色關(guān)聯(lián)隨機(jī)力作用下吸積盤振蕩光度的功率密度譜

陳培杰，蔣亞玲，汪志云

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色關(guān)聯(lián)隨機(jī)力作用下吸積盤振蕩光度的功率密度譜

陳培杰，蔣亞玲，汪志云

(湖北文理學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，湖北襄陽(yáng)441053)

采用受色關(guān)聯(lián)隨機(jī)力作用下的廣義朗之萬(wàn)方程描述黑洞吸積盤的垂向振蕩，推導(dǎo)得到吸積盤隨機(jī)振蕩的光度和功率密度譜，并分析了黑洞雙星系統(tǒng)參數(shù)對(duì)功率譜曲線的影響. 研究結(jié)果表明：當(dāng)選取適當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，功率密度譜曲線上會(huì)出現(xiàn)隨機(jī)共振現(xiàn)象；隨機(jī)力的關(guān)聯(lián)時(shí)間、吸積盤的吸積率和粘滯系數(shù)決定隨機(jī)共振強(qiáng)弱，但共振峰位置只隨黑洞質(zhì)量不同而發(fā)生變化．

色關(guān)聯(lián)隨機(jī)力；廣義朗之萬(wàn)方程；吸積盤；功率密度譜；隨機(jī)共振

在天體物理中，黑洞和中子星等致密天體都包圍有一個(gè)吸積盤，吸積盤物理模型也被用來(lái)解釋X射線黑洞雙星的一些觀測(cè)數(shù)據(jù). 近年來(lái)，許多學(xué)者研究了受隨機(jī)力作用的吸積盤的振蕩，并取得較大成功. 吸積盤的隨機(jī)力主要由外部作用產(chǎn)生(如潮汐或者沖擊波擾動(dòng)等)，也可能是湍流動(dòng)力學(xué)方程中被忽略的非線性項(xiàng). Ioannou 和 Kakouris等人研究了二維開(kāi)普勒吸積盤隨機(jī)動(dòng)力學(xué)，并計(jì)算了在空間和時(shí)間白隨機(jī)力作用下，吸積盤的結(jié)構(gòu)和角動(dòng)量向外轉(zhuǎn)移，發(fā)現(xiàn)如果力是寬波段且足夠大，向中心天體的吸積能夠被隨機(jī)力維持[1]；Harko 和 Mocanu等人推導(dǎo)在廣義相對(duì)論框架下，受隨機(jī)力作用的超大質(zhì)量黑洞吸積盤擾動(dòng)的垂向振蕩方程，通過(guò)數(shù)值模擬得到了吸積盤垂向振蕩的位移、速度和光度，并分析了功率密度譜隨頻率的變化[2]；Leung 等人研究了圍繞大質(zhì)量黑洞吸積盤的垂向擾動(dòng)隨機(jī)振蕩，發(fā)現(xiàn)Blacc天體24h內(nèi)光度變化與吸積盤的隨機(jī)振蕩有關(guān)[3].

以上研究表明，吸積盤隨機(jī)振蕩的光度及其功率密度譜與觀測(cè)到的光變現(xiàn)象基本吻合，一些觀測(cè)現(xiàn)象可以用吸積盤隨機(jī)振蕩解釋. 分析非相對(duì)論情況下流體吸積盤和廣義相對(duì)論盤隨機(jī)振蕩光度的功率密度譜時(shí)，發(fā)現(xiàn)存在隨機(jī)共振現(xiàn)象，并解釋了黑洞雙星Ｘ射線的低頻準(zhǔn)周期振蕩現(xiàn)象[4-5]. 但以上討論所采用的隨機(jī)力都是白噪聲型，事實(shí)上隨機(jī)力還可能存在指數(shù)形式色關(guān)聯(lián)型．如Leung 等人用數(shù)值模擬方法得到色關(guān)聯(lián)隨機(jī)力作用下吸積盤振蕩的光變曲線[6]. 本文主要用色關(guān)聯(lián)隨機(jī)力作用下的廣義朗之萬(wàn)方程描述吸積盤振蕩，從理論上計(jì)算其隨機(jī)振蕩的光度和功率密度譜，分析吸積盤系統(tǒng)參數(shù)對(duì)功率密度譜曲線隨機(jī)共振的影響．

1　色噪聲作用下吸積盤振蕩的功率密度譜

考慮標(biāo)準(zhǔn)吸積薄盤，將吸積盤作為整體，受隨機(jī)力作用產(chǎn)生振蕩，其垂向振蕩方程為[3]：

式中，M是吸積盤質(zhì)量，是吸積盤的垂向振蕩位移，是吸積盤受到的粘滯作用系數(shù)，可以看成常量.()是隨時(shí)間變化的色關(guān)聯(lián)隨機(jī)力，其平均值和在不同時(shí)間和的關(guān)聯(lián)滿足以下統(tǒng)計(jì)性質(zhì)：

式中，和為常數(shù)，表示隨機(jī)力作用強(qiáng)度，表示隨機(jī)力關(guān)聯(lián)時(shí)間. 令，，，則式(1)變?yōu)椋?/p>

速度為

吸積盤振蕩的總能量可以表示為：

吸積盤的光度是由于粘滯耗散導(dǎo)致的盤振蕩能量的損失，由式(3)和(6)可得到光度為[2]：

由方程(7)得到吸積盤振蕩光度的自相關(guān)聯(lián)函數(shù)為：

將方程(2)、(5)代入式(8)可得

其中：

對(duì)式(9)平均光度自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行傅立葉變換，得光度的功率密度譜為：

對(duì)于一個(gè)包圍黑洞或中子星的流體吸積薄盤，假定吸積盤的密度分布滿足以下關(guān)系[7-8]：

其中，、分別為粘滯系數(shù)和以臨界吸積為單位的吸積率，根據(jù)文獻(xiàn)[3]吸積盤振蕩的粘滯阻尼系數(shù)和固有頻率分別為：

2　系統(tǒng)參數(shù)對(duì)功率密度譜的影響

將式(10)、(13)和(14)代入方程(11)，得到黑洞雙星系統(tǒng)的吸積盤隨機(jī)振蕩的光度功率密度譜隨頻率變化關(guān)系. 假設(shè)吸積盤面密度指數(shù)，調(diào)整半徑為、外半徑為，當(dāng)其它參數(shù)分別取不同值時(shí)，吸積盤隨機(jī)振動(dòng)光度的功密度譜曲線如圖１所示.

可以看出：吸積盤隨機(jī)振蕩光度的功率密度譜曲線出現(xiàn)一截?cái)啵瑢⑵浯笾路譃樾甭什幌嗤膬刹糠?；并且所選參數(shù)合適時(shí)，在高于截?cái)囝l率部分，功率密度并不隨頻率單調(diào)減小，而是出現(xiàn)一峰值，即出現(xiàn)隨機(jī)共振現(xiàn)象.

注：(a); (b); (c);(d) 圖1吸積盤隨機(jī)振蕩光度的功率密度譜

圖1(a)表示是隨機(jī)力關(guān)聯(lián)時(shí)間不同時(shí)，吸積盤隨機(jī)振蕩的功率密度譜．可以發(fā)現(xiàn)：增大時(shí)，譜線整體下移，曲線的共振峰越高，越尖銳，共振現(xiàn)象越明顯，共振峰值所對(duì)應(yīng)的頻率幾乎不變；而當(dāng)減小時(shí)，共振現(xiàn)象會(huì)逐漸減弱. 吸積盤中心黑洞的質(zhì)量對(duì)功率密度譜的影響主要表現(xiàn)在對(duì)共振峰出現(xiàn)的位置(如圖１(b)所示)，不同，譜線的輪廓并沒(méi)有發(fā)生明顯變化，即不影響隨機(jī)共振現(xiàn)象，但是很顯然，越大，共振峰對(duì)應(yīng)的頻率越低；由圖１(c)和(d)可知：吸積盤的吸積率和粘滯系數(shù)對(duì)功率密度譜的影響完全相同，共振峰的變化對(duì)它們的取值敏感. 隨著取值增大時(shí)，共振迅速減弱，直至消失，但出現(xiàn)共振峰的位置并不發(fā)生變化．而且和對(duì)于共振峰右側(cè)部分的功率密度譜影響較小，而對(duì)左側(cè)部分影響較大．

由方程(12)、(13)和(14)可知，吸積率和粘滯系數(shù)影響吸積盤的粘滯耗散系數(shù)，不影響吸積盤隨機(jī)振蕩的固有頻率．即和增大，增大，不變，吸積盤的粘滯作用越強(qiáng)，耗散能量增多，光度越強(qiáng)，此時(shí)隨機(jī)力的作用相對(duì)較弱，不容易形成隨機(jī)共振現(xiàn)象．當(dāng)粘滯作用較小時(shí)，隨機(jī)力使功率密度在一定的頻率范圍內(nèi)增大，出現(xiàn)隨機(jī)共振現(xiàn)象．吸積盤中心黑洞的質(zhì)量不同，只改變固有頻率，不改變，這說(shuō)明吸積盤的垂向振蕩頻率越高，功率密度譜曲線的共振峰對(duì)應(yīng)的頻率越高．由方程(7)可知，吸積盤垂向振蕩產(chǎn)生的光度主要由粘滯產(chǎn)熱和隨機(jī)力做功所產(chǎn)生的. 當(dāng)粘滯作用和吸積盤振蕩的固有頻率滿足一定的條件時(shí)，吸積盤損失能量(即產(chǎn)生的光度)的功率隨頻率的變化由于共振而出現(xiàn)準(zhǔn)周期性振蕩.

3　結(jié)語(yǔ)

通過(guò)以上分析可得到：受指數(shù)形式色關(guān)聯(lián)隨機(jī)力作用，黑洞吸積盤系統(tǒng)隨機(jī)振蕩光度的功率密度譜(曲線)主要是由斜率不相同的兩部分組成，并且出現(xiàn)隨機(jī)共振現(xiàn)象. 隨機(jī)力的關(guān)聯(lián)時(shí)間、吸積盤吸積率和粘滯系數(shù)決定吸積盤的粘滯耗散能量，影響隨機(jī)共振的強(qiáng)弱. 而黑洞的質(zhì)量通過(guò)改變吸積盤振蕩的固有頻率而影響共振峰所在位置．吸積盤隨機(jī)振蕩光度的功率密度譜曲線與黑洞雙星系統(tǒng)觀測(cè)的X射線光變曲線有相同輪廓[9-10]．特別是在功率密度譜曲線出現(xiàn)的隨機(jī)共振峰類似于觀測(cè)的準(zhǔn)周期振蕩．而黑洞雙星觀測(cè)的X射線功率密度譜的準(zhǔn)周期振蕩產(chǎn)生的物理機(jī)制一直是很不清楚的．本文研究認(rèn)為引起0.01—1Hz范圍內(nèi)的低頻準(zhǔn)周期振蕩原因可能是由隨機(jī)力、中心天體引力和粘滯力作用下的吸積盤隨機(jī)共振引起．

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Power Spectral Density of Oscillating Luminosity for Accretion Disk Driven by Stochastic Force with Color Correlation

CHEN Peijie, JIANG Yaling, WANG Zhiyun

(School of Physics and Electronic Engineering, Hubei University of Arts and Science, Xiangyang 441053, China)

A generalized Langevin type equation driven by stochastic force with color correlation is used to describe the stochastic oscillations on the vertical direction of the accretion disk around black hole, the luminosity and the power spectral density for oscillating disk are calculated. Then the influences of parameters on the curves are discussed. The results show that,when all parameters of system take appropriate values, the stochastic resonance phenomenon is found in power spectral density curves; The correlated time of stochastic force, mass accretion rateand viscidity coefficientaffect the strength of stochastic resonance, and the position of resonance peak is changed with variety of the mass of black hole.

Stochastic force with color correlation; Generalized Langevin equation; Accretion disks; Power spectral density; Stochastic resonance

(責(zé)任編輯：饒 超)

P145. 8

A

2095-4476(2015)02-0005-04

2014-10-27

湖北省教育廳重點(diǎn)研究項(xiàng)目(D20132603)

陳培杰(1975— ), 女, 湖北棗陽(yáng)人, 湖北文理學(xué)院物理與電子工程學(xué)院副教授.