基于秩減估計(jì)器的L型陣列二維波達(dá)角估計(jì)算法

魏子翔 崔 嵬 侯建剛 吳嗣亮

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基于秩減估計(jì)器的L型陣列二維波達(dá)角估計(jì)算法

魏子翔 崔 嵬*侯建剛 吳嗣亮

(北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院 北京 100081)

針對(duì)L型陣列2維波達(dá)角(2D-DOA)估計(jì)問(wèn)題，該文提出了一種新的基于秩減估計(jì)器的算法。該算法利用輔助角將2D-DOA估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為兩個(gè)級(jí)聯(lián)的1D-DOA估計(jì)問(wèn)題：首先采用基于傳播算子的秩減估計(jì)器獲得高精度的輔助角估計(jì)；其次利用輔助角估計(jì)結(jié)果獲得某一入射角的一元代價(jià)函數(shù)，借鑒root-MUSIC算法通過(guò)對(duì)多項(xiàng)式求根獲得某一入射角估計(jì)，而另一入射角估計(jì)可由已得角度估計(jì)和輔助角估計(jì)通過(guò)簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)換獲得且兩入射角之間無(wú)需配對(duì)。運(yùn)算量分析表明，該算法運(yùn)算量與JEADE算法接近，大于CODE和root-MUSIC算法。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法在不同信噪比、快拍數(shù)目條件下可獲得高精度的DOA估計(jì)結(jié)果。

信號(hào)處理；L型陣列；2維波達(dá)角；秩減估計(jì)器；傳播算子算法

1 引言

空間波達(dá)角(Direction Of Arrival, DOA)估計(jì)是雷達(dá)，聲吶及通信領(lǐng)域中常見(jiàn)的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。對(duì)于L型陣列的接收信號(hào)波達(dá)角估計(jì)問(wèn)題，2維的多重信號(hào)分類(lèi)(MUltiple SIgnal Classification, MUSIC)算法由于具有漸進(jìn)最優(yōu)的參數(shù)估計(jì)性能而受到關(guān)注。然而2維參數(shù)聯(lián)合搜索所需的巨大運(yùn)算量限制了其在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。由此出現(xiàn)了一些利用陣列的結(jié)構(gòu)特性以多個(gè)1維參數(shù)搜索乃至不需要搜索來(lái)獲得信號(hào)DOA估計(jì)的算法。文獻(xiàn)[1, 2]將L型陣列中的兩條均勻線陣分別劃分為兩個(gè)相互重疊的子陣，依靠子陣間的相位旋轉(zhuǎn)不變性采用ESPRIT(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques)算法或者傳播算子算法(Propagator Method, PM)對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行處理獲得目標(biāo)的俯仰方位角估計(jì)。由于只利用了部分陣元的接收數(shù)據(jù)，這些算法的參數(shù)估計(jì)精度受到限制，且DOA估計(jì)完成后需進(jìn)行參數(shù)配對(duì)。文獻(xiàn)[3, 4]提出了基于奇異值分解的算法獲得目標(biāo)DOA估計(jì)。然而該算法中要求信號(hào)協(xié)方差矩陣為對(duì)角陣，當(dāng)快拍數(shù)較小時(shí)參數(shù)估計(jì)精度惡化明顯。文獻(xiàn)[5, 6]提出了一種俯仰角和方位角聯(lián)合估計(jì)(JEADE)的算法。JEADE算法定義了目標(biāo)的輔助角參數(shù)，即俯仰角和方位角的余弦差，利用兩條線陣之間的特定相位關(guān)系采用廣義ESPRIT算法獲得目標(biāo)輔助角估計(jì)，在此基礎(chǔ)上采用特征分解的方法獲得目標(biāo)的DOA估計(jì)。該算法不需要參數(shù)配對(duì)的過(guò)程，然而其角度估計(jì)精度方面仍有改善的空間。文獻(xiàn)[7]提出了一種計(jì)算高效的2D-DOA估計(jì)(CODE)算法，該算法利用傳播算子算法對(duì)兩條線陣的互協(xié)方差矩陣進(jìn)行處理，無(wú)需通過(guò)特征值分解而獲得了目標(biāo)的DOA估計(jì)。不過(guò)該算法需要進(jìn)行參數(shù)配對(duì)，且進(jìn)行俯仰角或方位角估計(jì)時(shí)仍只利用了協(xié)方差矩陣的部分信息。文獻(xiàn)[8]利用CODE算法獲得某一入射角估計(jì)，并用其輔助獲得另外的入射角的零空間，采用多項(xiàng)式求根的方法獲得另一入射角估計(jì)。該算法相比CODE算法無(wú)需額外的參數(shù)配對(duì)過(guò)程，不過(guò)當(dāng)多個(gè)信源之間估計(jì)的入射角間隔較大時(shí)，該算法相比CODE算法無(wú)明顯精度優(yōu)勢(shì)。文獻(xiàn)[9]利用協(xié)方差矩陣部分元素重構(gòu)了信號(hào)子空間矩陣，提出一種極低代價(jià)的2D-DOA估計(jì)算法。由于只利用了協(xié)方差矩陣的部分元素，因而其DOA估計(jì)精度仍未達(dá)到最優(yōu)。以上各算法均采用估計(jì)二階統(tǒng)計(jì)量的方式獲得目標(biāo)的2維DOA估計(jì)。此外，文獻(xiàn)[10]提出了一種基于三階統(tǒng)計(jì)量的2D-DOA估計(jì)算法。該算法同樣利用子陣間的特定相位關(guān)系，利用特征值分解的方法獲得2D-DOA估計(jì)。然而相比基于二階統(tǒng)計(jì)量的算法，基于三階累積量的算法計(jì)算復(fù)雜度較高。

另一方面，秩減估計(jì)器(RAnk Reduction Estimator, RARE)已在陣列誤差自校準(zhǔn)[11–13]、陣列天線解基線模糊[14]以及近場(chǎng)源定位[15]等方面獲得應(yīng)用。由于多次高維數(shù)的行列式計(jì)算，RARE算法運(yùn)算量較大。針對(duì)L型陣列2D-DOA估計(jì)問(wèn)題，本文利用輔助角將2D-DOA估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為兩個(gè)1D-DOA估計(jì)問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，首先利用傳播算子獲得了一種較低代價(jià)的輔助角秩減估計(jì)器；其次利用輔助角估計(jì)結(jié)果得到某一條線陣陣列響應(yīng)的零空間，借鑒root-MUSIC算法[16]利用多項(xiàng)式求根方法獲得該入射角估計(jì)，同時(shí)另外一個(gè)入射角估計(jì)可由已得到的角度估計(jì)和輔助角估計(jì)通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算獲得。本文算法無(wú)需角度的2維搜索且獲得入射角估計(jì)后無(wú)需參數(shù)配對(duì)，其2D-DOA估計(jì)精度優(yōu)于現(xiàn)有的CODE, JEADE及root-MUSIC算法。

2 信號(hào)模型

其中

不失一般性，對(duì)陣列的信號(hào)模型做出以下假設(shè)：

(1)兩條均勻陣列各陣元均已校準(zhǔn)，且為保證無(wú)模糊測(cè)角，相鄰陣元間距滿足；

圖1 L型陣列結(jié)構(gòu)

3 基于秩減估計(jì)器的L型陣列2D-DOA估計(jì)算法

3.1傳播算子算法

其中

并且有限長(zhǎng)度數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣可由式(11)估計(jì)獲得：

3.2輔助角估計(jì)

則式(14)中的導(dǎo)向矢量(即軸線陣的導(dǎo)向矢量)可重新表達(dá)為

3.3入射角估計(jì)

3.4計(jì)算復(fù)雜度分析

表1 各算法運(yùn)算量統(tǒng)計(jì)

通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，本文算法和JEADE算法的運(yùn)算量較為接近，root-MUSIC算法和CODE算法間的運(yùn)算量較為接近。兩組算法之間運(yùn)算量的差異主要體現(xiàn)在多項(xiàng)式求根計(jì)算和是否需要額外的DOA配對(duì)算法方面。一方面，本文算法和JEADE算法的求根多項(xiàng)式由矩陣的行列式生成，其階數(shù)在信號(hào)數(shù)目較多時(shí)，將遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于由直接矩陣相乘得到求根多項(xiàng)式的root-MUSIC算法和CODE算法。另一方面，本文算法和JEADE算法完成信號(hào)的DOA估計(jì)后，無(wú)需額外的配對(duì)算法，相比root-MUSIC算法和CODE算法，在一定程度上降低了算法的運(yùn)算代價(jià)。

總體來(lái)看，在信號(hào)數(shù)目較少時(shí)，以上4種算法間的運(yùn)算量差異并不顯著；隨著信號(hào)數(shù)目的增加，本文算法和JEADE算法的運(yùn)算代價(jià)將顯著增加，且由于本文算法求根多項(xiàng)式的階數(shù)大于JEADE算法(本文算法求根多項(xiàng)式的階數(shù)約為JEADE算法的2倍)，因而本文算法的運(yùn)算代價(jià)將明顯大于其他3種算法。若僅從算法的運(yùn)算代價(jià)考慮，本文算法較為適合應(yīng)用于信號(hào)數(shù)目較小、信號(hào)快拍數(shù)目較大場(chǎng)合。

4 仿真驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)1 信噪比對(duì)算法性能的影響

天線陣列接收到來(lái)自遠(yuǎn)場(chǎng)的兩個(gè)非相干點(diǎn)目標(biāo)發(fā)射的信號(hào)，信號(hào)的入射角度分別為()和()。來(lái)波信號(hào)信噪比在到之間變化，各算法處理的信號(hào)快拍數(shù)目為。進(jìn)行次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)，參數(shù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖2所示。

圖2給出了不同信噪比條件下本文算法和JEADE算法的輔助角估計(jì)以及全部4種算法最終入射角估計(jì)的RMSE統(tǒng)計(jì)結(jié)果。由圖2可看出，隨著信噪比升高各算法的角度估計(jì)精度亦隨之提高。與JEADE算法相比，本文算法由于采用秩減估計(jì)器獲得了更高精度的輔助角估計(jì)，其最終的入射角RMSE統(tǒng)計(jì)結(jié)果亦優(yōu)于JEADE算法。而CODE算法和root-MUSIC算法由于只利用了部分陣元信息來(lái)獲得最終的入射角估計(jì)，因而角度估計(jì)精度略低于本文算法?？傮w上看來(lái)，不同信噪比條件下本文算法入射角估計(jì)的RMSE結(jié)果逼近CRLB，相比其它算法其角度估計(jì)精度更優(yōu)。

圖2 信噪比對(duì)算法性能影響

實(shí)驗(yàn)2 快拍數(shù)對(duì)算法性能的影響

天線陣列接收到來(lái)自遠(yuǎn)場(chǎng)的兩個(gè)非相干點(diǎn)目標(biāo)發(fā)射的信號(hào)，信號(hào)的入射角度分別為()和()。來(lái)波信號(hào)的信噪比為，各算法處理的信號(hào)快拍數(shù)目在到之間變化。進(jìn)行次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)，參數(shù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖3所示。

圖3 快拍數(shù)對(duì)算法性能影響

圖3給出了不同快拍數(shù)條件下本文算法和JEADE算法的輔助角估計(jì)以及全部4種算法最終入射角估計(jì)的RMSE統(tǒng)計(jì)結(jié)果。由圖3可以看出，各算法角度估計(jì)精度隨著快拍數(shù)增加而逐漸提高。在不同快拍數(shù)的條件下，本文算法輔助角估計(jì)精度優(yōu)于JEADE算法；本文算法最終的入射角估計(jì)RMSE接近CRLB且優(yōu)于其它各算法。

實(shí)驗(yàn)3 信源間相干特性對(duì)算法性能的影響

圖4 算法處理相干信號(hào)源的性能

圖4給出了不同相干系數(shù)條件下本文算法和JEADE算法的輔助角估計(jì)以及全部4種算法最終入射角估計(jì)的RMSE統(tǒng)計(jì)結(jié)果。由于未對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行解相干處理，全部4種算法角度估計(jì)RMSE結(jié)果隨著信號(hào)間相干性的增強(qiáng)而顯著惡化，而JEADE算法和root-MUSIC算法相比另外兩種算法性能惡化較為平緩，這歸功于特征分解技術(shù)的應(yīng)用[7]。不過(guò)在強(qiáng)相干信號(hào)()條件下，CODE算法DOA估計(jì)精度惡化的趨勢(shì)逐漸變緩，這是由于CODE算法采用了“共軛反轉(zhuǎn)”技術(shù)構(gòu)建了數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，一定程度上改善了其在強(qiáng)相干信號(hào)條件下的DOA估計(jì)性能?？傮w來(lái)看，在信號(hào)相干性適中和較弱的場(chǎng)合，本文算法的入射角估計(jì)精度仍優(yōu)于其它各算法。

5 結(jié)論

針對(duì)L型陣列2D-DOA估計(jì)問(wèn)題，本文提出了一種新的基于秩減估計(jì)器的算法。該算法利用輔助角將2D-DOA估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為1D-DOA估計(jì)問(wèn)題。通過(guò)一種基于傳播算子的秩減估計(jì)器獲得輔助角的高精度估計(jì)，傳播算子的應(yīng)用顯著降低了秩減估計(jì)器的運(yùn)算量。利用多項(xiàng)式求根的方法獲得某一入射角估計(jì)，并結(jié)合輔助角估計(jì)結(jié)果經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)換獲得另一入射角估計(jì)，避免了DOA搜索及配對(duì)的過(guò)程。本文算法的DOA估計(jì)精度優(yōu)于現(xiàn)有算法(如root-MUSIC, CODE和JEADE算法)且逼近DOA估計(jì)的CLRB。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法DOA估計(jì)的精確性。

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Rank Reduction Estimator Based Algorithm for Estimating 2D-DOA with L-shaped Array

Wei Zi-xiang Cui Wei Hou Jian-gang Wu Si-liang

(,,100081,)

A novel algorithm is proposed for Two-Dimensional (2D) Direction Of Arrival (DOA) estimation issue with L-shaped array. By introducing an auxiliary electrical angle, 2D-DOA estimation problem is solved by two-step 1D-DOA estimation. Firstly auxiliary electrical angle estimation is given by a propagator based RAnk Reduction Estimator (RARE). Then a cost function about one incident angle is obtained, and the incident angle estimation is given by K zeros of polynomial relating to the cost function. Finally, The other incident angle estimation is given by simple algebraic operation between the obtained auxiliary electrical angle and incident angle estimations. Computational burden analysis is given in this paper. It is shown that the proposed algorithm has a roughly same computational burden with JEADE algorithm, while both of them has larger burden than CODE and root-MUSIC algorithms. Further, the Root-Mean-Square-Error (RMSE) expressions of the incident angle estimates are derived to validate the performance of the proposed algorithm.

Signal processing; L-shaped array; Two-Dimensional Direction Of Arrival (2D-DOA); RAnk Reduction Estimator (RARE); Propagator Method (PM)

TN911.7

A

1009-5896(2015)08-1879-07

10.11999/JEIT141538

崔嵬 cuiwei@bit.edu.cn

2014-12-04收到，2015-03-23改回，2015-06-09網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版

上海航天科技基金(SAST201215)和新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃(NCET-13-0034)資助課題

魏子翔： 男，1987年生，博士生，研究方向?yàn)閿U(kuò)頻信號(hào)處理.

崔 嵬： 男，1976年生，教授，研究方向?yàn)槔走_(dá)信號(hào)處理.

侯建剛： 男，1976年生，講師，研究方向?yàn)槔走_(dá)信號(hào)處理.