算術(shù)與代數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系

　　好的數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)具有這樣一種專業(yè)素養(yǎng)，即是能夠跳出細(xì)節(jié)并從整體上把握自己的教學(xué)內(nèi)容，如什么是這一學(xué)期、這一學(xué)年，乃至整個學(xué)段和整個小學(xué)學(xué)習(xí)期間的主要教學(xué)內(nèi)容，教師在教學(xué)中并應(yīng)努力做好“承上啟下”的工作。顯然，從這一角度去分析，弄清算術(shù)與代數(shù)（在此主要指初中代數(shù)——下同）之間的區(qū)別與聯(lián)系就特別重要，因為，自然數(shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)的認(rèn)識以及它們的運算正是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)（更為準(zhǔn)確地說，應(yīng)是“算術(shù)”教學(xué)）的主要內(nèi)容，而且，代數(shù)思想在算術(shù)教學(xué)的滲透，不僅直接關(guān)系到我們的算術(shù)教學(xué)能否真正做到“居高臨下”，對于學(xué)生順利地由小學(xué)過渡到中學(xué)也是十分有利的。當(dāng)然，這也正是新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個明顯特點，即是將原先屬于初中代數(shù)的部分內(nèi)容（負(fù)數(shù)和方程）下放到了小學(xué)，從而也就在這一方面提出了直接的要求。
　　
　　一、同與不同
　　
　　1．從總體上說，這顯然是算術(shù)與代數(shù)的一個重要區(qū)別，即有著不同的研究對象：算術(shù)主要集中于自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的認(rèn)識，包括相應(yīng)的計算方法；代數(shù)的研究對象則不僅由具體的數(shù)擴展到了由字母和數(shù)字組成的（代數(shù)）式，也更加側(cè)重于方程的研究與應(yīng)用。
　　當(dāng)然，從形式上看，代數(shù)中關(guān)于式的研究又應(yīng)說是與算術(shù)中關(guān)于數(shù)的研究較為接近的。具體地說，盡管運算的對象不同，其涵義也有所擴展，特別是引進了合并同類項、因式分解等新的運算，但在數(shù)的運算與式的運算之間顯然又有著直接的類比關(guān)系。更為重要的是，兩者似乎也有著共同的關(guān)注，即如何能夠通過適當(dāng)?shù)挠嬎闱蟮米罱K的結(jié)果。
　　也正是在這樣的意義上，一些學(xué)者提出：“算術(shù)在很大程度上是過程性的?！绷硗?，這顯然也就是人們在算術(shù)的教學(xué)中何以特別重視算法的掌握以及計算的準(zhǔn)確性和迅速性的直接原因。
　　然而，應(yīng)當(dāng)強調(diào)的是，如果我們對于式的教學(xué)采取完全相同的觀點，即是唯一強調(diào)如何能夠通過適當(dāng)?shù)挠嬎闱蟮盟枰慕Y(jié)果，則就很可能因此而忽視了一個十分重要的代數(shù)思想：“代數(shù)即概括?！备鼮榫唧w地說，這正是數(shù)學(xué)中引入字母的一個主要作用，即有助于人們通過概括達(dá)到更高的抽象層次。從而，如果我們在教學(xué)中只是強調(diào)了用字母去代表數(shù)，卻沒有能夠更加重視如何能夠幫助學(xué)生很好理解“概括”這樣一種重要的代數(shù)思想，就不能不說是忽視了在算術(shù)與代數(shù)之間所存在的這一重要區(qū)別。恰恰相反，我們應(yīng)當(dāng)清楚地認(rèn)識到這樣一點：“概括也是學(xué)習(xí)代數(shù)的一個途徑?！?br/>　　應(yīng)當(dāng)指出，上述的“過程性觀點”又不僅僅體現(xiàn)于數(shù)的運算，而且也直接影響到了人們對數(shù)的理解。例如，在筆者看來，我們就可從這一角度去理解學(xué)生在分?jǐn)?shù)與無限循環(huán)小數(shù)的學(xué)習(xí)中何以會經(jīng)常出現(xiàn)如下的困惑，如“0.999……與1究竟哪個大？”因為，這里的關(guān)鍵恰恰就在于觀念的必要更新，也即如何能夠幫助學(xué)生由過程性的“潛無限觀念”轉(zhuǎn)變到對象性的“實無限觀念”。
　　2．相對于式的教學(xué)而言，方程的認(rèn)識與應(yīng)用在代數(shù)的教學(xué)中顯然占有更為重要的地位，而也只有從后一角度去分析，我們才能更為深入地認(rèn)識這樣一點：代數(shù)的學(xué)習(xí)必然要求學(xué)生超越上述的“過程性觀點”并達(dá)到新的更高的認(rèn)識水平。從而，這也就應(yīng)被看成在算術(shù)與代數(shù)之間所存在的又一重要區(qū)別。
　　具體地說，等量關(guān)系無疑應(yīng)當(dāng)被看成方程的本質(zhì)，這也就是指，方程所強調(diào)的正是對象之間的等量關(guān)系。盡管 “解方程”的主要目的仍然在于如何能夠經(jīng)由具體運算求得相應(yīng)的未知量，但在這一過程中我們又必須特別注意不能因此而破壞方程兩邊的等量關(guān)系，也即變形后所得出的新方程應(yīng)是與原來的方程等價的。例如，也正是在這樣的意義上，人們提出，“等價是代數(shù)中的一個核心觀念”。
　　由“等號”的不同理解我們即可更好地認(rèn)識代數(shù)與算術(shù)在這一方面的重要區(qū)別：如果說等號的使用在算術(shù)中主要表明了運算的具體實施過程，也即由具體運算所依次得出的結(jié)果，那么，在代數(shù)中，“等量關(guān)系”就已成為等號的主要意義。例如，從這一角度去分析，我們就可立即看出，以下的常見錯誤主要就是因為學(xué)生仍然處于“過程性觀點”的直接影響之下：
　　3x=5+13=18=18÷3=6。
　　進而，我們在此又應(yīng)明確提出關(guān)于“過程性觀點”（也可稱為“程序性觀點”）與“結(jié)構(gòu)性觀點”的區(qū)別。例如，就字母與式的理解而言，所謂的“過程性觀點”就是指將字母或字母表達(dá)式看成所要求取的求知量的直接取代物，這也就是指，我們在此所關(guān)心的主要是如何通過具體計算求得所說的未知量；與此相對照，“結(jié)構(gòu)性觀點”則是將字母或字母表達(dá)式看成直接的對象而非具體數(shù)量的取代物，我們在此所主要關(guān)注的也只是式與式之間的關(guān)系——從而，按照這樣的理解，符號表達(dá)式事實上就應(yīng)被看成整體數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的一個組成成分。
　　值得指出的是，也正是遵循這樣的分析思路，一些學(xué)者明確提出了這樣一種觀點，即認(rèn)為由“過程”到“對象”的轉(zhuǎn)變（這就是所謂的“凝聚”）可以被看成是代數(shù)思維的一個基本形式，我們并可從這一角度清楚地去指明在代數(shù)與幾何之間所存在的重要區(qū)別。
　　最后，應(yīng)當(dāng)強調(diào)的是，我們不應(yīng)把“結(jié)構(gòu)性觀點”與“過程（程序）性觀點”絕對地對立起來。恰恰相反，這正是數(shù)學(xué)思維的一個重要特點，即應(yīng)當(dāng)依據(jù)不同的情景和需要在“過程”與“對象”之間作出必要的轉(zhuǎn)換，包括由“過程”轉(zhuǎn)向“對象”，以及由“對象”重新回到“過程”。例如，在求解方程時，我們顯然必須將相應(yīng)的表達(dá)式，如（x+3）2=1，看成單一的對象，而非具體的計算過程，不然的話，就會出現(xiàn)上述的“連等式”這樣的錯誤。然而，一旦求得了方程的解，如x=-2和-4，作為一種檢驗，我們又必須將其代入原來的表達(dá)式并實行具體的計算，從而，這時所采取的又是一種“過程”的觀點。
　　
　　二、聚焦教學(xué)涵義
　　
　　就代數(shù)思想在小學(xué)算術(shù)教學(xué)中的滲透而言，應(yīng)當(dāng)首先明確：這并非外部強加給小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的附加性成分，因為，小學(xué)數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容本身就包含了這些因素。例如，這事實上也就是在現(xiàn)今的數(shù)學(xué)教育研究何以會出現(xiàn)以下一些術(shù)語的主要原因，如“算術(shù)的內(nèi)在代數(shù)本質(zhì)” “早期代數(shù)思維” “涌現(xiàn)的代數(shù)”，等等。進而，又如“涌現(xiàn)”（emergence）這一詞語所清楚表明的，我們在此所提倡的正是一種自然而然的變化，也即如何能在算術(shù)的教學(xué)中自然而然地體現(xiàn)代數(shù)思維。以下就圍繞“概括”與“等價觀念”這樣兩個代數(shù)思想對此作出進一步的分析論述。
　　1．上面已經(jīng)提到，字母的引入（更為一般地說，就是由數(shù)到式的過渡）應(yīng)當(dāng)很好體現(xiàn)“概括”這樣一種思想。例如，我們顯然就可從這一角度去理解以下的一些論述：“代數(shù)是概括的算術(shù)” “代數(shù)意義衍生于它的數(shù)字基礎(chǔ)” “概括也是學(xué)習(xí)代數(shù)的一個途徑”，等等。
　　進而，我們顯然也可從同一角度去理解以下研究工作的意義，特別是，這更可被看成為我們具體判斷學(xué)生的發(fā)展水平提供了可能的標(biāo)準(zhǔn)：就學(xué)生對于字母表達(dá)式的理解而言，可以大致地區(qū)分出這樣六個不同的水平：（1）賦予特定數(shù)值的字母：從一開始就對字母賦予一個特定的值；（2）對字母不予考慮：根本忽視字母的存在，或雖然承認(rèn)它的存在但不賦予其意義；（3）字母被看成一個具體的對象：認(rèn)為字母是一個具體物體的速記或其本身就被看成一個具體的物體；（4）字母作為一個特定的未知量：把字母看成一個特定的、但是未知的量；（5）一般化的數(shù)：把字母看成代表了或至少可以取幾個而不只是一個值；（6）字母作為一個變量：把字母看成代表一組未指定的值，并在兩組這樣的值之間存在有系統(tǒng)的關(guān)系。進而，以下的調(diào)查結(jié)果（這是1976年在英國實施的一項大規(guī)模的調(diào)查研究，其中共對3000名13~15歲的中學(xué)生進行了51項的筆試）顯然又可被看成更為清楚地表明了注意代數(shù)思想在算術(shù)教學(xué)中滲透的重要性：大多數(shù)學(xué)生（13歲中的73%，14歲中的59%，15歲中的53%）或是把字母當(dāng)做具體的對象，或者根本就不去管它們。
　　
　　再者，就概括思想的具體學(xué)習(xí)而言，表格無疑具有特別的重要性。例如，這顯然也就是以下論述的一個主要意義：“表格可能是學(xué)習(xí)代數(shù)旅程的起點。”然而，這又是在現(xiàn)實中經(jīng)常可以看到的一種弊病，即教師在教學(xué)中沒有給學(xué)生的主動探究留下足夠的空間，特別是忽視了關(guān)于圖像的視覺與實際操作應(yīng)當(dāng)被看成概括的必要基礎(chǔ)，從而就極大地“削減了概括過程的豐富性”。
　　更為一般地說，這事實上也就是眾多“找規(guī)律”課程的一個共同弊?。浩渌Ｍ募磳W(xué)生能夠按照教師（或者說，教材）的暗示、用教師（教材）指定的方法、并按照教師（教材）指定的步驟去作出所謂的“發(fā)現(xiàn)”。顯然，在這樣的情況下，學(xué)生的“主動探究”在很大程度上就只能說是一種“假探究”。
　　例如，以下關(guān)于韋達(dá)定理的教學(xué)設(shè)計在很大程度上就可被看成這樣的一個實例：
　　先讓學(xué)生填下列的表格，然后問：你認(rèn)為一元二次方程的根與系數(shù)之間有什么關(guān)系？
　　2．盡管從教學(xué)的角度看以下的措施似乎都只是一種小技巧，即在教學(xué)中有意識地使用不同的字母、或是對已選定的字母作出改變，如將4x+7 = 35變形為4y+7 = 35，直至用更為復(fù)雜的符號表達(dá)式去取代原來的字母，如4x+7 = 35與4（2r+1）+7 = 35等，但這顯然十分有益于學(xué)生超出“外在形式的感知”從而也就能夠更為深入地去認(rèn)識對象的內(nèi)在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。值得指出的是，這里所說的“外在形式的感知”事實上也正是學(xué)生在操作性活動何以經(jīng)常出現(xiàn)某些“規(guī)律性錯誤”的一個重要原因。當(dāng)然，我們在教學(xué)中又應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生對所說的不同表達(dá)式作出必要的比較，
　　另外，我們顯然也可從同一角度去理解以下一些教學(xué)設(shè)計的意義，即是如何能夠幫助學(xué)生初步地建立起關(guān)于“等號”的“結(jié)構(gòu)性觀念”，而不只是認(rèn)為“等號”表明“給出答案”（正因為此，等式也就常常被看成具有固定的“方向”：左邊表示應(yīng)作的運算，右邊表示答案）：如教師在教學(xué)中可以有意識地讓學(xué)生構(gòu)造這樣一些等式，先是每邊都有一個運算，如4+3=6+1，2×6=4×3，2×6=10+2等；接下來是每邊都有兩個運算的，隨后是每邊都有乘法的，如 7×2+3-2=5×2-1+6，等等。
　　更為一般地說，以下正是學(xué)生形成關(guān)于方程的“結(jié)構(gòu)性觀念”的一些關(guān)鍵環(huán)節(jié)：（1）用字母代表數(shù)；（2）等號表示左、右雙方的等價性；（3）右邊的項不一定是單一的數(shù)而也可能是一個代數(shù)式。從而，這也就十分清楚地表明這樣一點：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)確實能在這一方面發(fā)揮更大的作用，也應(yīng)發(fā)揮更大的作用。
　　更為具體地說，這應(yīng)當(dāng)被看成小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一項重要目標(biāo)，即努力促進學(xué)生由“過程性觀念”向“結(jié)構(gòu)性觀念”轉(zhuǎn)變。值得指出的是，從這一角度去分析我們也可更為深入地認(rèn)識“奧數(shù)”的盛行對于數(shù)學(xué)教學(xué)的嚴(yán)重影響：由于在小學(xué)奧數(shù)的訓(xùn)練中，方程幾乎無一例外地只是作為一種新的解題方法得到了介紹，學(xué)生對于方程方法的應(yīng)用又常常依賴于記憶與模仿。因此，這種學(xué)習(xí)恰恰就是丟掉了代數(shù)學(xué)習(xí)中最為根本的一些東西，由此所形成的“思維定式”也必然會對學(xué)生將來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生嚴(yán)重的消極影響。
　　在筆者看來，后一實例事實上并就進一步證實了筆者對于當(dāng)前普遍存在的學(xué)生“兩極分化”現(xiàn)象的如下判斷：“所謂的‘超前教育’正是造成現(xiàn)今‘兩極分化’的一個重要原因，這也就是指，我們所看到的事實上并非真正的‘優(yōu)秀學(xué)生’與‘差生’之間的差距，而是由各種原因造成的‘提前起跑者’與‘正常起跑者’之間的差距。而且，這里所說的‘先進生’有很多不僅不能被看成真正的優(yōu)秀學(xué)生，更可能是一個‘越做越恨’ ‘越學(xué)失敗感越強’，甚至靈魂也因此受到一定扭曲的‘偷跑者’?！?br/>　　
　　三、更為一般的分析
　　
　　1．依據(jù)上述分析，我們也可更為深入地去理解什么是“過程教育”的主要涵義，特別是，什么是真正的數(shù)學(xué)活動，什么又是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的適當(dāng)活動？
　　具體地說，這是筆者在這一方面的一個基本觀點：我們應(yīng)當(dāng)清楚地認(rèn)識數(shù)學(xué)活動的豐富性。例如，上面已提到的概括、抽象、符號化、視覺化、操作、算法的應(yīng)用等顯然都應(yīng)被看成學(xué)生數(shù)學(xué)活動的重要形式，除此以外，我們還可以提及下定義、綜合、表征、證明和公理化等活動。
　　其次，同樣重要的是，相對于外在的形式而言，我們又應(yīng)更加重視內(nèi)在的數(shù)學(xué)思維，也即應(yīng)當(dāng)十分重視通過具體的數(shù)學(xué)活動幫助學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思維。例如，從這一角度去分析，就代數(shù)思維向小學(xué)數(shù)學(xué)的滲透而言，字母的使用就不是真正的關(guān)鍵，因為，就如以下的論述所清楚表明的：“低年級的代數(shù)思維涉及在活動中培養(yǎng)思維方式，字母—符號代數(shù)可以作為工具被應(yīng)用于這些活動中，但是這些活動并非排除代數(shù)，而且在根本不使用任何字母—符號代數(shù)的情況下，學(xué)生可以參與到這些活動中，比如，分析數(shù)量之間的關(guān)系、注意結(jié)構(gòu)、研究變化、歸納化、問題解決、模式化、判斷、證明和預(yù)測?！?br/>　　更為一般地說，這事實上也可被看成“關(guān)于算術(shù)教學(xué)的現(xiàn)代觀點”的核心所在：“算術(shù)不（應(yīng)）僅僅關(guān)注計算能力，它還應(yīng)該通過數(shù)學(xué)知識活動，為學(xué)生提供機會，以便于他們奠定一個堅實的數(shù)學(xué)傾向的基礎(chǔ)。通過簡單的例子，理解數(shù)學(xué)陳述與它們所模擬的情境（或者沒有模擬）之間的關(guān)系，學(xué)習(xí)猜想、論證（或多或少是非正規(guī)的）和證明（如在數(shù)字理論領(lǐng)域）的藝術(shù)，甚至從理想的角度來看，意識到作為‘?dāng)?shù)字’意義的激進的概念結(jié)構(gòu)化的本質(zhì)正在得到逐步的擴展?！?br/>　　另外，在筆者看來，上述觀點也為我們究竟應(yīng)當(dāng)如何去理解所謂的“數(shù)感”（眾所周知，這是新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個明確主張，即應(yīng)將“培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的數(shù)感”作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一項重要目標(biāo)）提供了直接啟示。后者即是指，盡管我們在此所使用的是“數(shù)感”（the number sense）這樣一個詞語，但這又不被理解成僅僅局限于“數(shù)的感知”這樣一個范圍，毋寧說，就如對于“外在形式的感知”的必要超越，我們在此也應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生更為深入地去認(rèn)識研究對象的內(nèi)在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。當(dāng)然，由所做的分析我們也可清楚地看出，“數(shù)感”不應(yīng)被看成先天的才能，而主要依賴于后天的學(xué)習(xí)。
　　2．除去算術(shù)與初中代數(shù)的（區(qū)別和）聯(lián)系以外，我們顯然也應(yīng)從同一角度去看待初中代數(shù)與高中代數(shù)（乃至抽象代數(shù)之間）的聯(lián)系。例如，上述對于“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的強調(diào)就正是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究最為基本的一個思想。另外，在筆者看來，我們顯然也應(yīng)從同一角度去理解以下的論述：“代數(shù)不僅僅成為關(guān)于方程和解方程的研究，也逐步發(fā)展成涵蓋函數(shù)（及其表征形式）和變換的研究?！庇?，“函數(shù)方法……不僅擴大了代數(shù)的內(nèi)容，而且也被用來設(shè)計和解釋研究的理論觀點和技術(shù)觀點，這增加了意義源泉分析的復(fù)雜性?！?br/>　　綜上可見，在算術(shù)的教學(xué)中我們就應(yīng)積極地去滲透這樣三個代數(shù)思想：第一，概括的思想；第二，等價觀念；第三，變化與函數(shù)的思想。當(dāng)然，就這方面的具體工作而言，我們又應(yīng)高度重視與學(xué)生的思維發(fā)展水平相適應(yīng)。
　　最后，筆者以為，上述分析事實上也為我們?nèi)绾胃鼮樯钊氲厝ダ斫怅P(guān)于“數(shù)學(xué)教學(xué)的整合觀點”提供了重要啟示，后者即指，這不應(yīng)唯一地被理解成不同數(shù)學(xué)分支的適當(dāng)整合。恰恰相反，我們應(yīng)當(dāng)更加重視如何能夠跳出小學(xué)與初中的教學(xué)范圍并從更為宏觀的角度去進行分析思考，從而真正發(fā)展起一種“內(nèi)在一致的、綜合性的理論框架”。容易想到，這也正是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的制定與修改所應(yīng)特別重視的一個問題。