彈簧中的圖像問題探討

畢澤

摘 ? 要：彈簧模型是高中物理中最常考的物理模型之一，由于彈簧彈力是變力，學(xué)生往往對彈力大小和方向的變化過程缺乏清晰認識，不能建立與之相關(guān)的物理模型并進行分類，導(dǎo)致解題思路不清、錯誤率較高。彈簧和圖像組合起來的題目難度比較大，學(xué)生們往往無從下手，因此針對彈簧中的圖像問題本文列舉了一些典型例題進行探討。

關(guān)鍵詞：彈簧;圖像;臨界;分離

中圖分類號：G633.7 文獻標(biāo)識碼：A ? ?文章編號：1003-6148（2015）9-0036-5

題型1：F-x圖

例1 ?如圖1，光滑斜面的底端固定一垂直于斜面的擋板，質(zhì)量相同的A、B兩物體由輕彈簧連接，放在斜面上，最初處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)用一平行于斜面的力F拉B物體沿斜面向上做勻加速直線運動，以B物體的初始位置為坐標(biāo)原點、沿斜面向上建立Ox坐標(biāo)軸，在物體A離開擋板之前（彈簧一直處于彈性限度內(nèi)），外力F和擋板對A物體的支持力N隨B物體的位置坐標(biāo)x的變化關(guān)系圖線正確的是（ ? ? ）

A ? ? ? ? ? ? ? ? B ? ? ? ? ? ? ? ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? D

分析 ?設(shè)剛開始彈簧的壓縮量為x0，即為kx0=mgsinθ。

對于物體B：當(dāng)彈簧壓縮時，

F+k（x0-x）-mgsinθ=ma，

即為F=ma+kx。

當(dāng)彈簧拉伸時，

F-k（x-x0）-mgsinθ=ma，

即為F=ma+kx。

對于物體A：當(dāng)彈簧壓縮時，

N=mgsinθ+k（x0-x），

即為：N=2mgsinθ-kx。

當(dāng)彈簧拉伸時，N+k（x-x0）=mgsinθ，

即為：N=2mgsinθ-kx。

綜上分析：答案為選項A、D。

點評 ?解決圖像類問題首先應(yīng)看清楚題目中的橫、縱坐標(biāo)分別代表什么物理量，其次對物體進行受力分析，最后分別對應(yīng)過程列方程進行求解。該題目從物體B開始運動到物體A離開擋板，彈簧經(jīng)歷了先壓縮后拉伸兩個過程，因此要對這兩個過程分別列方程進行求解，結(jié)果發(fā)現(xiàn)F和N的規(guī)律在這兩個過程中都是一樣的。

例2 ?如圖2（a）所示，輕質(zhì)彈簧的下端固定在水平面上，上端放置一小物體（物體與彈簧不連接），初始時物體處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)用豎直向上的拉力F作用在物體上，使物體開始向上做勻加速直線運動，拉力F與物體位移x的關(guān)系如圖2（b）所示（g=10 m/s2），則下列結(jié)論正確的是（ ? ? ）

A.物體與彈簧分離時，彈簧處于壓縮狀態(tài)

B.物體的質(zhì)量為3 kg

C.物體的加速度大小為5 m/s2

D.彈簧的勁度系數(shù)為7. 5 N/cm

分析 ?從圖像中可以看出當(dāng)x=4 cm，拉力由變力變?yōu)楹懔?，即小物體只受到拉力F和重力作用，此點就是物體脫離彈簧的臨界狀態(tài)，即為彈簧的原長，A選項錯誤。脫離時：30-mg=ma（1），拉力剛作用在物體上時：10=ma（2） ，兩式聯(lián)立可得：m=2 kg，a=5 m/s2，B選項錯誤，C選項正確。拉力沒施加前，彈簧處于壓縮狀態(tài)，壓縮量為x=4 cm，mg=kx可得k=5 N/cm，D選項錯誤。綜上分析：答案為C。

點評 此題的突破口在于找到x=4 cm時拉力由變力變?yōu)楹懔Γ葱∥矬w脫離彈簧的臨界狀態(tài)。

題型2：F-θ圖

例 ?如圖3所示，在水平板左端有一固定擋板，擋板上連接一輕質(zhì)彈簧，緊貼彈簧放一質(zhì)量為m的滑塊，此時彈簧處于自然長度。已知滑塊與板間滑動摩擦因數(shù)μ=，可認為最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等?，F(xiàn)將板的右端緩慢抬起使板與水平面間的夾角為θ，最后直到板豎直。此過程中彈簧彈力的大小F隨夾角θ的變化規(guī)律可能是下圖中的（ ? ? ）

A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B

C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D

分析 ?設(shè)板與水平面的夾角為θ，滑塊相對于板剛要滑動，則mgsinθ=μmgcosθ，得tanθ=μ即θ=，因此θ在0～范圍內(nèi)，彈簧處于原長彈力F=0，當(dāng)板與水平面的夾角大于時，滑塊相對板緩慢滑動，由平衡條件得F=mgsinθ-μmgcosθ=sin（θ-），說明F與θ成正弦形式的關(guān)系，當(dāng)θ=，F(xiàn)=mg，因此C答案正確。

點評 ?此題的突破口在于隨著θ的增加，物體剛要發(fā)生滑動的臨界狀態(tài)為：mgsinθ=μmgcosθ，得tanθ=μ，在這之前F=0，之后滑塊相對板緩慢滑動，列出平衡條件既可解決此題。

題型3：v-t圖

例 ?如圖4（a）所示，一輕質(zhì)彈簧的下端固定在水平面上，上端疊放兩個質(zhì)量均為M的物體A、B（B物體與彈簧連接），彈簧的勁度系數(shù)為k，初始時物體處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)用豎直向上的拉力F作用在物體A上，使物體A開始向上做加速度為a的勻加速運動，測得兩個物體的v-t圖像如圖4（b）所示（重力加速度為g），則（ ? ? ）

A.施加外力前，彈簧的形變量為 2Mg/k

B.外力施加的瞬間，AB間的彈力大小為M（g-a）

C.AB在t1時刻分離，此時彈簧彈力恰好為零

D.彈簧恢復(fù)到原長時，物體B的速度達到最大值

a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?b

分析 ?施加外力前：2Mg=kx0即x0=2Mg/k，即A答案正確，對AB整體法：F=2Ma（1），隔離A：F-Mg+FBA=Ma （2） 由（1）（2）聯(lián)立可得FBA=M（g-a）即B答案正確。AB脫離的臨界條件是vA=vB，aA=aB，從圖中可以看出t1時刻AB脫離，此時對于B，kx-Mg=Ma，可見彈簧仍處于壓縮狀態(tài)，因此C答案錯誤。此后由于彈力大于重力，B做加速度越來越小的加速運動，當(dāng)滿足彈力等于重力時（圖中t2），速度達到最大。t2后重力大于彈力，根據(jù)公式Mg-kx=Ma 隨著壓縮量x的減小，物體做加速度越來越大的減速運動，因此彈簧恢復(fù)到原長時速度不是最大值。綜上分析：答案為A、B選項。

點評 ?此題的突破口在于AB脫離的臨界條件是vA=vB，aA=aB，即為圖中的t1時刻，此時物體B有向上的加速度，彈簧仍處于壓縮狀態(tài)。

題型4： v-x圖

例 ?如圖5所示，一根輕彈簧豎直放在水平地面上，一個物塊從高處自由下落到彈簧上端O，當(dāng)彈簧被壓縮x0時物塊的速度變?yōu)榱?。從物塊與彈簧接觸開始，物塊的速率v隨下降的位移x的變化情況與下面四個圖像中比較一致的是（ ? ?）

A ? ? ? ? ? ? ? ? B ? ? ? ? ? ? ? ? C ? ? ? ? ? ? ? ? D

分析 ?設(shè)剛接觸彈簧為A點，彈力等于重力的點為B，最低點為C。

物塊和彈簧接觸后的下落運動是先做加速度減小的加速運動（AB段），然后做加速度增大的減速運動（BC段），物塊在B點獲得最大速度。物塊從A運動到C，根據(jù)簡諧運動的對稱性可知，AB

點評：此題突破口在于物塊接觸彈簧到運動到最低點經(jīng)歷先加速后減速的過程，此過程可以看作簡諧運動，再根據(jù)簡諧運動的對稱性就可以解決。

題型5：a-x圖

例 ?如題型4例題情形，一根輕彈簧豎直直立在水平面上，下端固定。在彈簧正上方有一個物塊從高處自由下落到彈簧上端O，將彈簧壓縮。當(dāng)彈簧被壓縮了x0時，物塊的速度減小到零。從物塊和彈簧接觸開始到物塊速度減小到零過程中，物塊的加速度大小a隨下降位移大小x變化的圖像，可能是圖6中的（ ? ? ）

A ? ? ? ? ? ? ? B ? ? ? ? ? ? ? ? ? C ? ? ? ? ? ? D

分析 ?設(shè)剛接觸彈簧為A點，彈力等于重力的點為B，最低點為C，分析彈簧壓縮的各個過程圖如圖7：

A—B：mg>kx，mg-kx=ma下，

可得：a上=g-x， B點：a=0 。

B—C：mg

可得：a上=x-g。物體從A運動到C，根據(jù)

簡諧運動對稱性可知，AB

點評 ?物體接觸彈簧到運動到最低點經(jīng)歷先加速后減速的過程，因此對這兩個過程分別求出加速度的表達式，再根據(jù)簡諧運動的對稱性就可以解決。

題型6：a-t圖

例 ?一水平彈簧振子做簡諧運動，它的加速度a隨時間t變化的圖線為正弦曲線，如圖8所示。下列說法正確的是（ ）

A.在0到0.5 s內(nèi)，彈簧振子做加速運動

B.在t1=0.25 s和t2=0.75 s時，彈簧振子相對平衡位置的位移相等

C.在t2=0.75 s和t3=1.25 s時，彈簧振子的速度大小相等，方向相反

D.在0到1 s內(nèi)，t=0.5 s時刻彈簧振子回復(fù)力的功率最大

分析：振子在0到0.5 s間，加速度明顯增加在遠離平衡位置，即在做減速運動，A選項錯誤。很容易看出B選項正確。t2=0.5 s到t3=1.5 s間物體速度從0先增大后減小到0，根據(jù)簡諧運動對稱性t2=0.75 s和t3=1.25 s時速度大小相等，方向相同，因此C選項錯誤。功率P=Fv，t=0.5 s時雖然F最大但是v=0，可見P=0，因此D選項錯誤。綜合分析：答案為B選項。

點評 ?解決此題的關(guān)鍵是題中的已知條件：水平彈簧振子做簡諧運動，只要知道振子在做簡諧運動，此題的突破口就找到了。

題型7：EK–x圖

本題探究的是EK–h，可以看作是EK–x圖。

例 ?如圖9所示，豎直光滑桿固定不動，套在桿上的彈簧下端固定，將套在桿上的滑塊向下壓縮彈簧至離地高度h=0.1 m處，滑塊與彈簧不拴接。現(xiàn)由靜止釋放滑塊，通過傳感器測量到滑塊的速度和離地高度h并作出滑塊的Ek-h圖像，其中高度從0.2 m上升到0.35 m范圍內(nèi)圖像為直線，其余部分為曲線，以地面為零勢能面，取g=10 m/s2，由圖像可知（ ? ?）

A.小滑塊的質(zhì)量為0.1 kg

B.輕彈簧原長為0.2 m

C.彈簧的最大彈性勢能為0.5 J

D.小滑塊的重力勢能與彈簧的彈性勢能總和最小為0.4 J

分析 ?在EK-h圖像中，圖線的斜率表示滑塊所受的合外力，由于高度從0.2 m上升到0.35 m范圍內(nèi)圖像為直線，其余部分為曲線，說明滑塊從0.2 m處上升到0.35 m所受作用力為恒力?？梢?.2 m，滑塊與彈簧分離，故B選項正確。從0.2 m處上升到0.35 m，圖線的斜率絕對值為：k=mg=2 N，所以m=0.2 kg，故A選項錯誤。 根據(jù)能量的轉(zhuǎn)化與守恒可知，當(dāng)滑塊上升至最大高度時，增加的重力勢能即為彈簧最大彈性勢能，所以Epm=mg△h=0.2×10×（0.35-0.1）=0.5 J，故C選項正確。在滑塊整個運動過程中，系統(tǒng)的動能、重力勢能和彈性勢能之間相互轉(zhuǎn)化，因此動能最大時，滑塊的重力勢能與彈簧的彈性勢能總和最小，系統(tǒng)總的機械能為：E總=E彈max+mgh=0.7 J，滑塊的動能最大為0.32 J，因此小滑塊的重力勢能與彈簧的彈性勢能總和最小為0.38 J，因此D選項錯誤。綜上分析：答案為B、C選項。

點評 ?此題的突破口在于：高度0.2 m～0.35 m的圖像為直線，EK-h圖中圖線的斜率表示滑塊所受的合外力，根據(jù)0.2 m～0.35 m這段的斜率就可以求出質(zhì)量。0.2 m處滑塊脫離彈簧，因此彈簧處于原長。這兩點找到了，此題就容易突破了。

題型8：混合型圖

例1 ?如圖10所示，一根輕彈簧左端固定，右端系一物塊，物塊置于摩擦不能忽略的水平面上?，F(xiàn)將彈簧壓縮到A點后釋放，物塊運動到B點時速度變?yōu)榱?，O為彈簧處于自然長度時的位置，AB距離為x0。物塊從A到B的過程中，彈簧彈力的大小F、物塊加速度的大小a、物塊速度的大小v、物塊和彈簧組成的系統(tǒng)機械能E隨物塊的位移x變化的圖像可能是（ ? ? ）

A ? ? ? ? ? ? ? ? B ? ? ? ? ? ? ? ?C ? ? ? ? ?   ? ?D

分析 ?若沒有摩擦力，根據(jù)簡諧運動對稱性，則AO=OB，摩擦力存在，系統(tǒng)有能量損失，可得：AO>OB，因此A選項錯誤。設(shè)AO之間有一點C，此處f=kx，容易證明物體從A運動到B是以C點為平衡位置的簡諧運動，即AC=CB=，根據(jù)簡諧運動對稱性可知B選項錯誤。設(shè)AO的長度為L，A到O：由能量守恒得kL2=k（L-x）2+μmgx+mv2，可見v與x不是成正比關(guān)系，C選項錯誤。A到B：機械能的減少量轉(zhuǎn)化為摩擦生熱，E0=E+μmgx，即E=-μmgx+E0，可知斜率絕對值為摩擦力，即D選項正確。

點評 ?此題的突破口是物體從A運動到B是以C點為平衡位置的簡諧運動，即AC=CB=。抓住這點再根據(jù)簡諧運動的對稱性就可以解決此題。

例2 ? 如圖11所示，水平面絕緣且光滑，一絕緣的輕彈簧左端固定，右端有一帶正電荷的小球，小球與彈簧不相連，空間存在著水平向左的勻強電場，帶電小球在電場力和彈簧彈力的作用下靜止，現(xiàn)保持電場強度的大小不變，突然將電場反向，若將此時作為計時起點，則下列描述速度與時間、加速度與位移之間變化關(guān)系的圖像正確的是（ ? ）

A ? ? ? ? ? ? ? ? B ? ? ? ? ? ? ? ? C ? ? ? ? ? ? ? ? D

分析 ?電場反向后：qE+kx=ma，

即a=x+，

隨著x的減小，物體在做加速度越來越小的加速運動，當(dāng)物體運動到彈簧原長時x=0，a=，此后做勻加速直線運動，因此A、C選項正確。

點評 ?此題的突破口在于物體在彈簧原長時脫離，脫離時物體受到的合外力為F=qE，此后保持不變。

綜上所述：針對彈簧中的圖像問題，要能分析有關(guān)圖像所表達的物理意義，抓住圖像的斜率、截距、交點、臨界點等幾個要點，常常就可以方便、簡明、快捷地解決此類問題。

參考文獻：

[1]路天明.對一道雙平衡位置振動問題的討論[J].物理通報，2011（10）：92.

[2]高正球.高考中彈簧類問題分析[J].物理教學(xué)探討，2008，26（11）：5—6.

[3]葉正勇.談彈簧的彈力與彈性勢能[J].物理教師，2015，36（1）：56—59.

[4]熊翠華.利用彈簧的特點解決疑難問題[J].中學(xué)物理，2013，31（12）：82—83.

（欄目編輯 ?羅琬華）