具有未知參數(shù)的驅(qū)動-響應(yīng)混沌系統(tǒng)的函數(shù)投影同步

郭曉永，郭念

（1.河南工程學(xué)院理學(xué)院，鄭州451191；2.河南大學(xué)軟件學(xué)院，河南開封475004）

具有未知參數(shù)的驅(qū)動-響應(yīng)混沌系統(tǒng)的函數(shù)投影同步

郭曉永1，郭念2

（1.河南工程學(xué)院理學(xué)院，鄭州451191；2.河南大學(xué)軟件學(xué)院，河南開封475004）

研究了一類具有未知參數(shù)的驅(qū)動-響應(yīng)混沌系統(tǒng)的函數(shù)投影同步問題，通過設(shè)計非線性反饋控制器和相應(yīng)的自適應(yīng)律得到了該驅(qū)動-響應(yīng)混沌系統(tǒng)實現(xiàn)函數(shù)投影同步的充分條件，并通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)證明了該充分條件的正確性。模擬仿真的結(jié)果證實了該方法的有效性。

混沌系統(tǒng)；未知參數(shù)；函數(shù)投影同步；自適應(yīng)控制

自從Louis M.Pecora和Thomas L.Carroll提出混沌系統(tǒng)同步理論［1］以來，國內(nèi)外學(xué)者掀起了研究混沌同步的熱潮，并將混沌同步用于物理、密碼設(shè)計、非線性系統(tǒng)辨識、生物信息等領(lǐng)域，這些研究包括完全同步［1］、相同步［2］和投影同步［3］等內(nèi)容。YAN Jianping和LIChangpin將廣義投影同步應(yīng)用于一類混沌系統(tǒng)［4］。LIGuohui提出了兩個相同系統(tǒng)在常數(shù)比例矩陣下的修正投影同步［5］。CHEN Yong和LIXin將兩個相同混沌系統(tǒng)的修正投影同步推廣到函數(shù)投影同步［6］。TANG Xinhua，LU Jun'an和ZHANG Weiwei將混沌系統(tǒng)的廣義投影同步中的常數(shù)比例因子替換為函數(shù)比例因子，并得到了驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)的函數(shù)投影同步模型［7］。DU Hongyue，ZENG Qingshuang和WANG Changhong研究了一類參數(shù)不確定的混沌系統(tǒng)的函數(shù)投影同步［8］。之后，函數(shù)投影同步被許多學(xué)者運用于各種各樣的系統(tǒng)模型中［9-14］。

在文獻［10，15-16］的基礎(chǔ)上，我們研究了一類具有未知參數(shù)的驅(qū)動-響應(yīng)混沌系統(tǒng)，運用Lyapunov穩(wěn)定性理論，設(shè)計了非線性控制器及參數(shù)自適應(yīng)律，使得驅(qū)動系統(tǒng)與受控響應(yīng)系統(tǒng)達到了函數(shù)投影同步，并給出了實現(xiàn)同步的充分條件。

1 問題描述

考慮如下驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)：

根據(jù)同步誤差的定義，驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)的誤差系統(tǒng)為

2 函數(shù)投影同步分析

將Lorenz系統(tǒng)［15］

作為驅(qū)動系統(tǒng)，其中，x、y、z、w為狀態(tài)變量，a、b、c、d為未知參數(shù)。將受控系統(tǒng)［16］

作為響應(yīng)系統(tǒng)，其中，x1、y1、z1、w1為狀態(tài)變量，a1、b1為未知參數(shù)，u1、u2、u3、u4為待設(shè)計非線性控制律。

3 數(shù)值仿真

圖1 同步誤差ei（t）（i=1，2，3，4）的時間演化

圖2 參數(shù)估計?、?、?和?的時間演化

圖3 參數(shù)估計和的時間演化

4 結(jié)論

我們研究了一類驅(qū)動-響應(yīng)混沌系統(tǒng)，該驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)均含有未知參數(shù)，對響應(yīng)系統(tǒng)施加了非線性控制，并研究了該系統(tǒng)的函數(shù)投影同步問題，得到實現(xiàn)驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)同步的充分條件。模擬仿真的結(jié)果證明了該控制算法的有效性。

［1］PECORA L M，CARROL T L.Synchronization in Chaotic Systems［J］.Physical Review Letters，1990，64（8）：821-824.

［2］王興元.復(fù)雜非線性系統(tǒng)中的混沌［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2003：12.

［3］MAINIERIR，REHACEK J.Projective Synchronization in Three-dimensional Chaotic Systems［J］.Physical Review Letters，1999，82（15）：3042-3045.

［4］YAN J P，LIC P.Generalized Projective Synchronization of a Unified Chaotic System［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2005，26（4）：1119-1124.

［5］LIGH.Modified Projective Synchronization of Chaotic System［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2007，32（5）：1786-1790.

［6］CHEN Y，LI X.Function Projective Synchronization Between Two Identical Chaotic Systems［J］.International Journal of Modern Physics C，2007，18（5）：883-888.

［7］TANG X H，LU J A，ZHANG W W.The Function ProjectiveSynchronizationofChaoticSystemUsing Backstepping Design［J］.Journal of Dynimics and Control，2007，5（3）：216-219.

［8］DU H Y，ZENG Q S，C.WANG C H.Function Projective SynchronizationofDifferentChaoticSystemswith Uncertain Parameters［J］.Physics Letters A，2008，372（33）：5402-5410.

［9］DU H Y，ZENG Q S，WANG C H.Modified Function Projective Synchronization of Chaotic System［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2009，42（4）：2399-2404.

［10］魯翠仙，郭曉永.具有耦合時滯的時變復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)投影同步［J］.新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報，2014（2）：1-4.

［11］LI J F，LIN.ModifiedFunctionProjective Synchronization of a Class of Chaotic Systems［J］.Acta Physica Sinica，2011，60（8）：080507-1.

［12］FU G.Robust Adaptive Modified Function Projective Synchronization of Different Hyperchaotic Systems Subject to External Disturbance［J］.Communications in Nonlinear Science andNumericalSimulation，2012，17（6）：2602-2608.

［13］WANG J A，LIU H P.Adaptive Modified Function ProjectiveSynchronizationofDifferentHyperchaotic Systems［J］.Acta Physica Sinica，2010，59（4）：2265-2271.

［14］LIAOTL，LINSH.AdaptiveControland Synchronization of Lorenz Systems［J］.Journal of the FranklinInstitute（Engineering and Applied Mathematics），1999，336（6）：925-937.

［15］CHEN A M，LU J h，LYU J H，etal.Generating Hyperchaotic Lü Attractor Via State Feedback Control［J］. Physica A：Statistical Mechanics and its Applications，2006，364：103-110.

［16］WANG X，WANG M.A Hyperchaos Generated from Lorenz System［J］.Physica A：Statistical Mechanics and its Applications，2008，387（14）：3751-3758.

【責(zé)任編輯 王云鵬】

Function Projective Synchronization of Drive-response Chaotic Systems with Unknown Parameters

GUO Xiaoyong1，GUO Nian2
（1.College of Science，Henan University of Engineering，Zhengzhou 451191，China；
2.College of Software，Henan University，Kaifeng 475004，China）

A function projective synchronization of drive-response chaotic systems with unknown parameters was investigated.The nonlinear feedback controllers and the corresponding adaptive laws were designed to obtain the sufficient condition for the function projective synchronization.The correctness of sufficient condition was proved by the constructed Lyapunov function.Finally，the effectiveness of the scheme was verified through numerical simulations.

chaotic systems；unknown parameters；function projective synchronization；adaptive control

O231

A

2095-7726（2015）12-0007-03

2015-08-28

河南工程學(xué)院博士基金資助項目（D2015003）

郭曉永（1975-），男，河南鎮(zhèn)平人，教授，博士，研究方向：控制理論。