構造奇數階空間完美幻立方及空間對稱完美幻立方的三步法

詹森，王輝豐

（1.廣東技術師范學院計算機科學系，廣東廣州510665；2.海南師范大學數學與統(tǒng)計學院，海南海口571158）

構造奇數階空間完美幻立方及空間對稱完美幻立方的三步法

詹森1，王輝豐2

（1.廣東技術師范學院計算機科學系，廣東廣州510665；2.海南師范大學數學與統(tǒng)計學院，海南?？?71158）

文章給出構造奇數n=2m+1（m為m≠3t+1且m≠5t+2，t，s=0，1，2，…的自然數）階空間完美幻立方和空間對稱完美幻立方的三步法，得到（n！）3個不同的n階空間完美幻立方和（22m（m?。?個不同的n階空間對稱完美幻立方.

幻立方；空間完美幻立方；空間對稱完美幻立方；余函數；三步法

人們知道，研究空間（三維）幻立方比平面（二維）幻方更復雜、更困難.文［1-8］研究了各種平面幻方，文［9～10］討論了空間幻立方，提出了各類空間幻立方的構造方法，得到一些新結果.

如果一個空間幻立方的四條空間對角線及與其同方向的空間泛對角線上的n個數字之和也都等于n階幻立方常數，則稱之為空間完美幻立方.空間對稱的空間完美幻立方則稱為空間對稱完美幻立方.本文將給出奇數階空間完美幻立方和空間對稱完美幻立方的構造方法及其證明.為此，首先根據文［8］中的余函數r（t）（對任意給定的整數E）有以下預備定理（略去證明）.

1　預備定理

下面闡述構造奇數n=2m+1（m為m≠3t+1且m≠5s+2，t，s=0，1，2，…的自然數）階空間完美幻立方（簡稱完美幻立方，下文均如此）的步驟.

2　構造奇數階完美幻立方的步驟

對所要構造奇數階完美幻立方，與文［9］一樣，仍設以k軸為法向的第k（k=1，2，…，n）個截面的i行、j列元素為c（k，i，j），其基方陣i行、j列元素為b（k，i，j）.其構造方法是：

k個從小至大的數字（截面）順序組成的立方陣C就是所要構造的奇數階完美幻立方（見定理1）.以上三步稱為三步法.

定理1數字立方陣C是一個奇數n=2m+1（m為m≠3t+1且m≠5s+2，t，s=0，1，2，…的自然數）階完美幻立方.

證明證明如下

1）數字立方陣C以k軸為法向的k（k=1，2，…，n）個截面，每行，每列上n個數字的和都是常數

事實上，根據預備定理4，第j（j=1，2，…，n）個截面上，其第i（i=1，2，…，n）列上n個數字之和為

3　定理1及證明

綜上所述，數字立方陣C是一個奇數n=2m+1（m為m≠3t+1且m≠5s+2，t，s=0，1，2，…的自然數）階空間完美幻立方.證畢.

4　構造奇數階空間對稱完美幻立方的步驟

第一步按文［8］構造n×n基方陣A.A位于第i行、第j列的元素為a（i，j）（i，j=1，2，…，n），于基方陣A是一個中心對稱方陣，有

第二步與構造完美幻立方步驟的第二步相同，但要求dn=m+1，dt+dn-t=n+1（t=1，n-1）.

第三步與構造完美幻立方步驟的第三步相同.所得數字立方陣C就是一個奇數n=2m+1（m為m≠3t+1且m≠5s+2，t，s=0，1，2，…的自然數）階對稱完美幻立方（見定理2）.以上步驟稱為構造奇數階空間對稱完美幻立方（簡稱對稱完美幻立方）的三步法.

5　定理2及證明

定理2數字立方陣C是一個奇數n=2m+1（m為m≠3t+1且m≠5s+2，t，s=0，1，2，…的自然數）階對稱完美幻立方.

證明由定理1，只需證明數字立方陣C是空間中心對稱的即可.事實上，有

的自然數所組成，其中a（i，j）（i，j=1，2，…，n）是1～n2的自然數，因此，以上兩種幻立方都是由1～（n2-1）n+ n=n3的自然數所組成，即它們是正規(guī)的幻立方.

構造完美幻立方步驟第一步中基方陣A有（n！）2不同的選擇，其第二步各列基數及隨后共n個數的安裝順序有n！種不同的選擇，所以按該構造法可得出（n?。?個不同的奇數n=2m+1（m為m≠3t+1且m≠5s+2，t，s=0，1，2，…的自然數）階空間完美幻立方.

構造對稱完美幻立方步驟第一步中基方陣A有（2m（m?。?不同的選擇，其第二步各列基數及隨后共n個數的安裝順序有2m（m?。┓N不同的選擇，所以按該構造法可得出（2m（m?。?個不同的奇數n=2m+1（m為m≠3t+1且m≠5s+2，t，s=0，1，2，…的自然數）階對稱完美幻立方.

例用以上三步法構造一個7階對稱完美幻立方.

第一步根據文［9］構造一個7階對稱完美幻方的基方陣：

第三步將Bk（k=1，2，…，7）的第i行（i=1，2，…，7）的元素右移r（（k-m）（m+1）-i）個位置，右移后得到的分別記為C1，C2，…，C7，由以上定理2知，所得的是7階對稱完美幻立方：

［1］詹森，王輝豐.關于構造高階幻方的新方法［J］.海南師范大學學報：自然科學版，2009，22（3）：250-254.

［2］詹森，王輝豐.奇數階對稱完美幻方的構造方法［J］.海南師范大學學報：自然科學版，2009，22（4）：396-402.

［3］王輝豐，詹森.關于構造三類奇數階幻方的新方法［J］.海南師范大學學報：自然科學版，2010，23（1）：12-15.

［4］詹森，王輝豐.構造鑲邊幻方的代碼法［J］.海南師范大學學報：自然科學版，2010，23（2）：152-157.

［5］王輝豐.構造鑲邊幻方代碼法的代碼公式［J］.海南師范大學學報：自然科學版，2012，25（3）：269-273.

［6］詹森，王輝豐.構造奇數階對稱幻方及奇偶數分開對稱幻方的新方法［J］.海南師范大學學報：自然科學版，2011，24（4）：395-399.

［7］王輝豐.構造奇數階完美幻方和對稱完美幻方的兩步法［J］.海南師范大學學報：自然科學版，2012，25（1）：28-31.

［8］詹森，王輝豐.構造奇數階幻方，完美幻方和對稱完美幻方的新方法［J］.海南師范大學學報：自然科學版，2011，24（3）：265-269.

［9］詹森，王輝豐.構造奇數階對稱幻立方及對稱完美幻立方的三步法［J］.海南師范大學學報：自然科學版，2013，26（3）：266-273.

［10］詹森，王輝豐.構造雙偶數階空間更完美幻立方的四步法［J］.海南師范大學學報：自然科學版，2014，27（4）：125-131.

責任編輯：黃瀾

Three Footwork's Structure Methods about Odd Order Space Perfect Magic Cube and Space Symmetrical Perfect Magic Cube

ZHAN Sen1，WANG Huifeng2
（1.Department of Computer Science，Guangdong Technical Normal University，Guangzhou 510665，China；2.College of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou 571158，China）

Three footwork's structure methods and their theoretical proofs.were Given.When n=2m+1（m is m≠3t+1 and m≠5t+2，t，s=0，1，2，…natural number），these methods may obtain（n?。?different n order space perfect magic cube and（22m（m?。?different n order space symmetrical perfect magic cube.

magic cube；space perfect magic cube；space symmetrical perfect magic cube；residual function；three footwork method

O 157.6

A

1674-4942（2015）04-0375-06

2015-09-15