一類具有飽和發(fā)生率和治療的SEIR模型

劉國永, 李桂花

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一類具有飽和發(fā)生率和治療的SEIR模型

劉國永, 李桂花

(中北大學(xué)數(shù)學(xué)系, 山西太原, 030051)

利用定義法給出SEIR模型的基本再生數(shù), 得到了各類平衡點(diǎn)存在的條件。利用Routh-Hurwitz判據(jù)證明了地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的; 利用第二加性復(fù)合矩陣證明了地方病平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定性的充分條件。

飽和發(fā)生率; 治療; 基本再生數(shù); 穩(wěn)定性

近20年來, 對于傳染病的研究已有很多成果, 利用動(dòng)力學(xué)方法分析傳染病流行規(guī)律建立控制策略的數(shù)學(xué)模型是方法之一。建立模型時(shí), 一般假定疾病的治療比率是固定的常數(shù), 但根據(jù)實(shí)際情況, 治療率不僅跟病人數(shù)量且與醫(yī)院資源都有關(guān)系, 如果患病人數(shù)超過醫(yī)院的最大容納量, 治療將受到一定的限制, 患病人數(shù)低于醫(yī)院的最大容納量, 病人的治療率將會(huì)大大提高?？紤]治療函數(shù)的傳染病模型[1-5], 系統(tǒng)通常會(huì)發(fā)生后向分支[1-8]。對系統(tǒng)性態(tài)分析過程中, 疾病的發(fā)生率也是影響模型性態(tài)的一個(gè)重要因素, 種群數(shù)量大小不同采用的傳染率函數(shù)也會(huì)不同。

關(guān)于治療函數(shù)的研究, Wang和Ruan[1]提出在醫(yī)療資源有限時(shí)采用常數(shù)治療率(將社區(qū)的治療容量看作常數(shù)), 當(dāng)患病者的數(shù)量很大時(shí), 這種治療函數(shù)是比較合理的。Wang等[2]考慮了更符合實(shí)際治療的治療函數(shù)。Zhang等[3]研究了具有飽和發(fā)生率及治療函數(shù)如(1)式的SIR模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài), 系統(tǒng)發(fā)生后向分支; Li等[4]考慮了具有非線性發(fā)生率及治療函數(shù)的動(dòng)力學(xué)性態(tài), 系統(tǒng)同樣存在后向分支。本文將考慮具有飽和發(fā)生率和治療的SEIR模型, 假設(shè)潛伏期的患者不具有傳染性, 患病者一旦恢復(fù)將終身免疫。

1 模型

2 平衡點(diǎn)的存在性

(4)

。 (6)

。 (9)

綜上可得定理2, 3。

3 平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

4 平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

5 結(jié)論

本文研究了一類具有飽和發(fā)生率和治療的SEIR模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài)。采用定義法給出模型的基本再生數(shù), 得到各類平衡點(diǎn)存在的條件。利用Routh-Hurwitz判據(jù)證明了地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的; 當(dāng)時(shí), 模型存在唯一的地方病平衡點(diǎn), 并且利用第二加性復(fù)合矩陣證明了地方病平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定性的。

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(責(zé)任編校:劉曉霞)

Analysis of an SEIR epidemic model with saturated rate and treatment

Liu Guoyong, Li Guihua

(Department of Mathematics, North University of China, Taiyuan 030051, China)

The basic reproduction number of the model is given by using the definition, and the existing threshold conditions of all kinds of the equilibrium points are obtained. Locally asymptotic stability of the endemic equilibriumis proven by using the Routh-Hurwitz criterion, and the sufficient conditions of global asymptotic stability of the endemic equilibriumis also obtained by using the second additive compound matrix.

saturated rate; treatment; basic reproduction number; stability

10.3969/j.issn.1672–6146.2015.02.006

O 175.1

1672–6146(2015)02–0014–05

劉國永, 1318790887@qq.com.

2015-01-16

國家自然科學(xué)基金(11201434)。