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    物體在變力作用下的直線運(yùn)動分析

    2015-10-27 12:16:40劉旭華
    物理教學(xué)探討 2015年9期

    劉旭華

    摘 ?要 :通過詳細(xì)推導(dǎo)分析物體(質(zhì)點(diǎn))在力作用下的運(yùn)動規(guī)律,進(jìn)而得出“另類勻變速直線運(yùn)動”的基本規(guī)律以及和常規(guī)勻變速直線運(yùn)動的區(qū)別,并詳細(xì)討論其在電磁感應(yīng)現(xiàn)象和其他情景下的應(yīng)用。

    關(guān)鍵詞:另類勻變速直線運(yùn)動;加速度A;位移中點(diǎn)的速度;沖量I

    中圖分類號:G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A ? ?文章編號:1003-6148(2015)9-0042-3

    1 ? ?分析推導(dǎo)

    如果質(zhì)點(diǎn)受到一個與運(yùn)動速度成正比的力F=±kv,根據(jù)牛頓第二定律:±kv=m,所以有:=±dt,v=Ce,由初始條件t=0時,v=v0得: v=v0e。

    令A(yù)=±, v=v0e(1)

    由此,我們通過對(1)求導(dǎo)還可以得出加速度:

    a=Av0eAt=Av(2)

    通過對(1)積分可得位移的關(guān)系:

    x=(v-v0)=(eAt-1)(3)

    通過對(3)求導(dǎo)得:A=(4)

    由(4)可以看出,每通過單位位移,速度的增量相同,這里我們不妨把這樣的運(yùn)動稱為“另類勻變速直線運(yùn)動”,加速度:

    A==±=(5)

    而力F的沖量:

    I=Fdt=kvdt=kx(6)

    注:始終x為通過的位移。

    根據(jù)以上的推導(dǎo),我們可以將相關(guān)結(jié)論總結(jié)如表1:

    表1 ?“另類勻變速”直線運(yùn)動各量及關(guān)系

    2 ? ?相關(guān)應(yīng)用

    2.1 ? ?“另類勻變速”直線運(yùn)動(合力F=±kx)

    1)作直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn),如果受到的合外力與其速度(動量)成正比,則質(zhì)點(diǎn)做“另類勻變速”直線運(yùn)動。

    2)“另類勻變速”直線運(yùn)動的“加速度A”為一恒量,其大小等于質(zhì)點(diǎn)任意時刻所受的合外力與質(zhì)點(diǎn)該時刻的動量之比,方向與合外力的方向相同,而其定義式為A=。

    3)“另類勻變速”直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)所受的合外力是一個變力,質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動是加速度時刻變化的變速直線運(yùn)動。a=Av,如果A>0,速度不斷增大,所以a也不斷增大;如果A<0,速度不斷減小,所以a也不斷減小。

    4)“另類勻變速”直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)所受的合外力與位移是線性關(guān)系F=mA2x+mAv0,可用F-x圖像求該合力的功(也可由關(guān)于位移的平均力求功)。

    5)“另類勻變速”直線運(yùn)動位移中點(diǎn)的速度為vs/2=,時間中點(diǎn)的速度為vt/2=,由速度v0變?yōu)樗俣葀t經(jīng)歷的時間為t=ln()。

    例1 ?歷史上有些科學(xué)家曾把在相等位移內(nèi)速度變化相等的單向直線運(yùn)動稱為“勻變速直線運(yùn)動”(現(xiàn)稱“另類勻變速直線運(yùn)動”),“另類加速度”定義為A=,其中v0和vt分別表示某段位移s內(nèi)的初速度和末速度。A>0表示物體做加速運(yùn)動,A<0表示物體做減速運(yùn)動。而現(xiàn)在物理學(xué)中加速度的定義式為a=,下列說法正確的是( ? ? )

    A.若A不變,則a也不變

    B.若A>0且保持不變,則a逐漸變大

    C.若A不變,則物體在中間位置處的速度為

    D.若A不變,則物體在中間位置處的速度為

    解析 ?由上面的結(jié)論a=Av可知,A不變,a是變化的,所以A選項(xiàng)錯。因?yàn)锳大于零時,速度v增大,所以加速度a也增大,所以B選項(xiàng)正確。而速度隨位移均勻增大(或減小),所以C選項(xiàng)正確,而D選項(xiàng)錯誤。本題的正確答案為:B、C選項(xiàng)。

    例2 ?如圖1所示,MN、PQ是位于同一水平面上、相互平行、足夠長的光滑金屬導(dǎo)軌,兩導(dǎo)軌相距為L,電阻不計(jì),其左端用導(dǎo)線連接一個阻值為R的定值電阻,將一個質(zhì)量為m,電阻為r的金屬棒垂直于導(dǎo)軌放置,整個裝置處在垂直于導(dǎo)軌平面、范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場中,磁感強(qiáng)度的大小為B,現(xiàn)給導(dǎo)體棒一個沿軌道方向向右的水平初速度,且導(dǎo)軌棒沿導(dǎo)軌運(yùn)動過程中始終保持與導(dǎo)軌垂直,且接觸良好。

    圖1 ?均勻磁場中的光滑金屬導(dǎo)軌

    (1)分析導(dǎo)體棒的運(yùn)動是否為“另類”勻變速直線運(yùn)動,如果是,求出“加速度”A的大小。

    (2) 求導(dǎo)體棒在整個過程中的位移s大小。

    (3) 求導(dǎo)體棒位移為時,導(dǎo)體棒的速度大小和運(yùn)動的時間。

    解析 ?(1)設(shè)時刻t導(dǎo)體棒運(yùn)動的速度為vt,此時導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小為E=BLvt。

    回路中的感應(yīng)電流為 I=。

    由安培力計(jì)算公式可知,此時導(dǎo)體棒受到的安培力(即合外力)為 Ft=BIL。

    由上面三個式子可得Ft==vt ,即與速度成正比,所以是“另類勻減速直線運(yùn)動”,加速度A=-。

    (2)由“另類”運(yùn)動“加速度”的定義式可得到導(dǎo)體棒的位移為s=。

    當(dāng)vt=0時,導(dǎo)體棒達(dá)到最大位移,其最大位移為s=。

    將上小題結(jié)果代入上式得 s=。

    (3)當(dāng)導(dǎo)體棒位移為時,由A=可得vt=v0+As。

    將上兩小題結(jié)果代入上式得 vt=v0。

    設(shè)導(dǎo)體棒速度由v0減小到v0的過程所用的時間為t,由“另類”運(yùn)動的速度公式可得vt=v0eAt 可得v0 =v0eAt。

    將上式兩邊約去v0,取自然對數(shù)得-ln2=At。

    將(1)小題結(jié)果代入上式得t=。

    例3 ?如圖2所示,MN與PQ是放在水平面上的光滑的足夠長的金屬導(dǎo)軌,相距為L=1 m,MP端接有一個電阻,阻值R=1 Ω,垂直導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場為B=1 T,質(zhì)量為m=1 kg的金屬桿ab橫放在導(dǎo)軌上且始終垂直導(dǎo)軌并接觸良好。不計(jì)其他一切電阻,桿在水平向右的拉力作用下向右運(yùn)動,測得流過金屬桿ab的電流與位移的關(guān)系如圖3所示,試:

    圖2 ?勻強(qiáng)磁場中的金屬導(dǎo)軌 ? ? ? ?圖3 ?A-x曲線

    (1)證明導(dǎo)體桿做“另類勻加速”直線運(yùn)動,并求出桿的初速度和“另類加速度”A;

    (2)求桿從初始位置移動1 m的過程中拉力F的功及電阻上產(chǎn)生的熱量;

    (3)桿從初始位置移動1 m經(jīng)歷的時間。

    解析 ?(1)由圖像可知,電流與位移的關(guān)系為:I=I0+kx ?(I0=1 A,k=1 A/m)

    由歐姆定律得:I=,所以由以上兩式可得:v=+x,代入數(shù)據(jù)得:v=1+x(m/s),所以是“另類勻加速”直線運(yùn)動,與“另類勻變速”直線運(yùn)動的速度公式v=v0+Ax對比可知:

    初速度v0=1m/s,“另類加速度”A=1/s。

    (2)安培力(阻力)f=,代入數(shù)據(jù)得:f=v(N)。

    而F-f=ma,而a=Av,所以F=mAv+f,代入數(shù)據(jù)和關(guān)系可得:F=2+2x(N)。

    所以F與位移x成線性關(guān)系,運(yùn)動1 m的平均力為F= N=3 N,可得:

    W=Fx=3 J。

    由I=得電流I=2 A時,速度v=2 m/s,根據(jù)功能關(guān)系W-Q=mv2-mv,可得:

    Q=1.5 J。

    (3)初始速度v0=1 m/s,運(yùn)動1 m時的速度為v=2 m/s,由前面的結(jié)論可得:

    t=ln()=ln2 s≈0.693 s。

    2.2 ? ?合力不等于±kv

    一個物體所受的合力并不等于±kv,但其中某個力f=±kv,此時物體并不做“另類勻變速”直線運(yùn)動,所以位移、速度、加速度A不滿足前面所列的關(guān)系,但力f的沖量依然滿足關(guān)系I=±kv。

    例4 ?一個小球以速度v0的大小豎直上拋,落回原處的速度大小為v,如果所受空氣的阻力與速度成正比,那么從拋出到落回的時間為多少?

    解析 ?設(shè)所用的時間為t,整個運(yùn)動過程中阻力f的沖量為If=kx=0(位移x為零),而重力的沖量為IG=mgt,所以有IG-If=mv-m(-v0),即:t=。

    例5 ?質(zhì)量為m的物體從足夠高處由靜止開始豎直下落,所受空氣阻力與速度成正比,其運(yùn)動的速度時間圖像如圖4所示,圖中t0時刻前速度已達(dá)最大速度vm,試求:

    圖4 ?下落質(zhì)點(diǎn)的v-t圖

    (1)到t0時,物體下落的高度是多少?

    (2)從開始下落到t0時刻,克服阻力做了多少功?

    解析 ?(1)到t0時刻,阻力的沖量為-kh,根據(jù)動量定理有:

    mgt0-kh=mvm。

    所以有:h=。

    因?yàn)閙g=kvm,所以h=vmt0-。

    (2)根據(jù)動能定理:mgh-Wf=mv,得:

    Wf=mgvmt0-mv。

    參考文獻(xiàn):

    [1]趙凱華,羅蔚英.力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1995.

    (欄目編輯 ?羅琬華)

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