直線滾珠導(dǎo)軌庫侖摩擦力建模與分析*

喻精輝,張朋海

(重慶大學機械與運載工程學院,重慶 400044)

0 引言

直線滾珠導(dǎo)軌因其結(jié)構(gòu)簡單、成本低、精度高等優(yōu)點在精密機床領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用[1]。對于導(dǎo)軌系統(tǒng)而言,非線性摩擦力是影響系統(tǒng)精度的重要因素,通常可以通過摩擦力補償?shù)姆椒p少或消除摩擦力的影響。

目前,主流的摩擦力補償方法是基于摩擦模型的補償[2-3],常用的摩擦模型有Stribeck模型、LuGre模型、Dahl模型等。CONG等[4]通過優(yōu)化基于Stribeck模型的摩擦補償策略,解決了由于摩擦力過度補償引起的極限環(huán),從而提高了系統(tǒng)精度。陳浩等[5]針對直線電機滑臺的摩擦特性,提出了考慮加速度影響的二元Stribeck模型,并實驗驗證了模型的有效性。陳琳等[6]提出了一種修正Stribeck模型,緩解了傳統(tǒng)Stribeck模型過補償導(dǎo)致的過零處速度波動及跟蹤誤差大的問題。譚文斌等[7]修正了傳統(tǒng)LuGre模型,并提出以修正模型為基礎(chǔ)的補償方案,提高了伺服系統(tǒng)的動態(tài)性能。JIANG等[8]基于LuGre摩擦模型建立了數(shù)字液壓缸的數(shù)學模型,提出了一種自適應(yīng)摩擦補償控制方法,仿真結(jié)果表明該方法可有效降低系統(tǒng)靜態(tài)誤差、抑制系統(tǒng)極限回路振蕩。彭洋等[9]提出了一種改進的Dhal摩擦模型,并研究基于該模型的摩擦補償及參數(shù)辨識,結(jié)果表明該模型能有效提高系統(tǒng)動態(tài)性能。

然而,基于模型的摩擦補償方案通常是建立在模型參數(shù)恒定或緩慢變化的假設(shè)上的,模型參數(shù)的改變可能會削弱補償?shù)挠邢扌院统浞中訹10]。上述基于摩擦模型的補償方法均將庫侖摩擦力作為恒定參數(shù)引入模型,并未考慮庫侖摩擦力波動導(dǎo)致的摩擦補償不充分或失效。因此,針對系統(tǒng)庫侖摩擦力建模,定量探究其波動情況,對提高摩擦補償模型精度、保證摩擦補償效果具有重要價值。本文僅研究庫侖摩擦力的波動規(guī)律,庫侖摩擦力波動對摩擦模型補償效果的影響規(guī)律將在后續(xù)研究中補充。

本文將以雙滾珠直線導(dǎo)軌四滑塊結(jié)構(gòu)平臺為研究對象,考慮直線導(dǎo)軌的幾何誤差,建立庫侖摩擦力分析模型,并分析庫侖摩擦力的波動情況。

1 直線滾珠導(dǎo)軌系統(tǒng)模型

由于導(dǎo)軌幾何誤差的存在,滾珠的彈性變形會發(fā)生改變,系統(tǒng)將產(chǎn)生誤差運動。為研究幾何誤差對導(dǎo)軌系統(tǒng)庫侖摩擦的影響規(guī)律,本文將建立不同維度下的坐標系統(tǒng),以滾珠變形協(xié)調(diào)關(guān)系為橋梁,建立各坐標系統(tǒng)下誤差運動的映射關(guān)系和力學平衡方程,求解庫侖摩擦力的波動情況。

1.1 坐標系統(tǒng)及幾何誤差

本文研究的雙直線導(dǎo)軌四滑塊系統(tǒng)采用對稱布置,如圖1所示。直線滾珠導(dǎo)軌副為四列對稱結(jié)構(gòu),滾珠的初始接觸角均為φ,導(dǎo)軌系統(tǒng)以速度u沿y方向運動,如圖2所示。為建立導(dǎo)軌系統(tǒng)模型,以工作臺與滑塊連接平面的幾何中心為原點建立導(dǎo)軌系統(tǒng)坐標系O-XYZ(如圖1b、圖1c所示);以滑塊對稱中心為原點建立滑塊坐標系oi-xiyizi(如圖2b所示),其中i為滑塊編號,取值為1、2、3、4;以單列滾珠對稱中心為原點建立滾珠列坐標系oij-xijyijzij(如圖2a所示),其中j為滾珠列編號,取值為1、2、3、4;以單個滾珠幾何中心為原點建立滾珠坐標系oijk-xijkyijkzijk,其中k為受載滾珠編號,取值為1、2…nb,nb為單列受載滾珠數(shù)。

(a) 左視圖 (b) 俯視圖

(a) 右視圖與A-A剖視圖 (b) 單滑塊結(jié)構(gòu)圖2 滾珠直線導(dǎo)軌單滑塊結(jié)構(gòu)

根據(jù)傅里葉變換,復(fù)雜的幾何誤差可視為一系列正弦波的疊加,為了方便研究幾何誤差與誤差運動的關(guān)系,本文將幾何誤差視為正弦波。導(dǎo)軌系統(tǒng)的幾何誤差主要由導(dǎo)軌的垂直變形誤差(如圖1a所示)、水平變形誤差(如圖1b所示)和滾道輪廓誤差(如圖2a所示)組成。為表示導(dǎo)軌的幾何誤差,在導(dǎo)軌對稱平面上建立導(dǎo)軌坐標系or-yrzr,如圖2a所示。這樣滾珠ijk在導(dǎo)軌坐標系下的位置yr可表示為:

(1)

式中:Lb為相鄰滾珠間距,Ls為同側(cè)滑塊中心距,d0為滾珠直徑,s為系統(tǒng)在yr方向上運行的距離。

為直觀地研究幾何誤差波長的影響,本文以相鄰兩滾珠間所包含正弦波數(shù)來表示波長,并根據(jù)波數(shù)大小將波長分為3個系列,即:長波長(波數(shù)在0.01～0.1之間),中波長(波數(shù)在0.1～1之間),短波長(波數(shù)在1～10之間)。這樣,每個滾珠位置上的幾何誤差可表示為:

(2)

式中:ΔEp_ijk、ΔEdv_ijk、ΔEdh_ijk分別表示滾珠ijk位置上的滾道輪廓誤差、垂直變形誤差和水平變形誤差,E、n、φ則分別表示幾何誤差的幅值、波數(shù)和初始相位,l為導(dǎo)軌編號,m為軌道編號,其數(shù)值與滾珠列號相同。

1.2 誤差運動及映射關(guān)系

對于雙軌四滑塊系統(tǒng)O-XYZ,由于導(dǎo)軌幾何誤差等因素,系統(tǒng)會產(chǎn)生5個誤差運動Δx、Δz、α、β、γ。對于單滑塊系統(tǒng)oi-xiyizi,同樣會產(chǎn)生5個誤差運動Δxi、Δzi、αi、βi、γi。根據(jù)幾何關(guān)系建立坐標系O-XYZ與坐標系oi-xiyizi(i=1、2、3、4)下誤差運動的映射關(guān)系,如式(3)～式(6)所示。

(3)

(4)

(5)

(6)

式中:Bs為導(dǎo)軌軸線間的距離。

對于單列滾珠系統(tǒng)oij-xijyijzij,系統(tǒng)會產(chǎn)生誤差運動αij和Δzij,而滾珠oijk-xijkyijkzijk則會產(chǎn)生沿接觸方向的誤差運動εm_ijk,此誤差運動在xijk、zijk方向的分量為εm_ijk_x和εm_ijk_z。假設(shè)每個滾珠幾何參數(shù)完全一致,且呈均勻分布,則坐標系oijk-xijkyijkzijk和oi-xiyizi下的誤差運動間的映射關(guān)系為:

(7)

式中:Bb為左右兩列滾珠間距,Hb為上下兩列滾珠間距,L為滑塊長度,f1、f2、f3為位置系數(shù),與滾珠列的位置相關(guān),定義為:

(8)

同理,可建立坐標系oijk-xijkyijkzijk與oij-xijyijzij下誤差運動的映射關(guān)系:

(9)

自此,通過式(3)～式(9)建立起從單個滾珠到雙導(dǎo)軌四滑塊系統(tǒng)間誤差運動的映射轉(zhuǎn)換關(guān)系。

1.3 力學平衡方程

在滾珠直線導(dǎo)軌裝配過程中,為了消除間隙,提高導(dǎo)軌剛性,通常需要施加預(yù)緊力F0。對于滾珠ijk,其法向接觸力與預(yù)緊力平衡,即:

Fijk=F0

(10)

為了研究滾珠的變形協(xié)調(diào)關(guān)系,本文認為滾珠與滾道之間的受力變形均在彈性變形范圍內(nèi),滾珠與兩側(cè)接觸滾道的接觸變形均由滾珠承擔,滾道不發(fā)生變形[11],根據(jù)Hertz接觸理論有:

(11)

式中:ε0為滾珠的預(yù)加載變形,εijk為滾珠的總彈性變形,K為Hertz接觸剛度,可由下式計算[12-13]:

(12)

分別考慮導(dǎo)軌垂直變形、導(dǎo)軌水平變形、導(dǎo)軌滾道輪廓誤差作用下的變形協(xié)調(diào)關(guān)系,由圖3可得:

圖3 導(dǎo)軌幾何誤差

(13)

對于滾珠列ij,在坐標系oij-xijyijzij下,力學平衡方程為:

(14)

對于滑塊i,在坐標系oi-xiyizi下,力學平衡方程為:

(15)

對于雙導(dǎo)軌四滑塊系統(tǒng),在坐標系O-XYZ下建立力學平衡方程為:

(16)

1.4 基于運動誤差的庫侖摩擦力計算

若導(dǎo)軌幾何誤差已知,可求解上文的方程組獲得誤差運動和滾珠彈性變形的大小,進而分析庫侖摩擦力的變化情況。當系統(tǒng)運動時,將滾珠運動方向視為一致,則滾珠列ij庫侖摩擦力等于該列所有滾珠摩擦力之和,即:

(17)

式中:μ為庫侖滑動摩擦系數(shù)。同理,可計算滑塊i和整個導(dǎo)軌滑塊系統(tǒng)的庫侖摩擦力:

(18)

(19)

庫侖摩擦力與滾珠彈性變形狀態(tài)相關(guān),滾珠的變形狀態(tài)會隨導(dǎo)軌位置改變,精確計算導(dǎo)軌在每個位置下的庫侖摩擦力是十分困難的。在摩擦補償模型中,庫侖摩擦力通常被視作常數(shù),其均值部分可獲得良好補償,而波動部分卻難以量化和補償,但可通過減小其波動范圍來提高摩擦補償效果。因此,對庫侖摩擦力波動范圍的研究更具現(xiàn)實意義。

前文將導(dǎo)軌幾何誤差定義為正弦函數(shù),在滾珠均勻分布的假設(shè)下,庫侖摩擦力波動具有明顯的周期性。因此,可用庫侖摩擦力均化系數(shù)δ來量化庫侖摩擦力的波動大小,其定義為運動周期內(nèi)庫侖摩擦力的幅值與其均值的比值,即:

(20)

2 討論

2.1 參數(shù)

導(dǎo)軌的3種幾何誤差對庫侖摩擦力波動的作用是疊加的,為了直觀研究3種幾何誤差對庫侖摩擦力波動的影響,在算例分析時僅考慮單一幾何誤差對庫侖摩擦力波動的影響。

對于導(dǎo)軌變形誤差,本文以右側(cè)導(dǎo)軌(編號2)作為理想形狀,僅分析左側(cè)導(dǎo)軌(編號1)存在水平變形誤差(或垂直變形誤差)時庫侖摩擦力的波動情況。

對于滾道輪廓誤差,同一導(dǎo)軌上4條滾道的輪廓誤差對系統(tǒng)庫侖摩擦力的影響是矢量疊加的,可等效為4條滾道的輪廓誤差矢量疊加后作用在任一滾道上,其余滾道視作理想形狀。因此,本文以左側(cè)導(dǎo)軌左上滾道(編號11)的輪廓誤差為代表,分析導(dǎo)軌滾道輪廓誤差對庫侖摩擦力波動的影響。算例參數(shù)如表1所示。

表1 模型參數(shù)

2.2 單個滑塊庫侖摩擦力均化系數(shù)分析

當導(dǎo)軌1的水平變形誤差波數(shù)ndh_1由0.01～0.1(長波長),0.1～1(中波長),1～10(短波長)變化時,滑塊3的庫侖摩擦力均化系數(shù)δ如圖4所示。

圖4 導(dǎo)軌1水平變形誤差下滑塊3的δ

對于短波長的水平變形誤差,δ的變化存在明顯的周期性:當ndh_1為整數(shù)1、2、3…時,δ取得最小值0,當ndh_1為1.5、2.5、3.5…時,δ取得最大值,并且在同一周期內(nèi),δ的變化關(guān)于ndh_1=1.5、2.5、3.5…對稱。對于中波長的水平變形誤差,當ndh_1=0.5時δ取得最大值,在該波數(shù)±0.03范圍內(nèi)的δ明顯大于其它波數(shù)。同時不難發(fā)現(xiàn),當ndh_1的取值為0.2～0.4和0.6～0.8時,δ在一個較低的水平下波動。對于長波長的水平變形誤差,δ呈現(xiàn)隨ndh_1的增加緩慢增加而后緩慢減少的趨勢,當ndh_1=0.08時取得最大值。

導(dǎo)軌變形誤差波長主要決定于其安裝孔距,而安裝孔距通常位于中波長范圍內(nèi),將導(dǎo)軌安裝孔距設(shè)計為2.5Lb～5Lb時可有效抑制庫侖摩擦力的波動。由前文可知,庫侖摩擦力波動來源于滾珠彈性變形的變化,同時彈性變形的變化會引起導(dǎo)軌誤差運動的波動,且滾珠彈性變形變化越大,誤差運動波動越大,庫侖摩擦力的波動也越大。文獻[14]已通過有限元方法驗證了改變導(dǎo)軌安裝孔距對誤差運動波動抑制的有效性,這同時也間接驗證了其對庫侖摩擦力波動的抑制效果,本文不再重復(fù)驗證。

如圖5所示,當僅導(dǎo)軌1存在垂直變形誤差時庫侖摩擦力的波動情況與僅存在水平變形誤差時相同,這表明導(dǎo)軌水平變形誤差與導(dǎo)軌垂直誤差對單滑塊系統(tǒng)庫侖摩擦力的影響沒有本質(zhì)區(qū)別。

圖5 導(dǎo)軌1垂直變形誤差下滑塊3的δ

當僅導(dǎo)軌滾道11存在輪廓誤差時,不同np_11下滑塊3的庫侖摩擦力均化系數(shù)δ如圖6所示。對于短波長的滾道輪廓誤差,δ存在明顯的周期性和對稱性,當np_11為整數(shù)1、2、3…時,δ取得最大值。對于中波長的滾道輪廓誤差,當np_11=1時,δ取得最大值,且當np_11=0.95～1時,δ明顯大于其它波數(shù)。對于長波長的滾道輪廓誤差,隨著np_11的增大,δ呈現(xiàn)先減小而后緩慢增大的趨勢,并在np_11=0.085時取得最小值。

由圖4和圖6可知,在滾道輪廓誤差下的δ比導(dǎo)軌變形誤差下的大一個數(shù)量級,說明單一軌道輪廓誤差對滑塊庫侖摩擦力波動的影響更大。這點可依據(jù)幾何誤差的特點來解釋:對于導(dǎo)軌的變形誤差,此導(dǎo)軌上四列滾珠的接觸變形均會直接受其影響,如圖3所示。導(dǎo)軌垂直變形誤差對于上下兩側(cè)滾珠接觸變形的影響相反,而水平誤差變形則對左右兩側(cè)滾珠接觸變形的影響相反。導(dǎo)軌兩側(cè)滾珠相反的接觸變形影響會抵消部分變形誤差引起的接觸力變化,庫侖摩擦力波動相對減少。對于滾道輪廓誤差而言,它只會直接影響本列滾珠的接觸變形,不存在多列滾珠的均化作用,庫侖摩擦力的波動更大。

2.3 雙導(dǎo)軌四滑塊系統(tǒng)庫侖摩擦力均化系數(shù)分析

當僅導(dǎo)軌1存在水平變形誤差時不同ndh_1下雙導(dǎo)軌四滑塊系統(tǒng)的庫侖摩擦力均化系數(shù)δ如圖7所示。對于短波長的導(dǎo)軌水平變形誤差,δ存在明顯的周期性與對稱性,且當ndh_1=1.5、2.5、3.5…時,δ取得最大值。對于中波長的導(dǎo)軌水平變形誤差,當ndh_1取0.93、0.94、0.96、0.97時,δ的值會明顯大于其它波數(shù)。與單滑塊的情況類似,當ndh_1取值為0.2～0.4,0.6～0.8時,δ值一直維持在一個較低水平,將導(dǎo)軌安裝孔距設(shè)計為2.5Lb～5Lb可有效減少庫侖摩擦力波動。對于長波長的導(dǎo)軌水平變形誤差,在計算范圍內(nèi),δ隨ndh_1的變化呈現(xiàn)近似的對稱性,當ndh_1為0.037、0.066時,δ取得較大值。

圖7 導(dǎo)軌1水平變形誤差下雙軌四滑塊系統(tǒng)的δ

當僅導(dǎo)軌1存在垂直變形誤差時,δ變化規(guī)律與僅存在水平變形誤差時相同,如圖8所示。

圖8 導(dǎo)軌1垂直變形誤差下雙軌四滑塊系統(tǒng)的δ

當僅導(dǎo)軌滾道11存在輪廓誤差時,不同np_11下雙軌四滑塊系統(tǒng)的庫侖摩擦力均化系數(shù)δ如圖9所示。對于短波長的滾道輪廓誤差,δ也存在明顯隨np_11變化的周期性和對稱性,且當np_11為整數(shù)1、2、3…時,δ取得最大值。對于中波長的滾道輪廓誤差,當np_11=1時,δ取得最大值,且在除np_11=0.95～1外的其它波數(shù)下,δ接近于0。對于長波長的滾道輪廓誤差,滾道輪廓誤差在np_11=0.017、0.05、0.08時取得最小值0,在np_11=0.031時取得最大值。

圖9 導(dǎo)軌滾道11輪廓誤差下雙軌四滑塊系統(tǒng)的δ

對比圖7和圖9可知,在滾道輪廓誤差下δ比導(dǎo)軌變形誤差下的大一個數(shù)量級,表明單一軌道輪廓誤差對雙軌四滑塊系統(tǒng)庫侖摩擦力波動的影響更大。與單滑塊的情況類似,導(dǎo)軌滾道對變形誤差的均化作用削弱了導(dǎo)軌系統(tǒng)庫侖摩擦力的波動,而單滾道的輪廓誤差則不存在這個均化作用,故庫侖摩擦力波動更大。

2.4 庫侖摩擦力均化系數(shù)影響因素分析

由前文可知,單滑塊系統(tǒng)和雙軌四滑塊系統(tǒng)的庫侖摩擦力均化系數(shù)δ存在相似的變化規(guī)律,且單滾道輪廓誤差對δ的影響大于變形誤差。因此,對滾道輪廓誤差下單滑塊系統(tǒng)δ的影響因素的研究具有良好的代表性,下文分別討論此情形下幾何誤差幅值、預(yù)緊量對δ的影響。

當滾道輪廓誤差幅值Ep_11為2.5 μm,其它參數(shù)相同時,導(dǎo)軌滾珠預(yù)緊量ε0為3 μm、5 μm和7 μm時δ的變化如圖10所示。當滾珠預(yù)緊量ε0為5 μm,輪廓誤差幅值Ep_11為2 μm、2.5 μm和3 μm時δ的變化如圖11所示。對比兩圖可知,對于不同波長系列下的滾道輪廓誤差,改變滾珠的預(yù)緊量或幾何誤差幅值均不會改變δ隨np_11變化的趨勢,且在相同波數(shù)下,δ隨幾何誤差幅值的增加而增加,隨預(yù)緊量的增加而減少。

圖10 預(yù)緊量對δ的影響(導(dǎo)軌滾道輪廓誤差)

圖11 幾何誤差幅值對δ的影響(導(dǎo)軌滾道輪廓誤差)

以np_11=1為例,具體分析幾何誤差幅值Ep、滾珠預(yù)緊量ε0和庫侖摩擦力均化系數(shù)δ的關(guān)系。由圖10可知,當Ep_11=2.5 μm,ε0分別為3 μm、5 μm、7 μm時,δ分別為0.300、0.186、0.132。由圖11可知,當ε0=5 μm,Ep分別為2 μm、2.5 μm、3 μm時,δ分別為0.147、0.186、0.218。對于以上兩組數(shù)據(jù),當np_11=1時,δ與Ep/ε0的比值均在0.36附近。對于其它組數(shù)據(jù),當幾何誤差波數(shù)np_11確定時,排除部分異常值,δ與Ep/ε0的比值也是一個確定值。因此,當np_11一定時,可認為δ與Ep/ε0成正比,即δ=Kf_gEp/ε0,其中Kf_g為比例系數(shù),與幾何誤差波數(shù)相關(guān)。在確定幾何誤差和滾珠預(yù)緊量的條件下,可據(jù)此預(yù)測系統(tǒng)庫侖摩擦力的波動大小。同時,此關(guān)系表明了在應(yīng)力允許的情況下,選擇更大的預(yù)緊量可有效減少庫侖摩擦力的波動。

3 結(jié)論

本文基于Hertz接觸理論,對3種幾何誤差下滾珠直線導(dǎo)軌系統(tǒng)的庫侖摩擦力進行了建模分析,構(gòu)建了雙軌四滑塊、單滑塊和單列滾珠間的誤差運動映射關(guān)系及力學平衡方程,定義了表征庫侖摩擦力波動的均化系數(shù),建立了新的庫侖摩擦力分析模型。經(jīng)過分析,得出以下結(jié)論:

(1)對于導(dǎo)軌滑塊系統(tǒng),單一滾道的輪廓誤差對庫侖摩擦力的影響要遠大于導(dǎo)軌變形誤差。在導(dǎo)軌設(shè)計、制造時應(yīng)優(yōu)先保證滾道表面質(zhì)量的均勻性與一致性。

(2)當幾何誤差波數(shù)一定時,庫侖摩擦力均化系數(shù)與幾何誤差幅值和預(yù)緊量的比值Ep/ε0成正比。在導(dǎo)軌應(yīng)力允許的條件下,選擇更大的滾珠預(yù)緊量可以有效減少系統(tǒng)庫侖摩擦力的波動。

(3)當導(dǎo)軌變形幾何誤差波數(shù)ndv_1(或ndh_1)為0.2～0.4,0.6～0.8時,庫侖摩擦力均化系數(shù)處于較低水平。根據(jù)實際情況,將導(dǎo)軌安裝孔距設(shè)計為2.5Lb～5Lb可有效減少庫侖摩擦力波動。

(4)對于雙導(dǎo)軌四滑塊系統(tǒng),其庫侖摩擦力均化系數(shù)受導(dǎo)軌變形誤差波數(shù)的影響規(guī)律與單滑塊類似:當波數(shù)ndv_1(或ndh_1)位于0.2～0.4,0.6～0.8之間時,庫侖摩擦力波動較小。