導(dǎo)體電磁散射問題的H2矩陣快速求解算法

黃曉菁（南京郵電大學(xué)　電子科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇　南京　210003）

導(dǎo)體電磁散射問題的H2矩陣快速求解算法

黃曉菁
（南京郵電大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇南京210003）

根據(jù)理想導(dǎo)體的邊界條件建立線、面連接結(jié)構(gòu)的電場(chǎng)積分方程。該積分方程運(yùn)用矩量法直接進(jìn)行計(jì)算時(shí)，隨著電尺寸增大，計(jì)算量和存儲(chǔ)量就會(huì)迅速增加，進(jìn)而降低了求解的效率。為了降低計(jì)算量和存儲(chǔ)量，運(yùn)用H2矩陣方法的可容許條件將阻抗矩陣元素劃分為遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)的矩陣塊和近區(qū)場(chǎng)的矩陣塊。近區(qū)場(chǎng)的矩陣塊直接用矩量法計(jì)算并進(jìn)行存儲(chǔ)，遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)的矩陣塊通過H2矩陣的層間插值的方法進(jìn)行處理并存儲(chǔ)，從而有效地降低了計(jì)算量和存儲(chǔ)量。

MoM；H2矩陣；電場(chǎng)積分方程

0　引言

實(shí)際工程問題中，常常遇到線天線與平臺(tái)相連的情況（例如飛機(jī)、輪船、手機(jī)上的天線等），于是求解這類的電場(chǎng)積分方程問題具有非常重要的意義。

可是運(yùn)用矩量法（MoM）［1］直接求解計(jì)算該積分方程時(shí)，隨著目標(biāo)電尺寸增大，計(jì)算量和存儲(chǔ)量就會(huì)迅速增加，進(jìn)而降低了求解的效率。隨著電磁數(shù)值計(jì)算的發(fā)展，陸續(xù)地提出了不少快速算法，例如FMM［2］、MLFMA［3］、CGFFT以及H-Matrix［4-5］等，雖然這些算法中最好的已經(jīng)能夠?qū)⒂?jì)算量和存儲(chǔ)量從最初的O（N2）和O（N3）的數(shù)量級(jí)降低到O（NlogN）的數(shù)量級(jí)，但是這并不是最理想的情況，當(dāng)未知量N繼續(xù)增大時(shí)，O（NlogN）的數(shù)量級(jí)還是很驚人的。于是本文通過結(jié)合H2-Matrix［6］算法實(shí)現(xiàn)將數(shù)量級(jí)降低到O（N）線性階的關(guān)系。

1　線面連接結(jié)構(gòu)的積分方程的構(gòu)建

空間中任意一點(diǎn)的散射電場(chǎng)Es（r）是由線面連接結(jié)構(gòu)的面電流密度Js（r）和線電流密度Jw（r）二者綜合作用產(chǎn)生的，表達(dá)式為：

理想導(dǎo)體表面的切向電場(chǎng)邊界條件為：

將式（1）代入式（2）得到：

2　H2矩陣求解積分方程

式（3）中的未知量Jγ（r）可以用一組線性不相關(guān)的基函數(shù)（r）展開，理想導(dǎo)體的表面部分選用RWG基函數(shù)［7］，導(dǎo)線部分選用三角基函數(shù)，而線-面連接點(diǎn)選用連接基函數(shù)［8］，然后運(yùn)用伽略金法得到矩陣形式ZI=V的積分方程如下：

對(duì)于式（4）中的阻抗矩陣Z中的元素運(yùn)用可容性條件［5］將其劃分為近區(qū)塊和遠(yuǎn)區(qū)塊。

近區(qū)塊中的阻抗矩陣元素是不可容的，直接采用矩量法進(jìn)行計(jì)算。

而對(duì)于遠(yuǎn)區(qū)塊中可容的阻抗矩陣元素運(yùn)用H2矩陣方法計(jì)算。遠(yuǎn)區(qū)塊的核函數(shù)-格林函數(shù)采用Lagrange多項(xiàng)式［9］進(jìn)行退化核處理。于是式（3）中的核函數(shù)G（r，r′）可以寫成如下形式：

其中，m∈t，n∈s，v∈Kt，u∈Ks。

Gt，s可以寫成

其中，Vt∈#t×2Kt，St，s∈2Ks×2Kt，Vs∈？s×2Ks

這就意味著只需要存儲(chǔ)葉子簇E矩陣Vt并且使用轉(zhuǎn)移矩陣E就可以精確地表示所有的簇樹，因?yàn)檗D(zhuǎn)移矩陣只需要k（t′）k（t）個(gè)存儲(chǔ)單元，而矩陣Vt需要tgk（t）個(gè)存儲(chǔ)單元，k（t）=t，因此H2矩陣的嵌套結(jié)構(gòu)有效節(jié)省了存儲(chǔ)量。從而使H2矩陣的計(jì)算量和存儲(chǔ)量近似達(dá)到線性階O（N）。

下面就運(yùn)用存儲(chǔ)量小、步收斂性、穩(wěn)定性高的共軛梯度迭代法［10-12］求解矩陣-向量方程，得出感應(yīng)電流。

3　數(shù)值算例

算例1為了驗(yàn)證矩量法結(jié)合H2矩陣方法的正確性，首先計(jì)算了頻率為300MHz的均勻平面波，它沿θ=0°，φ=0°入射到半徑為0.8λ的金屬球上，其中散射方向?yàn)棣?0°～180°，φ=0°。通過對(duì)兩種計(jì)算方法結(jié)果的比較（如圖1所示）可以判斷出H2矩陣方法的正確性。

算例2電磁波頻率f=300MHz，輻射方向?yàn)棣?0°～180°，φ=0°，激勵(lì)采用連接點(diǎn)饋電，分別計(jì)算了0.6λ～2.8λ，H2矩陣算法與MoM分別計(jì)算時(shí)存儲(chǔ)量隨未知量的變化，以及阻抗矩陣元素計(jì)算時(shí)間量隨未知量的變化，結(jié)果如圖2和圖3所示。從圖2、圖3可以看出，H2矩陣算法不管是阻抗矩陣元素的求解時(shí)間還是總的程序求解時(shí)間都明顯比MoM要少，并且可以看出H2矩陣算法的計(jì)算量隨未知量的變化近似呈線性階O（N）的增長(zhǎng)趨勢(shì)。

圖1　金屬球θθ極化雙站RCS

圖2　MoM與H2矩陣的矩陣生成時(shí)間對(duì)比曲線圖

圖3　MoM與H2矩陣總的求解時(shí)間隨未知量變化

圖4給出了H2矩陣算法與矩量法求解電場(chǎng)積方程所需存儲(chǔ)量隨未知量變化的曲線圖。由圖4可知，MoM計(jì)算時(shí)所需的存儲(chǔ)量隨著未知量的變化呈O（N2）的關(guān)系迅速增加，而H2矩陣所需的存儲(chǔ)量與未知量之間的關(guān)系呈線性階O（N）的變化趨勢(shì)。

圖4　MoM與H2矩陣存計(jì)算存儲(chǔ)量對(duì)比曲線圖

4　結(jié)論

本文采用H2矩陣算法計(jì)算電場(chǎng)積分方程，通過傳遞矩陣的嵌套方法能夠有效地將計(jì)算所需的存儲(chǔ)量和計(jì)算量近似降低到線性階O（N）。同時(shí)H2矩陣算法對(duì)模型并沒有具體的要求，可以推廣到求解任意導(dǎo)體線面結(jié)構(gòu)的模型。

［1］GIBSON W C.The method of moments in electromagnetics［M］.CRC Press，2007.

［2］CHENG H，GREENGARD L，ROKHLIN V.A fast adaptive multipole algorithm in three dimensions［J］.Journal of Computational Physics，1999，155（2）：468-498.

［3］ROKHLIN V.Rapid solution ofintegralequationsof scattering theory in two dimensions［J］.Journal of Computational Physics，1990，86（2）：414-439.

［4］HACKBUSCH W.A sparse matrix arithmetic based on HMatrices.Part I：introduction to H-Matrices［J］.Computing，1999，62（2）：89-108.

［5］HACKBUSCH W，KHOROMSKIJ B N.A Sparse-matrix arithmetic［J］.Computing，2000，64（1）：21-47.

［6］B?RM S.H2-matrices-multilevel methods for the approximation of integral operators［J］.Computing and Visualization in Science，2004，7（3-4）：173-181.

［7］ RAO S，WILTON D，GLISSON A.Electromagnetic scattering by surfaces of arbitrary shape［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1982，30（3）：409-418.

［8］HWU S U，WILTON D R，RAO S M.Electromagnetic scattering and radiation by arbitrary conducting wire/surface configurations［C］.IEEE Society International Symposium on Antennas and Propagation，Syracuse，NY，USA，1988，2：890-893.

［9］唐松生，隋樹林.拉格朗日插值多項(xiàng)式［J］.青島化工學(xué)院學(xué)報(bào)，1992（4）：101-105.

［10］王學(xué)忠，黃廷祝，李良，等.H-矩陣方程組的預(yù)條件迭代法［J］.計(jì)算數(shù)學(xué)，2007，29（1）：89-98.

［11］鄭麗.幾種共軛梯度法的研究［D］.重慶：重慶大學(xué)，2009.

［12］張穎.有關(guān)共軛梯度法的一些研究［D］.大連：大連理工大學(xué)，2012.

An H2-matrix-based method for fast solving electromagnetic problems of perfect conducting surface

Huang Xiaojing
（College of Electronic Science and Engineering，Nanjing University of Posts and Telecommunications，Nanjing 210003，China）

In this paper，based on perfect conductor boundary conditions building the electric field integral equation of wire attached to an arbitrary faceted surface.When using the method of moments to calculate directly，with the increasing size of electrical conductor，computation and storage will increase rapidly，thereby reducing the efficiency of solution.In order to reduce the computation and storage，using the permissible conditions of the H2-Matrix to divide the elements of impedance matrix into far field and near field.Matrix block of near field can be calculated and stored directly by using the method of moments，while matrix block of far field can be disposed and stored by method of interpolation between layers of H2-Matrix，thus greatly reducing the amount of computation and storage.

MoM；H2-Matrix；the electric field integral equation

O441.5

A

1674-7720（2015）10-0010-03

201-0-0）

黃曉菁（1990-），女，碩士研究生，主要研究方向：電磁工程計(jì)算機(jī)輔助分析與設(shè)計(jì)。