基于分圓法的一類素數(shù)平方周期跳頻序列族

徐善頂曹喜望許廣魁

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基于分圓法的一類素數(shù)平方周期跳頻序列族

徐善頂*①②曹喜望②③許廣魁②④

①(南京工程學院數(shù)理部 南京 211167)②(南京航空航天大學數(shù)學系 南京 211106)③(中國科學院信息工程研究所信息安全國家重點實驗室 北京 100093)④(淮南師范學院數(shù)學與計算科學系 淮南 232038)

最大漢明相關(guān)與平均漢明相關(guān)是評價跳頻序列族性能的兩個重要參數(shù)。該文首先給出了源于Fermat商的廣義分圓類的性質(zhì)；其次，基于此廣義分圓法構(gòu)造了一類上的長度為，序列族的大小為的跳頻序列族；最后證明了該跳頻序列族關(guān)于最大漢明相關(guān)界與平均漢明相關(guān)界都是最優(yōu)的。

跳頻序列；Fermat商；分圓；最大漢明相關(guān)界；平均漢明相關(guān)界

1 引言

跳頻技術(shù)被廣泛應用于現(xiàn)代通信系統(tǒng)，比如超寬頻、藍牙、軍事及雷達等。其中，用于控制載波頻率跳變的地址碼序列稱為跳頻序列(Frequency- Hopping Sequence, FHS)，它的性能對跳頻系統(tǒng)有重大影響。在實際應用中，我們盡可能使用非平凡漢明自相關(guān)值和漢明互相關(guān)值較小的跳頻序列以減少信號之間的彼此干擾，同時還要求序列的數(shù)目比較多以容納盡可能多用戶。但是，跳頻序列族的參數(shù)受限于一些理論界，因此構(gòu)造關(guān)于這些界的最優(yōu)跳頻序列族成了設(shè)計的熱點。目前關(guān)于跳頻序列族的漢明相關(guān)最優(yōu)性的評價指標主要有如下兩種：一種是最大漢明相關(guān)[1,2](MHC)，代表的是跳頻系統(tǒng)的最壞情形，目前大多數(shù)跳頻序列的設(shè)計主要是針對它的最優(yōu)構(gòu)造。另一種是平均漢明相關(guān)[3](AHC)，代表的是跳頻系統(tǒng)的平均干擾狀況，所以設(shè)計出達到平均漢明相關(guān)界的跳頻序列族也意義重大。然而，公開發(fā)表的能同時達到最大漢明相關(guān)界與平均漢明相關(guān)界的跳頻序列族[1,13,14]卻比較少，這也成了序列設(shè)計中的一個重要課題。

分圓是一個很古老的數(shù)論問題，分圓數(shù)和廣義分圓數(shù)被廣泛應用于數(shù)論問題、組合數(shù)學、序列設(shè)計、編碼理論以及密碼學等。近年來，許多編碼學者陸續(xù)利用Gauss經(jīng)典分圓、Whiteman廣義分圓、Ding-Helleseth廣義分圓及其推廣構(gòu)造了一系列性能良好的序列。本文基于Fermat商[15]導出的廣義分圓法[16]構(gòu)造了一類長度為的跳頻序列族，同時給出了各類漢明相關(guān)值的計算公式輔以驗證其最優(yōu)性。隨后證明所構(gòu)造的序列族不僅關(guān)于最大漢明相關(guān)界與平均漢明相關(guān)界都是最優(yōu)的，而且序列族中的每個序列關(guān)于L-G界(見引理1)也是最優(yōu)的。

2 基本概念

Lempel和Greenberger[1]于1974年給出了跳頻序列的最大漢明自相關(guān)的一個下界：

引理1 (L-G 界[1]) 設(shè)是大小為的字符集上的長度為的任意跳頻序列，則

引理2[2]設(shè)是大小為的字符集上的長度為的個跳頻序列構(gòu)成的序列族，則

關(guān)于跳頻序列族的另外兩個重要參數(shù)：平均漢明自相關(guān)和平均漢明互相關(guān)，分別定義如下。

定義1[17]設(shè)是上的長度為的個跳頻序列的集合且=，則分別稱為

2008年，Peng等人[18]給出了跳頻序列族的和的如下理論界：

引理3[18]設(shè)是上的長度為的個跳頻序列的集合且=，則

今后我們將使用以下定義:

注1：上面定義的關(guān)于環(huán)的階廣義分圓既不同于Whiteman廣義分圓，又不同于Ding- Helleseth廣義分圓中環(huán)的二階廣義分圓，是一種全新的分圓形式。

如上定義的廣義分圓類與廣義分圓數(shù)有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1[16]若,，那么=,。

(3)易證。 證畢

綜合(1)與(2)得結(jié)論。 證畢

由性質(zhì)4可得結(jié)論。

4 新的跳頻序列族的構(gòu)造

本節(jié)將構(gòu)造一類新的跳頻序列族，并利用上節(jié)的性質(zhì)給出該跳頻序列族的漢明相關(guān)值的分布，隨后證明了所構(gòu)造的序列族不僅具有最優(yōu)MHC與最優(yōu)AHC，而且序列族中的每個序列關(guān)于L-G界也是最優(yōu)的。

證明 (1) 顯然成立；

由性質(zhì)5，性質(zhì)6，性質(zhì)7可得結(jié)論。

再由平均漢明自相關(guān)和平均漢明互相關(guān)的定義可得式(30)。把式(30)代入式(8)可得：

注2：本節(jié)與文獻[13]構(gòu)造的相似與不同之處：

(1)相似：與文獻[13]所構(gòu)造的跳頻序列族相比，本節(jié)構(gòu)造的序列族不僅具有與其相同的序列周期、序列個數(shù)和字符集大小，而且具有相同的最優(yōu)漢明相關(guān)特性，即：所構(gòu)造的序列族具有最優(yōu)MHC和最優(yōu)AHC，其中每個序列關(guān)于L-G界也是最優(yōu)的(見表1)。

(2)不同：首先，本文與文獻[13]所構(gòu)造的跳頻序列形式完全不同；其次，文獻[13]中的構(gòu)造主要利用廣義bent函數(shù)，其序列族定義形式和最優(yōu)性證明過程相對復雜。而本節(jié)中的構(gòu)造主要采用的是廣義分圓法，不僅定義字符集更加簡潔，而且序列族構(gòu)造方法簡單可行，從而具有更強的應用背景。

表1幾類相關(guān)跳頻序列族的比較(其中為奇素數(shù))

跳頻序列族L|U|L-G界MHCAHC 文獻[9]最優(yōu)非最優(yōu)最優(yōu) 文獻[13]最優(yōu)最優(yōu)最優(yōu) 文獻[14]最優(yōu)最優(yōu)最優(yōu) 本文最優(yōu)最優(yōu)最優(yōu)

5 結(jié)束語

[1] Lempel A and Greenberger H. Families of sequences with optimal Hamming correlation properties[J]., 1974, 20(1): 90-94.

[2] Peng D Y and Fan P Z. Lower bounds on the Hamming auto-and cross-correlations of frequency-hopping sequences[J]., 2004, 50(9): 2149-2154.

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Class of Optimal Frequency-hopping Sequences Set with the Square of Prime Length Based on Cyclotomy

Xu Shan-ding①②Cao Xi-wang②③Xu Guang-kui②④

①(,,211167,)②(,,211106,)③(,,,100093,)④(,,232038,)

The Maximum Hamming Correlation (MHC) and the Average Hamming Correlation (AHC) are two important performance measures of the frequency-hopping sequences. Firstly, some properties of generalized cyclotomy are derived from Fermat quotient. Secondly, based on the generalized cyclotomy, a class of optimal frequency-hoppingsequences set with length of sequencesand size beingdefined onis constructed. Finally, it is proved that the proposed frequency-hopping sequences set is optimal with respect to the maximum Hamming correlation bound and the average Hamming correlation bound.

Frequency-hopping sequence; Fermat quotient;Cyclotomy; Maximum Hamming correlation bound; Average Hamming correlation bound

TN914.41

A

1009-5896(2015)10-2460-06

10.11999/JEIT150168

2015-01-29；改回日期：2015-05-29；

2015-07-06

徐善頂 sdxzx11@163.com

國家自然科學基金(11371011)和南京工程學院校級科研基金(QKJA201307)

The National Natural Science Foundation of China (11371011); The Foundation of Nanjing Institute of Technology (QKJA201307)

徐善頂： 男，1979年生，講師，主要研究方向為跳頻序列分析與設(shè)計.

曹喜望： 男，1965年生，教授，主要研究方向為代數(shù)組合論與代數(shù)密碼學.

許廣魁： 男，1981年生，講師，主要研究方向為代數(shù)組合論與代數(shù)密碼學.