例析一類物理問(wèn)題幾何關(guān)系的簡(jiǎn)便求法

楊玉良

摘 ?要：對(duì)于帶電粒子在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，幾何關(guān)系的尋找是求解問(wèn)題的關(guān)鍵。本文通過(guò)軌道對(duì)稱思想分析，推導(dǎo)出此類問(wèn)題幾何關(guān)系的通式。此法不僅能夠形象直觀地確定運(yùn)動(dòng)軌跡，迅速準(zhǔn)確尋找?guī)缀侮P(guān)系，而且方法容易把握，可以有效消除學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題的思維、方法障礙。

關(guān)鍵詞：軌道對(duì)稱;勻強(qiáng)磁場(chǎng);圓形區(qū)域;幾何關(guān)系;通用公式

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1003-6148（2015）48-0048-3

2012年高考理科綜合全國(guó)卷新課標(biāo)I物理壓軸題：如圖1，一半徑為R的圓表示一柱形區(qū)域的橫截面（紙面）。在柱形區(qū)域內(nèi)加一方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子沿圖中直線在圓上的a點(diǎn)射入柱形區(qū)域，在圓上的b點(diǎn)離開(kāi)該區(qū)域，離開(kāi)時(shí)速度方向與直線垂直。圓心O到直線的距離為R。現(xiàn)將磁場(chǎng)換為平行于紙面且垂直于直線的勻強(qiáng)電場(chǎng)，同一粒子以同樣速度沿直線在a點(diǎn)射入柱形區(qū)域，也在b點(diǎn)離開(kāi)該區(qū)域。若磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，不計(jì)重力，求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。

此題研究帶電粒子分別在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，其物理過(guò)程并不復(fù)雜，涉及的物理原理也比較簡(jiǎn)單。解答此題的關(guān)鍵在于帶電粒子在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的幾何關(guān)系確定，求出帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑。參考答案給出確定幾何關(guān)系的解法如下：

如圖2所示，過(guò)O點(diǎn)和b點(diǎn)作直線的垂線，分別與直線交于c和d點(diǎn)。過(guò)O點(diǎn)作直線bd的垂線交于e點(diǎn)。由幾何關(guān)系知，線段ad、bd和過(guò)a、b兩點(diǎn)的軌道圓弧的兩條半徑（未畫(huà)出）圍成一正方形。

因此ad=bd=r （1）

設(shè)cd=x，由幾何關(guān)系得：

ad=ac+cd=+cd=+x=R+x（2）

bd=be+ed=+Oc=+R（3）

聯(lián)立（1）（2）（3）式得r=R。

筆者認(rèn)為這種解法稍顯麻煩，且學(xué)生不易把握。如果抓住帶電粒子在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)軌道的對(duì)稱性，將會(huì)大大簡(jiǎn)化幾何關(guān)系的確定與求解過(guò)程。下面提供一種確定帶電粒子在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的幾何關(guān)系的通用公式，現(xiàn)推導(dǎo)如下：

如圖3，一半徑為R的圓表示一柱形區(qū)域的橫截面（紙面）。在柱形區(qū)域內(nèi)加一方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子沿圖中直線在圓上的a點(diǎn)射入柱形區(qū)域，在圓上的b點(diǎn)離開(kāi)該區(qū)域，粒子入射線的偏心距為d。

畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡及相關(guān)輔助線如圖4所示。顯然軌道圓和勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域圓相對(duì)于兩圓的連心線OO1對(duì)稱。設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，粒子的偏向角為θ，在直角三角形Oac中，Oa=R，ac=d，Oc==。在直角三角形OO1c中，∠OO1c=，=r+d，由三角函數(shù)關(guān)系得：

tan=（1）

當(dāng)為-q時(shí)，粒子向下偏轉(zhuǎn)，幾何關(guān)系變?yōu)椋?/p>

tan=（2）

公式（1）（2）為帶電粒子在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)幾何關(guān)系的通式。解題時(shí)只要抓住偏向角θ，圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域半徑R， 粒子軌道半徑r，偏心距d等四個(gè)量，帶入公式即可確定幾何關(guān)系。用上面推導(dǎo)的公式可以簡(jiǎn)便確定2012年高考理科綜合全國(guó)卷新課標(biāo)I物理壓軸題幾何關(guān)系如下：

設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，題目中粒子的偏向角θ=90 °，粒子入射的偏心距d=R。經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單分析，本題幾何關(guān)系適用公式（2），把以上數(shù)據(jù)代入公式（2）得：

r=R。

下面用以上提供方法分析兩道高考物理試題。

例1 （2013年高考全國(guó)理科綜合課標(biāo)卷I物理試題）如圖5，半徑為R的圓是一圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的橫截面（紙面），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外。一電荷量為q（q>0）、質(zhì)量為m的粒子沿平行于直徑ab的方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，射入點(diǎn)與ab的距離為。已知粒子射出磁場(chǎng)與射入磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向間的夾角為60 °，則粒子的速率為（不計(jì)重力）（ ? ? ）

A. ? ? ? ?B.

C. ? ? ? ? D.

解析 ?粒子在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌道對(duì)稱性，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6所示。設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律，得

qvB=m

因粒子射出磁場(chǎng)與射入磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向間的夾角為60 °，即粒子的偏向角為θ=60 °。粒子入射的偏心距為d=，本題適用公式（1）。把以上數(shù)據(jù)代入公式（1）得本題幾何關(guān)系：

tan30 °=。

聯(lián)立以上各式得：

v=。

所以，本題的正確選項(xiàng)為B。

例2 （由2013年高考天津理科綜合物理試題改編）一圓筒的橫截面如圖7所示，其圓心為O。筒內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從小孔S以速度v沿半徑SO方向射入磁場(chǎng)中，粒子與圈筒發(fā)生兩次碰撞后仍從S孔射出，設(shè)粒子與圓筒碰撞過(guò)程中沒(méi)有動(dòng)能損失，且電荷量保持不變，在不計(jì)重力的情況下，求圓筒的半徑R。

解析 ?粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在粒子運(yùn)動(dòng)軌道對(duì)稱性的引領(lǐng)下，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡如圖8所示。設(shè)運(yùn)動(dòng)軌道圓弧半徑為r，第一次碰撞點(diǎn)為A，由于粒子與圓筒發(fā)生兩次碰撞又從S孔射出，則∠SOA=。因此，粒子第一次與圓筒碰撞前的偏向角θ=∠SO'A=π-∠SOA=，粒子對(duì)心射入圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，則偏心距為d=0。把以上數(shù)據(jù)代入公式（1）得到本題的幾何關(guān)系：

tan=。

粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律，得：

qvB=m。

聯(lián)立以上各式得：

R=。

由以上解題過(guò)程可以看出，抓住軌道對(duì)稱，就是抓住了分析帶電粒子在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的關(guān)鍵。應(yīng)用軌道對(duì)稱思想不僅能夠形象直觀地確定運(yùn)動(dòng)軌跡，而且能夠用通用公式（1）或（2）迅速準(zhǔn)確確定幾何關(guān)系，方法簡(jiǎn)便，容易把握。（欄目編輯 ? ?陳 ? 潔）