借助函數(shù)形態(tài)作圖之淺見

張美花

摘 要：作圖在數(shù)學中尤為重要，函數(shù)的圖象和性質(zhì)關系密切。借助圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學概念和數(shù)量關系形象化、簡單化，給人以直觀的啟示，可讓理論性強的文章圖文并茂，有助于理解定義，說明定理和解釋公式等。主要講述如何利用函數(shù)的形態(tài)作出較為復雜的函數(shù)圖象。

關鍵詞：函數(shù)形態(tài)；作圖；方法步驟

一、函數(shù)現(xiàn)代概念

若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為y=f（x）。元素x稱為自變量，元素y稱為因變量。

二、函數(shù)的形態(tài)

1.單調(diào)性

設函數(shù)f（x）的定義域為D，區(qū)間I包含于D。如果對于區(qū)間上任意兩點x1及x2，當x1x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)遞減的。單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。

2.奇偶性

設f（x）為一個實變量實值函數(shù)，若下列的方程對所有實數(shù)x都成立：f（x）=-f（-x）則f（x）為奇函數(shù)。幾何上，一個奇函數(shù)關于原點對稱。

設f（x）為一實變量實值函數(shù)，則f（x）為偶函數(shù)，若下列的方程對所有實數(shù)x都成立：f（x）=f（-x）。幾何上，一個偶函數(shù)關于y軸對稱。

3.周期性

設函數(shù)f（x）的定義域為D。如果存在一個正數(shù)T，使得對于任意x∈D有（x±T）∈D，且f（x+T）=f（x）恒成立，則稱f（x）為周期函數(shù)，T稱為f（x）的周期，通常我們說周期函數(shù)的周期是指最小正周期。周期函數(shù)的定義域D為至少一邊的無界區(qū)間，若D為有界的，則該函數(shù)不具周期性。并非每個周期函數(shù)都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函數(shù)。

4.有界性

設I為函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)的某一區(qū)間，若存在正數(shù)M，使得對一切x∈I，都有f（x）≤M，則稱f（x）為區(qū)間I上有界，否則稱f（x）為區(qū)間I上無界。

5.連續(xù)性

在數(shù)學中，連續(xù)是函數(shù)的一種屬性。直觀圖象上說，連續(xù)的函數(shù)是連綿不斷的一條線，也就是一筆可以畫完無需間斷的曲線。

不用極限的概念，也可以這樣表達：對任意給定的ε>0，總存在δ>0，當x-x0<δ時有f（x）-f（x0）<ε

6.凹凸性

三、函數(shù)的基本作圖方法

討論了函數(shù)的各種形態(tài)，綜合討論就可以做出函數(shù)圖象的一般步驟如下：

（1）確定函數(shù)的定義域，找出間斷點。

（2）求出曲線和坐標軸的交點。

（3）確定曲線關于坐標軸的對稱性。

（4）令一階導數(shù)等于0，求出函數(shù)的駐點，并算出各駐點的函數(shù)值。判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并求出極值。

（5）確定函數(shù)的凹向區(qū)間和拐點。

（6）求出曲線的漸近線。

（8）根據(jù)關系圖和函數(shù)的相關性質(zhì)，描繪函數(shù)大致圖象。

四、實例解析

解：（1）定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）。

（2）函數(shù)不具有奇偶性，因此曲線無對稱性。

（4）令y′=0得x=-2

y″（-2）>0所以x=-2為極小值點，f（-2）=3為極小值。

（5）令y″=0，得x=-3，在x=-3的左側有y″<0，在x=-3的右側有y″>0，而f（-3）=-2，所以，（-3，-2）是拐點。

（6）漸近線x=0。

（7）將上面的結果列表如下：

（8）描繪圖象如下：

根據(jù)作圖的步驟可以作出函數(shù)的大致圖象，如果已知函數(shù)的圖象，不但可以從函數(shù)得到精確的性質(zhì)，也可以從函數(shù)的圖象得出函數(shù)的大致性質(zhì)。

例2：已知函數(shù)y=3x2-x3的圖象如下，描述該函數(shù)性態(tài)。

解：（1）定義域為（-∞，+∞）。

（2）函數(shù)不具有奇偶性，曲線無對稱性。

（3）f（x）=0曲線與x軸有兩個交點，一個是x=0，一個是x=3。

（4）函數(shù)有兩個駐點x=0，x=2

x=0為極小值點，f（0）=0為極小值。

x=3為極大值點，f（2）=4為極大值。

（5）（1，2）是拐點。

（6）無漸近線。

五、總結

函數(shù)的形態(tài)對作圖起到很大的指導作用，而函數(shù)的圖形也能一目了然地反映該函數(shù)的各種形態(tài)。學好函數(shù)的相關知識，靈活解題，方法至關重要，準確畫出函數(shù)的圖形可以使我們進一步提高解題興趣，激活思維，開拓思路，提高綜合運用多種方法解題的能力，從而提高分析、判斷、猜想、推理、決策的能力，真正提高數(shù)學素質(zhì)、創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力。平時應注重培養(yǎng)這種思想意識，爭取見數(shù)想形，使抽象思維與形象思維結合起來，發(fā)揮數(shù)與形兩種信息的轉換及其優(yōu)勢互補與整合。

參考文獻：

[1]邱曙熙.高等數(shù)學基礎篇.廈門大學出版社，2008-07.

[2]潘凱.高等數(shù)學.中國科技大學，2004（09）.

編輯 李建軍