面得出的穩(wěn)定裕度為零的點，與通過Poincare映射法做出的分岔圖上的分岔點，其對應(yīng)轉(zhuǎn)速基本相同，說明了基于軌跡的加速度-位移擴(kuò)展相平面方法的正確性。

（5）基于軌跡的加速度-位移擴(kuò)展相平面方法，不僅可以判斷系統(tǒng)的分岔點，還可以得出穩(wěn)定裕度，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。

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Numerical analysis of stability margin for nonlinear vibration elastic rotor-bearing system

LIU Ji-hua，CHEN Li，LUO Zai-qi，LI Yi-xin，QIAN Xing-liang
（China Gas Turbine Establishment，Chengdu 610500，China）

A stability margin analysis method for the acceleration displacement of trajectory extension plane was proposed based on complementary-cluster energy-barrier criterion（CCEBC）of the stability of quantification theory.The correctness of this method is verified through theoretical analysis and numerical simulation.An elastic rotor bearing system was investigated based on the assumption of Capone bearing mode.The bifurcation diagrams，the shaft centerline orbit，Poincare maps，time histories and frequency spectrums of the system in some typical parameter regions were acquired by using the Poincare maps theory and numerical integration method.The results show that bifurcation speed varies as mass eccentricity changes.The speed decreased first and then increased，curve fitting with three times the Gauss formula and the fitting accuracy reached 0.998 2.The analysis results provide theoretical reference for designing and safely operating of this kind of systems.

rotating machine；rotor-bearing system；acceleration-displacement expansion phase plane；nonlinear；stability margin；bifurcation speed；mass eccentricity

O322；V231.96

A

1672-2620（2015）06-0039-06

2015-03-25；

2015-09-12

劉繼華（1988-），男，貴州榕江縣人，碩士，主要從事轉(zhuǎn)子動力學(xué)、航空發(fā)動機(jī)起動研究。