基于全變分擴展方法的壓縮感知磁共振成像算法研究

蔣明峰 劉 淵 徐文龍 馮 杰 汪亞明

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基于全變分擴展方法的壓縮感知磁共振成像算法研究

蔣明峰*①劉 淵①徐文龍②馮 杰①汪亞明①

①(浙江理工大學信息學院 杭州 310018)②(中國計量學院生物醫(yī)學工程系 杭州 310018)

針對全變分算法在壓縮感知磁共振成像(CS-MRI)重構過程中存在“階梯效應”的問題，該文研究3種基于全變分擴展方法的CS-MRI成像算法，即高階全變分、總廣義變分和組合稀疏全變分，并將其與平移不變離散小波稀疏基相結合，建立稀疏模型，采用快速復合分裂算法求解CS-MRI重構的凸優(yōu)化問題。同時，討論了全變分及其擴展方法對兩種不同磁共振圖像數(shù)據(jù)和徑向欠采樣模式重構CS-MRI的精度。實驗結果表明，基于全變分擴展的重構算法能有效解決全變分重建中存在階梯效應的缺點；另外，相比高階全變分和總廣義變分重構算法，組合稀疏全變分方法具有更好的重建效果，獲得更高重構信噪比。

磁共振圖像；壓縮感知；全變分擴展算法；組合稀疏

1 引言

隨著臨床各種應用領域的要求不斷提高，需要盡可能地減少磁共振系統(tǒng)成像時間，進而減少長時間掃描過程中造成的運動偽影，提高磁共振成像質(zhì)量。基于壓縮感知理論的磁共振成像可以以遠低于奈奎斯特采樣的頻率進行采樣，并從這些欠采樣數(shù)據(jù)中實現(xiàn)磁共振圖像的重構，降低采樣數(shù)據(jù)總量，縮短磁共振掃描時間，提高成像速度。只要信號是可壓縮的或在某個變換域是稀疏的，那么就可以用一個與變換基不相關的觀測矩陣將變換所得高維信號投影到一個低維空間上，然后通過求解一個優(yōu)化問題從這些少量的投影中以高概率重構出原信號。壓縮感知(Compressed Sensing, CS)理論由Candès等人[1]和Donoho[2]提出，是一個充分利用信號稀疏性或可壓縮性的全新信號采集、編解碼理論。

全變分(Total Variation, TV)正則化模型是一種基于偏微分方程(PDE)的變分去噪模型，它是由Rudin等人于1992年提出來的，該方法被應用到全向圖像稀疏重構[3]，視頻壓縮感知重構[4]，稀疏磁共振成像[5]等領域。但全變分在磁共振稀疏圖像重構的應用中，常常出現(xiàn)“階梯效應”，從而使得邊緣的重建效果不夠理想?；谌兎謹U展的高階全變分(Higher Degree Total Variation, HDTV)[6]，總廣義變分(Total Generalize Variation, TGV)[7]，組合稀疏全變分(Group-Sparsity Total Variation, GSTV)[8]算法能夠較好地克服去噪過程中的階梯效應。本文將結合基于全變分擴展的方法和平移不變離散小波稀疏基討論磁共振圖像稀疏重構問題，利用徑向欠采樣軌跡[9]實現(xiàn)磁共振K空間數(shù)據(jù)的有效欠采樣，然后采用快速復合分裂算法(Fast Composite Splitting Algorithm, FCSA)[10]解決磁共振稀疏重構凸優(yōu)化問題。

2 基于全變分擴展的壓縮感知磁共振成像方法

基于全變分的壓縮感知磁共振圖像重構可以通過解決式(1)下面凸優(yōu)化問題：

式中F是磁共振圖像欠采樣傅里葉變換算子，是獲取K空間欠采樣數(shù)據(jù)，是需重構的磁共振圖像，是平移不變離散小波變換(SIDWT)稀疏基[11,12]，和是正則化系數(shù)。在本文中采用結合基于全變分擴展的方法和平移不變離散小波稀疏基的方法，亦即在壓縮感知磁共振圖像重構的過程中采用全變差正則化約束項(式(1)中)和平移不變離散小波變換稀疏約束項(式(1)中)相結合的方法。全變分方法在稀疏磁共振圖像重構過程中存在“階梯效應”，該文將研究以全變分的擴展算法(HDTV, TGV, GSTV)替換全變換算法(TV)實現(xiàn)CS-MRI稀疏重構，重構更加準確的磁共振圖像。

2.1 高階全變分算法

高階全變分(HDTV)模型[6]，在原有的TV模型上添加了一個橢圓算子，使得重建過程中能夠保留真實邊緣的同時去除偽邊緣，從而防止了邊緣區(qū)域階梯效應的產(chǎn)生。各向異性HDTV，懲罰因子定義為

從式(2)可以看出，2維HDTV的懲罰因子保持著TV的重要特性，如：平移、旋轉、協(xié)方差具有不變性等。在本文中采用=2。因此，基于高階全變分的磁共振圖像稀疏重構問題為

2.2 總廣義變分模型

為避免圖像重建過程中出現(xiàn)的階梯效應將總廣義變分(Total Generalized Variation, TGV)[7]的概念應用到CS-MRI成像算法中，TGV能夠有效逼近任意階的多項式函數(shù)，如：分段函數(shù)、分段仿射函數(shù)等。由于TGV具有凸的、旋轉不變、下半連續(xù)等優(yōu)良特性，有關TGV的研究正受到廣泛關注。二階TGV定義形式如式(5)：

式中為需重構的磁共振圖像，TGV 引入了輔助參數(shù)，并取。在該文的研究中設置,。因此，基于全變分的磁共振圖像稀疏重構問題為

2.3 組合稀疏全變分模型

由于信號的微分具有組合稀疏特性，因此組合稀疏全變分方法(Group Sparsity Total Variation, GSTV)[8]最初被用于圖像去噪。作為全變分的一種延伸，組合稀疏全變分方法具有TV所不具有的去噪能力。GSTV首先假設信號的微分具有結構性稀疏，表現(xiàn)為其一階微分中數(shù)值較大的部分與其他大值部分相鄰或相近，能夠很容易地“被組合”在一起，這種方法可以有效地消除TV去噪過程中帶來的階梯效應。GSTV的“組合稀疏”特性能夠?qū)⑿盘柕奈⒎肿匀环纸M，并且每組中也具有組合稀疏的特性。

其中,為圖像像素在兩個維度方向上的指數(shù)，該圖像在k, k方向上的一階微分分別為

3 基于快速復合分裂算法的磁共振圖像稀疏重構

將全變分及其擴展方法的正則化項統(tǒng)一簡稱為All-TV，對于式(1)、式(4)、式(6)、式(10)稀疏重構的復合正則化問題，快速復合分裂算法(FCSA)[10]將其分解成兩個子問題：

對于L1稀疏變換子問題(式(11))，利用快速迭代收縮閾值算法(FISTA)[13]能得到有效的解決，F(xiàn)ISTA算法在圖像重建的每一次迭代中為目標函數(shù)的線性化微分部分構造正則化，將L1子問題分解：

對于全變分及其擴展方法的子問題式(12)，將其分解成兩部分：

并將每次迭代的結果進行歸一化處理，如式(17)所示：

在該文的研究中設置min=0,max=255。

4 仿真與分析

該文采用兩種磁共振圖像：Shepp-Logan計算機仿真磁共振圖像和心臟磁共振圖像[16]來驗證基于全變分擴展算法實現(xiàn)磁共振圖像稀疏重構的性能。圖1為Matlab庫函數(shù)Phantom生成的Shepp-Logan圖像及其局部放大圖，圖2為實際的3維動態(tài)磁共振心臟圖像的第10幀圖像及其局部放大圖。本文采用徑向欠采樣模式實現(xiàn)磁共振K空間數(shù)據(jù)的欠采樣，如圖3所示，其加速因子為6。

為了評價圖像重建的效果，該文采用信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)作為圖像重建的評價指標，同時將重構圖像和局部放大圖作為重建效果的視覺評價標準。將全采樣重構的圖像作為金標準，記為(0)，基于欠采樣的磁共振稀疏重構圖像為()，則SNR可以通過式(18)計算：

式中，MSE是重構圖像()與全采樣圖像(0)之間的平均均方誤差，var(0)為0的方差。

4.1 Shepp-Logan磁共振圖像重構結果分析

在不同加速因子情況下，對全變分及其擴展算法實現(xiàn)稀疏重構欠采樣的Shepp-Logan磁共振圖像的性能進行分析比較。圖4為分別采用基于TV, HDTV, TGV和GSTV稀疏重構的磁共振圖像及其局部放大圖，采樣的加速因子為6(即采樣率為16.7%)的徑向采樣軌跡，從圖像重構的效果可以看出，采用全變換方法的重構結果能夠基本保留圖像的紋理特征，但邊緣處較模糊，發(fā)生震蕩，并且圖像有類馬賽克的塊狀現(xiàn)象，而基于全變分擴展的HDTV, TGV和GSTV方法能夠有效地消除這一現(xiàn)象，重建后的圖像紋理清晰、平滑，并且在這些擴展方法中，基于GSTV方法的重構質(zhì)量最佳，重構磁共振圖像邊界清晰，其次為TGV方法的重構質(zhì)量。

圖1 shepp-logan磁共振??????圖2 心臟磁共振圖像??????圖3 徑向欠采樣軌跡，

圖像及其局部放大圖????????及其局部放大圖????????加速因子為6

4.2 心臟磁共振圖像重構結構分析

該文對全變分及其擴展算法對心臟磁共振圖像的稀疏重構性能進行分析和比較，心臟磁共振圖像是由1.5T Philips核磁共振系統(tǒng)獲得的[16]，心臟磁共振圖像邊緣較多，結構組成較復雜。

圖5為全變分及其擴展方法的重構心臟磁共振圖像及其局部放大圖，依次為TV方法、HDTV方法、TGV方法和GSTV方法，同樣采用加速因子為6的徑向采樣軌跡，從圖像重建的局部放大圖可以看出，TV方法的重建結果輪廓不是很清晰，而且有較為明顯的偽影出現(xiàn)，類馬賽克的塊狀圖像較為嚴重?；谌兎謹U展的方法有效地解決了這種“階梯效應”，而在3種全變分擴展方法中，基于GSTV方法的重建圖像結果紋理清晰、光滑、自然，最接近全采樣重構的金標準圖像，其重構圖像效果在所有方法中是最佳的。

圖6為全變分及其擴展方法在不同的加速因子下的重構心臟磁共振圖像的信噪比值，基于全變分擴展的重構方法信噪比要優(yōu)于基于全變分的重構結果，而在所有重建方法中，基于GSTV方法重構圖像的信噪比性能明顯優(yōu)于其它方法，這表明在任何加速因子條件下，GSTV能夠重構更加準確的磁共振圖像。

圖7為心臟磁共振圖像衰減因子分別為4和6的徑向采樣方式下GSTV組合因子值從1到10時的圖像重建信噪比值，從圖中可以看出，值選取為6時圖像重建效果較好。而在重構Shepp-Logan磁共振圖像時，GSTV方法選取值為5的磁共振圖像重構效果最好。因此，最優(yōu)值的選取，可能受到圖像類型、圖像分辨率等因素的影響，如何快速準確地選取最優(yōu)值，將是以后研究的重點。

圖4在加速因子為6時，基于全變分及其擴展方法重構Shepp-Logan磁共振圖像及其局部放大圖

圖5在加速因子為6時，基于全變分及其擴展方法的重構心臟磁共振圖像及其局部放大圖

圖6 不同加速因子下，全變分及其擴展方法重構心臟磁共振圖像的信噪比??????????圖7在加速因子為4, 6時，GSTV方法在不同組合因子K值下重構心臟磁共振圖像信噪比

5 結束語

本文針對全變分算法在磁共振圖像稀疏重構過程中存在階梯效應的問題，討論了3種基于全變分擴展的磁共振圖像稀疏重構方法，即：HDTV, TGV和GSTV，將其與平移不變離散小波稀疏基相結合，建立稀疏模型，并采用快速復合分裂算法求解磁共振圖像稀疏重構的凸優(yōu)化問題。實驗結果表明，3種全變分擴展算法能夠有效消除全變分在CS-MRI圖像重構過程中的階梯效應，提高磁共振圖像重構的精度。3種全變分擴展算法中，在任何加速因子情況下，基于GSTV方法重構的磁共振圖像具有更高的信噪比，其重構的圖像結果紋理清晰、邊緣光滑。

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The Study of Compressed Sensing MR Image Reconstruction Algorithm Based on the Extension of Total Variation Method

Jiang Ming-feng①Liu Yuan①Xu Wen-long②Feng Jie①Wang Ya-ming①

①(,,310018,)②(,,310018,)

The Total Variation (TV) method is often used to reconstruct the Compressed Sensing Magnetic Resonance Imaging (CS-MRI), however, it can generate the “stair effect” in the reconstructed MR image. In this paper, there types of TV extension based methods, i.e. High Degree Total Variation (HDTV), Total Generalize Variation (TGV) and Group-Sparsity Total Variation (GSTV), are proposed to implement the sparse reconstruction of MR image. In addition, the shift-invariant discrete wavelet transform are integrated into these TV extension based methods as the sparsifying transform. The Fast Composite Splitting Algorithm (FCSA) is adopted to solve the convex optimization problem of CS-MRI reconstruction. And the Two different types of MR images with radial sampling trajectory are used to validate the reconstruction performance of CS-MRI by using the TV extension methods. The experiment results show that the TV extension based models can overcome the shortcomings of TV based model. Moreover, compared with HDTV and TGV methods, the GSTV method can obviously improve the reconstruction quality with higher Signal-to-Noise Ratio (SNR).

Magnetic Resonance Imaging (MRI); Compressed Sensing(CS); Total Variation (TV) extension method; Group-sparsity

R445.2

A

1009-5896(2015)11-2608-05

10.11999/JEIT150179

2015-02-02；改回日期：2015-06-01；

2015-07-17

蔣明峰 m.jiang@zstu.edu.cn

國家自然科學基金(61272311)；浙江省自然科學基金(LY14F010022, LZ15F020004)；浙江省科技廳公益項目(2013C31021, 2015C31075)；浙江省科技廳國際科技合作研究項目(2013C24019)；浙江省‘儀器科學與技術’重中之重學科開放基金；浙江理工大學521人才培養(yǎng)計劃

The National Natural Science Foundation of China (61272311); Natural Science Foundation of Zhejiang Province (LY14F010022, LZ15F020004); Science Technology Department of Zhejiang Province (2015C31075, 2013C24019); Zhejiang Key Discipline of Instrument Science and Technology; The 521 Talents Project of Zhejiang Sci-Tech University

蔣明峰： 男，1977年生，副教授，博士，碩士生導師，研究方向為計算機醫(yī)學圖像處理、生物醫(yī)學信號處理.

劉 淵： 男，1991年生，碩士生，研究方向為計算機圖像處理.

徐文龍： 男，1972年生，教授，博士，碩士生導師，研究方向為生物醫(yī)學信號處理、磁共振圖像處理.

馮 杰： 男，1980年生，講師，博士，研究方向為視頻圖像處理.

汪亞明： 男，1972年生，教授，博士，博士生導師，研究方向為 模式識別、圖像處理.