基于代數(shù)模型的機(jī)電作動(dòng)器Vague動(dòng)態(tài)故障樹分析

王劍，曹宇燕，李婷，謝蓉，王新民

（西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，陜西西安 710072）

基于代數(shù)模型的機(jī)電作動(dòng)器Vague動(dòng)態(tài)故障樹分析

王劍，曹宇燕，李婷，謝蓉，王新民

（西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，陜西西安 710072）

結(jié)合Vague集理論和動(dòng)態(tài)故障樹分析方法，提出一種基于代數(shù)模型求解的Vague動(dòng)態(tài)故障樹的機(jī)電作動(dòng)器可靠性分析方法。定義了動(dòng)態(tài)故障樹的時(shí)間算子，給出了動(dòng)態(tài)邏輯門的代數(shù)模型，推導(dǎo)了運(yùn)算律的證明；為了規(guī)范動(dòng)態(tài)故障樹頂事件的結(jié)構(gòu)函數(shù)，給出了最小割序集的規(guī)范化算法。底事件使用三角形Vague集可靠性數(shù)據(jù)充分考慮底事件概率水平的不確定性；用代數(shù)模型對(duì)動(dòng)態(tài)故障樹進(jìn)行建模，具有通用性，考慮了故障發(fā)生的時(shí)序性更符合機(jī)電作動(dòng)器的原理。將代數(shù)模型表達(dá)分解為靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩部分分別進(jìn)行分析，降低了計(jì)算量。分析結(jié)果表明了該方法可以有效地對(duì)機(jī)電作動(dòng)器進(jìn)行可靠性分析，為故障定位提供思路，更具靈活性。

機(jī)電作動(dòng)器；Vague集；動(dòng)態(tài)故障樹；代數(shù)模型；可靠性

為了配合全電飛機(jī)的發(fā)展，飛機(jī)的作動(dòng)系統(tǒng)由功率液傳向功率電傳發(fā)展。機(jī)電作動(dòng)器（electromechanical actuator，EMA）是功率電傳作動(dòng)系統(tǒng)的典型作動(dòng)器之一，它有重量輕、易維護(hù)、適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。作動(dòng)器是作動(dòng)系統(tǒng)的關(guān)鍵部件，由于EMA是航空領(lǐng)域的一種新型作動(dòng)器，其故障診斷方法和故障數(shù)據(jù)還較少，EMA目前多用于輔助舵面的驅(qū)動(dòng)。因此，對(duì)EMA展開可靠性分析的研究將對(duì)其在飛控領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用有重要意義。

目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)EMA的故障診斷算法的研究還比較少。文獻(xiàn)［1］使用貝葉斯分類器對(duì)EMA進(jìn)行故障檢測(cè)和診斷。文獻(xiàn)［2］用主元分析法來(lái)提取EMA中電機(jī)軸承故障特征。文獻(xiàn)［3］改進(jìn)了集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸馑惴?，?duì)直驅(qū)式EMA振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行處理，提取相應(yīng)的故障特征，準(zhǔn)確診斷復(fù)合故障。

故障樹分析（fault tree analysis，F(xiàn)TA）是一種快速靈活的可靠性分析方法。傳統(tǒng)故障樹僅有正常、失效2種狀態(tài)，而實(shí)際系統(tǒng)常伴隨著與順序相關(guān)的動(dòng)態(tài)特性，Dugan等［4］提出了動(dòng)態(tài)故障樹分析方法（Dynamic FTA，DFTA），并引入了Markov過(guò)程和Markov鏈，用Markov模型求解故障樹。Boudali等［5］提出基于離散時(shí)間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)故障樹分析方法，利用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理對(duì)故障樹進(jìn)行概率和重要度分析。Merle等［6］利用代數(shù)模型工具對(duì)動(dòng)態(tài)故障樹定性分析進(jìn)行了嘗試，給出了動(dòng)態(tài)故障樹的代數(shù)表達(dá)式。

本文將動(dòng)態(tài)故障樹分析法應(yīng)用于EMA上，結(jié)合Vague集理論，建立了EMA的Vague動(dòng)態(tài)故障樹。首先給出了Vague故障樹分析公式；然后推導(dǎo)了動(dòng)態(tài)邏輯門的代數(shù)模型，提供了常用的運(yùn)算律；接著建立了EMA的動(dòng)態(tài)故障樹，并用三角形Vauge集對(duì)事件的可靠性進(jìn)行描述。最后給出了可靠性分析結(jié)果，證明基于代數(shù)模型的Vague動(dòng)態(tài)故障樹能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)EMA的可靠性分析。

1　Vague故障樹分析

本文將Vague集的概念引入到EMA的可靠性分析中，Vague集的定義為：

故障樹分析中，最后所有的邏輯門均化為與門和或門的組合形式，與門和或門的模糊算子為（2）式和（3）式所示。

式中，qi為事件i發(fā)生的概率，m，n分別為與門和或門事件的個(gè)數(shù)。本文中采用三角形Vague集來(lái)描述底事件發(fā)生的概率，如圖1所示為三角形Vague集A=＜［（a′，b，c′）；t］，［（a，b，c）；1-f］＞。

圖1　三角形Vague集

三角形Vauge集的與門和或門模糊計(jì)算分別表示為

底事件Xi的模糊重要度反映了其對(duì)頂事件的影響程度，其計(jì)算公式為

其中，頂事件的Vague信息為

Vague故障樹中刪除底事件Xi后頂事件的Vague信息為

2　動(dòng)態(tài)故障樹的代數(shù)模型表達(dá)

本文采用基于代數(shù)模型的動(dòng)態(tài)樹分析方法，引入時(shí)間算子［6］，能充分表達(dá)故障發(fā)生的順序特性，給出了動(dòng)態(tài)邏輯門的通用代數(shù)表達(dá)，有利于動(dòng)態(tài)故障樹的統(tǒng)一表示，方便求解。

2.1算子定義及邏輯門的代數(shù)模型

常規(guī)的靜態(tài)故障樹的邏輯門不能體現(xiàn)系統(tǒng)中的順序相關(guān)性問(wèn)題，動(dòng)態(tài)故障樹引入一系列帶有時(shí)序性的邏輯門，能充分表達(dá)故障發(fā)生的順序關(guān)系。

定義2 失效時(shí)刻：假設(shè)所有事件都是不可修復(fù)的，定義事件X失效的時(shí)刻為t（X），失效時(shí)刻是表征事件動(dòng)態(tài)特征的唯一特征量。

定義3 時(shí)序算子?：事件X1與事件X2同時(shí)發(fā)生時(shí)，用X1?X2表示。

定義4 時(shí)序算子?：當(dāng)事件X1發(fā)生于事件X2之前時(shí)，用X1?X2表示這一組嚴(yán)格不包含的時(shí)間順序的邏輯。

定義5 時(shí)序算子?：當(dāng)事件X1發(fā)生于事件X2之前時(shí)，用X1?X2表示這一組可以包含的時(shí)間順序的邏輯。

分別用“+”和“·”表示“或”和“與”邏輯。假設(shè)有n個(gè)輸入事件X1，X2，…，Xn，則

動(dòng)態(tài)邏輯門主要包括優(yōu)先與門（priority-and，PAND）、功能相關(guān)門（functional dependency gate，F(xiàn)DEP）、順序相關(guān)門（sequence enforcing gate，SEQ）和備件門（spare，SP）這4種，具體的功能和失效機(jī)理詳見文獻(xiàn)［4］。

設(shè)PAND有兩個(gè)輸入事件X1和X2，則

對(duì)于一個(gè)FDEP，設(shè)觸發(fā)事件為X，n個(gè)相關(guān)事件X1，X2，…，Xn，則

備件按照失效機(jī)理不同分為冷備件（cold spare，CSP）、溫備件（warm spare，WSP）和熱備件（hot spare，HSP）3種。設(shè)X1，X2，…，Xn為X的n個(gè)備件，Xia表示配件Xi處于激活狀態(tài)下的失效事件，Xid表示配件Xi處于休眠狀態(tài)下的失效事件則

溫備件門不同于冷備件門的是備件在進(jìn)入工作狀態(tài)之前就有可能失效，其失效順序有（n+1）！種，則

熱備件門的基本輸入和備件同時(shí)處于工作狀態(tài)，則

由于順序相關(guān)門可以看成是冷備件門的一種特殊形式，所以本文不重復(fù)推導(dǎo)順序相關(guān)門的代數(shù)邏輯。

2.2運(yùn)算律推導(dǎo)

本節(jié)將討論上節(jié)介紹的幾種算子的運(yùn)算規(guī)則，假設(shè)X、Y和Z為三基本事件，下文將分別討論其是否符合冪等律、交換律、結(jié)合律和分配律，并推導(dǎo)一些化簡(jiǎn)公式。

表1　不同算子所滿足的運(yùn)算律情況

對(duì)于“與”、“或”邏輯的運(yùn)算律推導(dǎo)已經(jīng)非常成熟，因此僅對(duì)時(shí)序算子“?”做推導(dǎo)，余下的運(yùn)算律可以分情況一一證明。

證明：“?”不滿足冪等律：由算子“?”的定義可知，對(duì)于任意非空事件，如果t（X）=t（Y），那么X?Y=?。因此，X?X≠X，算子“?”不滿足冪等律。

“?”不滿足結(jié)合律：若t（X）=t（Y）＞t（Z），則t（（X?Y）?Z）=∞，t（X?（Y?Z））=t（X），（X?Y）?Z≠X?（Y?Z），算子“?”不滿足結(jié)合律。

“·”對(duì)于“+”滿足分配律，同時(shí)“+”對(duì)于“·”也滿足分配律。而時(shí)序算子中，“?”和“?”對(duì)于“+”、“·”和“?”滿足右分配律?，F(xiàn)給出“?”對(duì)于“?”的推導(dǎo)過(guò)程。

2.3結(jié)構(gòu)函數(shù)的規(guī)范化

動(dòng)態(tài)故障樹中系統(tǒng)的失效不僅與基本事件的邏輯組合有關(guān)，還與基本事件的發(fā)生順序有關(guān)。通過(guò)對(duì)動(dòng)態(tài)故障樹頂事件的結(jié)構(gòu)函數(shù)進(jìn)行規(guī)范化處理，獲得最小割序集（minimal cut sequence Set，CSS）能夠有效的進(jìn)行故障分析。

動(dòng)態(tài)故障樹的頂事件結(jié)構(gòu)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式可以表示為

式中，CSSi為一個(gè)割序集。如果CSSi滿足

則說(shuō)明該割序集冗余，動(dòng)態(tài)故障樹的頂事件結(jié)構(gòu)函數(shù)不是規(guī)范化形式。

動(dòng)態(tài)故障樹結(jié)構(gòu)函數(shù)規(guī)范化的算法流程圖如圖2所示，其中割序集的個(gè)數(shù)為n，輸入為頂事件的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)函數(shù)，輸出為其標(biāo)準(zhǔn)形式。

圖2　結(jié)構(gòu)函數(shù)規(guī)范化的算法流程圖

3　基于代數(shù)模型的EMA Vague動(dòng)態(tài)故障樹分析

3.1基于代數(shù)模型的Vague動(dòng)態(tài)故障樹分析步驟

借鑒傳統(tǒng)的故障樹分析方法，基于代數(shù)模型的Vague動(dòng)態(tài)故障樹的分析步驟如下：

1）確定頂事件，根據(jù)故障發(fā)生原理選擇中間事件和底事件，使用邏輯門構(gòu)造動(dòng)態(tài)故障樹；

2）通過(guò)可靠性手冊(cè)、專家經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)等獲得各底事件的Vague集可靠性數(shù)據(jù)；

3）從故障樹的頂部開始，將邏輯門替換成算子，建立故障樹的代數(shù)模型；

4）按照代數(shù)模型的運(yùn)算律和化簡(jiǎn)原則，得到故障樹的規(guī)范形式；

5）將故障樹分為靜態(tài)部分和動(dòng)態(tài)部分，根據(jù)Vague模糊運(yùn)算得到靜態(tài)部分的模糊可靠性數(shù)據(jù)，根據(jù)代數(shù)模型得到動(dòng)態(tài)部分的失效概率函數(shù)。

6）將靜、動(dòng)態(tài)部分結(jié)合，分析系統(tǒng)的可靠性。

3.2EMA結(jié)構(gòu)及工作原理

EMA由可雙向調(diào)速的伺服電機(jī)、控制單元和機(jī)械減速裝置組成，其結(jié)構(gòu)原理圖如圖3所示?？刂茊卧ㄟ^(guò)相電流關(guān)系控制電機(jī)的轉(zhuǎn)速，然后由機(jī)械減速裝置將高速低轉(zhuǎn)矩的電機(jī)輸出轉(zhuǎn)換成低速大轉(zhuǎn)矩的轉(zhuǎn)動(dòng)輸出到舵面。

圖3　EMA的結(jié)構(gòu)框圖

3.3Vague動(dòng)態(tài)故障樹分析

基于EMA的結(jié)構(gòu)及原理，建立如圖4所示以EMA失效為頂事件T的動(dòng)態(tài)故障樹，各個(gè)中間事件的描述見表2。EMA系統(tǒng)是由機(jī)、電各子系統(tǒng)組成的復(fù)雜系統(tǒng)，各零部件由于磨損、疲勞和老化等因素導(dǎo)致了故障特征具有一定的模糊性，底事件的Vague集可靠性數(shù)據(jù)能充分考慮底事件概率水平的不確定性，詳見表3。

圖4　EMA的動(dòng)態(tài)故障樹

表2　中間事件描述

表3　底事件的描述及可靠性數(shù)據(jù)

根據(jù)圖4，得到EMA的動(dòng)態(tài)故障樹頂事件的代數(shù)表達(dá)式

式中，靜態(tài)部分已為系統(tǒng)的最小割集形式，最小割集為｛X1｝、｛X2｝、｛X8｝、｛X9｝和｛X10，X11｝。

將（21）式中動(dòng)態(tài)部分提出，記為TD，則

根據(jù)化簡(jiǎn)規(guī)則，（22）式可化簡(jiǎn)為

則系統(tǒng)靜態(tài)部分TS為

系統(tǒng)的最小割集可以擴(kuò)展為｛X1｝、｛X2｝、｛X5｝、｛X6｝、｛X7｝、｛X8｝、｛X9｝和｛X10，X11｝。

根據(jù)（4）式和（5）式，求得失效時(shí)間為10 000 h下靜態(tài)部分和事件的可靠性數(shù)據(jù)為

根據(jù)（6）式求得各底事件的模糊重要度，排序?yàn)?/p>

知底事件X2對(duì)靜態(tài)部分頂事件的影響程度最大，排查故障時(shí)可優(yōu)先考慮｛X2，X4·（X3?X4）｝這一割序集。

系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)部分TD變?yōu)?/p>

根據(jù)割序集冗余判斷準(zhǔn)則，知?jiǎng)討B(tài)部分不冗余，為最小割序集結(jié)構(gòu)，根據(jù)代數(shù)表達(dá)計(jì)算其失效概率。

式中，I為示性函數(shù)，定義為

其期望定義為

由全期望公式可將（26）式繼續(xù)化簡(jiǎn)

若λ3=λ4，則

圖5　動(dòng)態(tài)部分的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

如圖5為動(dòng)態(tài)部分的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，狀態(tài)3是故障狀態(tài)，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣分別為Q。

則Markov模型的狀態(tài)概率可以通過(guò)求解系統(tǒng)微分方程組得到

經(jīng)過(guò)計(jì)算，用Markov模型求得的失效概率表達(dá)式與用代數(shù)模型求解的結(jié)果（（30）式）相同。

將動(dòng)態(tài)部分提取出來(lái)求解，避免了整體求解的巨大運(yùn)算量。同時(shí)使用代數(shù)模型，具有統(tǒng)一的代數(shù)表達(dá)，用代數(shù)求解避免了Markov求解高階微分方程組的運(yùn)算量爆炸問(wèn)題。

根據(jù)（26）式和（31）式，結(jié)合Vague運(yùn)算（5）式，得到在不同截集水平下的系統(tǒng)模糊失效概率，分布如圖6所示。由圖可以看出，給定不同的隸屬度，由于系統(tǒng)靜態(tài)部分和動(dòng)態(tài)部分的Vague度的差異，導(dǎo)致系統(tǒng)失效概率在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，刻畫出了底事件的不確定性對(duì)頂事件的影響，同時(shí)也可以看出使用Vague集故障樹得到的結(jié)果差距更小。

圖6　系統(tǒng)的模糊失效概率的隸屬函數(shù)（t=10 000 h）

4　結(jié) 論

基于新型機(jī)電作動(dòng)器，本文提出了一種基于代數(shù)模型求解的Vague動(dòng)態(tài)故障樹EMA可靠性分析方法。結(jié)合Vague集理論描述了EMA系統(tǒng)失效行為隨機(jī)性和不確定性，允許一定程度的誤差。用代數(shù)模型求解系統(tǒng)動(dòng)態(tài)部分的失效概率，具有一定的通用性，避免了Markov方法求解高階微分方程組的復(fù)雜性。將EMA故障樹分解為靜態(tài)和動(dòng)態(tài)部分，緩解了整體求解的計(jì)算量大的問(wèn)題。分析結(jié)果表明算法驗(yàn)證了算法的有效性和靈活性，為機(jī)電作動(dòng)器的提供了有效的故障定位思路。

［1］ Chirico A J，Kolodziej J R.A Data-Driven Methodology for Fault Detection in Electromechanical Actuators［J］.Journal of Dynamic Systems，Measurement，and Control，2014，136（4）：041025

［2］ Sridhar R，Kolodziej J R，Hall L.Bearing Fault Detection in Electromechanical Actuators from Empirically Extracted Features ［C］∥AIAA Atmospheric Flight Mechanics（AFM）Conference，2013

［3］ 王占林，劉俊，付永領(lǐng)，等.基于EEMD分解的直驅(qū)式機(jī)電作動(dòng)器故障診斷［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，38 （12）：1567-1571

Wang Zhanlin，Liu Jun，F(xiàn)u Yongling，et al.Fault Diagnosis of Direct-Driven Electromechanical Actuator Based on Ensemble Empirical Mode Decomposition［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2012，38（12）：1567-1571 （in Chinese）

［4］ Bechta Dugan J，Bavuso S J，Boyd M A.Dynamic Fault-Tree Models for Fault-Tolerant Computer Systems［J］.IEEE Trans on Reliability，1992，41（3）：363-377

［5］ Boudali H，Dugan J B.A Discrete-Time Bayesian Network Reliability Modeling and Analysis Framework［J］.Reliability Engineering&System Safety，2005，87（3）：337-349

［6］ Merle G，Roussel J M，Lesage J J.Algebraic Determination of the Structure Function of Dynamic Fault Trees［J］.Reliability Engineering&System Safety，2011，96（2）：267-277

［7］ Gau W L，Buehrer D J.Vague Sets［J］.IEEE Trans on Systems，Man，and Cybernetics，1993，23（2）：610-614

［8］ Pandey D，Sharma M K.Vague Set Theoretic Approach to Fault Tree Analysis［J］.Journal of International Academy of Physical Sciences，2010，14（1）：1-14

［9］ Ni J，Tang W，Xing Y.A Simple Algebra for Fault Tree Analysis of Static and Dynamic Systems［J］.IEEE Trans on Reliability，2013，62（4）：846-861

［10］黃洪鐘，李彥鋒，孫健，等.太陽(yáng)翼驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的模糊動(dòng)態(tài)故障樹分析［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2013，49（19）：70-76

Huang Hongzhong，Li Yanfeng，Sun Jian，et al.Fuzzy Dynamic Fault Tree Analysis for the Solar Array Drive Assembly［J］. Journal of Mechanical Engineering，2013，49（19）：70-76（in Chinese）

A Method for Analyzing Vague Dynamic Fault Tree of Electro-Mechanical Actuator Based on Algebraic Model

Wang Jian，Cao Yuyan，Li Ting，Xie Rong，Wang Xinmin
（Department of Automatic Control，Northwestern Polytechnical University，Xi′an 710072，China）

We define the time operator of the vague dynamic fault tree，give the algebraic models of dynamic gates and prove the operational laws.To standardize the structural function of the top event of the dynamic fault tree，we work out the algorithm for standardizing the minimal cut sequence set.The reliability data of triangle vague sets are used for bottom events by taking into full consideration the uncertainty of probability level of the bottom events.An algebraic model is used to establish the model of the dynamic fault tree.In our opinion，the time sequence of faults agrees well with the working principles of the electro-mechanical actuator.The algebraic model is broken down into static and dynamic parts for analysis，thus reducing the computational complexity.The analysis results show that the method is flexible and can effectively analyze the reliability of the electro-mechanical actuator，thus shedding light on fault location.

electro-mechanical actuator，vague set，dynamic fault tree，algebraic model，fault tree analysis，fault detection，algorithms，computational complexity，efficiency，fault tolerance，mathematical models，mathematical operators，membership functions，Markov process，probability，reliability，reliability analysis，schematic diagram，time series，uncertainty analysis

TB114.3

A

1000-2758（2015）06-0977-07

2015-04-23

陜西省自然科學(xué)基金（2014JQ8342）與航空科學(xué)基金（20152853029）資助

王劍（1980—），西北工業(yè)大學(xué)博士研究生，主要從事故障診斷方法研究。