球面陣列基線測(cè)向算法的誤差分析

司偉建，趙嬪姣，劉魯濤

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球面陣列基線測(cè)向算法的誤差分析

司偉建，趙嬪姣，劉魯濤

(哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱，150001)

針對(duì)傳統(tǒng)立體基線測(cè)向算法中陣元擺放形式單一和天線盤體積受限等問(wèn)題，提出球面陣列基線測(cè)向算法。首先根據(jù)簡(jiǎn)單的幾何理論推導(dǎo)出輻射信號(hào)入射到不同基線得到的相位差公式，然后采用記憶梯度法求解3個(gè)相位差公式構(gòu)成的非線性方程，得到輻射信號(hào)的來(lái)波方向。最后通過(guò)推導(dǎo)與化簡(jiǎn)基于球坐標(biāo)下天線陣列的測(cè)向誤差公式，從理論上證明球面3根天線陣列被一平面截得的圓為球大圓時(shí)測(cè)向誤差最小，進(jìn)而提出天線陣列的最佳擺放形式。研究結(jié)果表明：與同類算法相比，該算法中陣元位置由平面擴(kuò)展到空間，擺放更加靈活，使得多模制導(dǎo)的導(dǎo)引頭中基線空間位置關(guān)系不受限制；所提算法的測(cè)向性能(測(cè)向均方誤差和解模糊概率)良好，對(duì)通道不一致系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性。

球面陣列基線法；測(cè)向性能；記憶梯度法

反輻射導(dǎo)彈(anti-radar missile, ARM)主要以防空系統(tǒng)中的無(wú)線電輻射源為目標(biāo)，重點(diǎn)打擊、摧毀防空系統(tǒng)雷達(dá)[1]。在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中多采用多模制導(dǎo)技術(shù)，在天線盤體積受限的情況下天線可能無(wú)法共面排列，因此，要求天線陣列具有更加靈活的擺放形式。被動(dòng)測(cè)向[2]目前主要有2類方法：空間譜估計(jì)法[3]和干涉儀測(cè)向法[4]?？臻g譜估計(jì)算法中比較典型的算法有波束形成(capon beam forming, CBF)[5]法、Capon最小方差(minimum variance method, MVM)[6]法、經(jīng)典MUSIC(multiple signal classification method)算法[7]、ESPRIT(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques)算法[8]、加權(quán)子空間擬合法(weighted subspace fitting ,WSF)[9]等。與空間譜估計(jì)法相比，干涉儀測(cè)向法具有實(shí)時(shí)性好、運(yùn)算量小、靈敏度高等優(yōu)點(diǎn)，但相位干涉儀測(cè)向方法在基線長(zhǎng)度大于輻射信號(hào)波長(zhǎng)的一半時(shí)會(huì)產(chǎn)生相位模糊。狄慧等[10]提出的基于聯(lián)合到達(dá)時(shí)間估計(jì)的長(zhǎng)基線測(cè)向算法具有較強(qiáng)的解模糊能力，但是系統(tǒng)復(fù)雜度較高。劉滿超等[11]提出四元T形陣列干涉儀測(cè)向解模糊方法，該算法通過(guò)計(jì)算聚類中心實(shí)現(xiàn)解模糊，但測(cè)向精度不高。在非均勻圓陣天線模型[12]中，天線間距不受寬頻帶測(cè)向中高頻段信號(hào)波長(zhǎng)的限制[13]，故其測(cè)向精度高，但該算法使得多模制導(dǎo)的導(dǎo)引頭中基線空間位置關(guān)系被約束在1個(gè)平面內(nèi)，故在實(shí)際應(yīng)用中難以實(shí)現(xiàn)。為此，本文作者提出一種球面陣列基線測(cè)向算法，實(shí)現(xiàn)陣元擺放形式從二維的平面陣列到三維的空間陣列的轉(zhuǎn)變，從而使陣元擺放形式更加靈活，使得多模制導(dǎo)的導(dǎo)引頭中基線空間位置關(guān)系不受限制。

1 測(cè)向原理

空間笛卡爾坐標(biāo)系測(cè)向系統(tǒng)如圖1所示，其中軸垂直向上，軸水平向右，軸代表天線視軸方向。射線為入射信號(hào)，將在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行投影：在平面內(nèi)投影與軸的夾角定義為方位角，記為；與面的夾角定義為仰角，記為；在平面內(nèi)的投影與軸夾角定義為航向角，記為；在平面內(nèi)投影與軸夾角定義為俯仰角，記為。這4個(gè)角具有如下關(guān)系：

圖1 入射信號(hào)模型

任意基線空間分布如圖2所示，3根天線陣元位于空間笛卡爾坐標(biāo)系中，空間位置坐標(biāo)為(x,y,z) (=1, 2, 3)，入射信號(hào)的載波波長(zhǎng)記為。假設(shè)不存在相位的多值模糊問(wèn)題，根據(jù)簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系推導(dǎo)出輻射信號(hào)入射到天線1，2和3得到不同的相位差：

(3)

(4)

(5)

圖2 任意基線空間分布

(6)

(7)

(8)

其中：k(=1, 2, 3)為任意整數(shù)。由于式(6)~(8)中任意一式可由另外2式的線性組合來(lái)表示，即三者是相關(guān)的，故通過(guò)3式中任意2式聯(lián)立的方法無(wú)法求解出和的數(shù)值解。因此，本文采用記憶梯度法[14]對(duì)關(guān)于和的非線性方程組進(jìn)行求解。將式(6)和(7)聯(lián)立構(gòu)造新的函數(shù)，有

2 球面陣列測(cè)向誤差推導(dǎo)

3根天線分布在球表面的任意位置，如圖3所示。在對(duì)測(cè)向誤差進(jìn)行理論推導(dǎo)時(shí)，假設(shè)天線基線長(zhǎng)度小于半波長(zhǎng)。分別對(duì)式(6)和式(7)兩邊變量和求偏導(dǎo)數(shù)后聯(lián)立求解可得：

圖3 球面基線空間分布

(15)

(16)

(17)

由文獻(xiàn)[15]可得：同一平面內(nèi)3根天線擺放成等邊三角形陣列時(shí)測(cè)向誤差最小。本文以此作為前提，研究空間位置不同的3根天線構(gòu)成的等邊陣列的測(cè)向性能。球面上3根天線構(gòu)成的平面對(duì)球體的截面為圓，依據(jù)截面圓的大小將截面圓分成2類：球大圓和球小圓。其中，截面圓周長(zhǎng)最大的圓為球大圓，其余為球小圓，如圖4所示。圖中只有，和3根天線所在平面為球大圓平面，其余全為球小圓平面。由于對(duì)下半球面陣元的研究與上半球面的原理相同，這里以上半球面為例研究空間位置對(duì)測(cè)向性能的影響。

假設(shè)在軸與上半球表面的交點(diǎn)處固定1根天線，記為天線1，滿足90°，0°。同時(shí)，在上半球表面上以軸為對(duì)稱軸取2個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，在這2個(gè)對(duì)稱點(diǎn)處擺放2根天線，分別記作天線2和天線3，滿足，；，。其中：和均表示區(qū)間范圍內(nèi)任意一個(gè)角度，且滿足(0°, 90°)，(0°, 180°)。將，，，，和代入式(16)和(17)，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得

圖4 球大圓平面和球小圓平面

將式(21)進(jìn)行三角變換，根據(jù)，和三者之間的關(guān)系可得

式(23)成立需滿足條件：

解得

將式(23)進(jìn)行三角變換，得

假設(shè)天線2在右半球面，天線2與原點(diǎn)連線在面投影與軸的夾角的取值范圍為(0°, 180°)。

圖5 天線方位角、仰角與空間位置關(guān)系

圖6 圖5中夾角x統(tǒng)計(jì)柱狀圖

由圖5和圖6可知：天線2和原點(diǎn)的連線與軸的夾角取85°~90°時(shí)，天線陣列對(duì)接近80%的來(lái)波方向進(jìn)行測(cè)向時(shí)，可使測(cè)向誤差最小。此時(shí)，天線2和3接近赤道面(用平面沿水平方向截1個(gè)球體，得到的最大圓所在平面稱為赤道面)，該3根天線陣列所在平面構(gòu)成近似球大圓。為此，提出球面陣列基線測(cè)向算法中使得測(cè)向誤差最小的天線最佳擺放位置，該最佳擺放位置為：沿球面分布3根天線陣列擺放成球大圓等邊陣列。

3 五元天線陣列的仿真模型

在實(shí)際測(cè)向中，天線間距可能大于輻射信號(hào)半波長(zhǎng)，用由三元天線構(gòu)成的一組天線陣列進(jìn)行測(cè)向會(huì)得到包含模糊多值的解，因此，三元天線陣列無(wú)法完成精確測(cè)向。若用多元天線構(gòu)成的多組天線進(jìn)行測(cè)向，則每組天線都會(huì)得到一組測(cè)向值且各個(gè)測(cè)向值之間相差較大，真實(shí)值即為一定誤差范圍內(nèi)各組天線共有的測(cè)向值，因此，采用多組天線進(jìn)行測(cè)向可以解決測(cè)向模糊問(wèn)題。但天線數(shù)目增加使得各天線間不一致性增加，因此，在實(shí)際中，大多采用五元天線陣列進(jìn)行測(cè)向。五元天線陣列測(cè)向原理與三元天線陣列的測(cè)向原理相同，相當(dāng)于同時(shí)進(jìn)行兩組三元天線陣列測(cè)向。從5個(gè)陣元中選取1個(gè)作為公共陣元，其余4個(gè)陣元平均分成2組，2組陣元分別與公共陣元組合按照前面介紹的原理重復(fù)進(jìn)行2次三元天線陣列測(cè)向。其中3根天線擺放成球大圓等邊三角形陣列以保證測(cè)向精度，另外2根天線與公共天線組合以解決測(cè)向模糊問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)精確測(cè)向。

在仿真過(guò)程中，取陣元所在球的半徑=100 mm，根據(jù)前面的結(jié)論球面五元天線陣列中選取3根天線陣列擺放成球大圓等邊三角形，另外2根天線陣列在公共天線兩側(cè)對(duì)稱擺放。五元天線陣列的坐標(biāo)分別為：1)；2)；3)； 4)；5)。這平面五元陣列的各天線坐標(biāo)見(jiàn)文獻(xiàn)[16]。在下面實(shí)驗(yàn)中，解模糊概率是指進(jìn)行100次Monte-Carlo測(cè)向統(tǒng)計(jì)，將實(shí)際測(cè)出的角度與理論值進(jìn)行對(duì)比得到測(cè)向誤差，若100次測(cè)向中有68次誤差小于設(shè)定門限值0.5°[17]，則認(rèn)為計(jì)算解模糊成功，將解模糊成功次數(shù)與測(cè)向總次數(shù)相比得到解模糊概率。DOA估計(jì)結(jié)果中航向角和俯仰角的聯(lián)合均方誤差計(jì)算式為

實(shí)驗(yàn)1 取頻率=12 GHz，快拍數(shù)=30，信噪比SN=12 dB。由于本文算法針對(duì)不相關(guān)信號(hào)進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì)，故選取4組不相關(guān)信號(hào)(方位角和仰角的點(diǎn)對(duì))入射到陣列，分別為(80°, 24°)，(85°, 120°)，(78°, 258°)和(87°, 298°)。圖7所示為本文算法進(jìn)行100次Monte-Carlo試驗(yàn)的估計(jì)結(jié)果。

圖7 4組不相關(guān)信號(hào)的方位角和仰角的估計(jì)結(jié)果

從圖7可以看出：本文所提算法可以較精確地估計(jì)不相關(guān)信號(hào)的來(lái)波方向。估計(jì)結(jié)果中存在個(gè)別估計(jì)值與其他試驗(yàn)結(jié)果誤差較大，但估計(jì)結(jié)果整體集中，各次試驗(yàn)的誤差均在±2°之內(nèi)，驗(yàn)證了本文所提算法的有效性。

實(shí)驗(yàn)2對(duì)比本文提出的球面陣列的立體基線測(cè)向算法與文獻(xiàn)[16]中的測(cè)向算法的測(cè)向性能。仿真條件如下：頻率8 GHz，方位角=60°，仰角=80°，相位差平均次數(shù)=100，信噪比分別為3，6，8和12 dB。2種算法的DOA估計(jì)的測(cè)向均方誤差和解模糊概率隨信噪比SN的變化分別如圖8和圖9所示。

由圖8和圖9可知：在相同信噪比條件下，本文所提算法的均方誤差整體小于文獻(xiàn)[16]中算法的均方誤差，兩者之間的差值在信噪比較低的情況下較明顯，隨著信噪比的增加兩者的差值逐漸減??；在相同的信噪比下，本文所提算法的解模糊概率大于文獻(xiàn)[16]中算法的解模糊概率。由于在求解來(lái)波方向時(shí)，本文算法采用記憶梯度法進(jìn)行多次迭代，故測(cè)向精度更高。取信噪比SN分別為3，6，8和12 dB。當(dāng)信噪比為 3 dB時(shí)，本文所提算法的最大均方誤差為0.48°，最小解模糊概率為0.9，解模糊概率隨著信噪比的增加而單調(diào)遞增，最終在信噪比SN≥8 dB時(shí)解模糊概率 為1。

1—本文算法；2—文獻(xiàn)[16]中算法

1—本文算法；2—文獻(xiàn)[16]中算法

實(shí)驗(yàn)3系統(tǒng)存在通道不一致時(shí)本文算法與文獻(xiàn)[16]中算法的測(cè)向性能分析。試驗(yàn)中，天線系統(tǒng)存在3°和10°的通道不一致(即在天線通道間人為加入的附加相位差最大值為3°和10°)，信噪比SN=12 dB，相位差平均次數(shù)分別取10，30，50，100和200次時(shí)，2種算法的DOA估計(jì)測(cè)向均方誤差隨相位差平均次數(shù)的變化如圖10所示，2種算法的DOA估計(jì)解模糊概率隨相位差平均次數(shù)的變化如圖11所示。

從圖10可以看出：當(dāng)天線系統(tǒng)通道不一致(在實(shí)際測(cè)向系統(tǒng)中由于環(huán)境溫度、濕度、器件、加工工藝等因素所致)和相位差平均次數(shù)相同時(shí)，本文算法的測(cè)向均方誤差小于文獻(xiàn)[16]中算法的測(cè)向均方誤差。當(dāng)相位差平均次數(shù)相同時(shí)，隨著天線系統(tǒng)存在的通道不一致性增加，測(cè)向均方誤差呈增大趨勢(shì)；當(dāng)天線系統(tǒng)存在的通道不一致性相同時(shí)，測(cè)向均方誤差隨相位差平均次數(shù)的增加而減小。圖11中，對(duì)比本文算法和文獻(xiàn)[16]中算法的解模糊概率隨信噪比的變化曲線可以看到：解模糊概率與天線系統(tǒng)存在的通道不一致程度成反比，與相位差平均次數(shù)成正比。綜上可以看出：當(dāng)系統(tǒng)存在通道不一致時(shí)，本文所提算法測(cè)向性能要優(yōu)于文獻(xiàn)[16]中算法測(cè)向性能，即本文算法對(duì)系統(tǒng)通道不一致有較強(qiáng)的魯棒性。

1—10°通道不一致，本文算法；2—10°通道不一致，文獻(xiàn)[16]中算法；3—3°通道不一致，本文算法；4—3°通道不一致，文獻(xiàn)[16]中算法

1—10°通道不一致，本文算法；2—10°通道不一致，文獻(xiàn)[16]中算法；3—3°通道不一致，本文算法；4—3°通道不一致，文獻(xiàn)[16]中算法

4 結(jié)論

1) 針對(duì)多模制導(dǎo)的導(dǎo)引頭中由于空間位置受限導(dǎo)致基線難以共面的問(wèn)題，提出了基于球面陣列的立體基線測(cè)向算法，該算法中陣元空間位置擺放靈活，使得基線的空間位置關(guān)系不受限制。

2) 該算法采用記憶梯度法求解相位差方程組，與其他求解非線性方程組的方法相比，記憶梯度法無(wú)需求解雅克比矩陣的逆矩陣，計(jì)算量較小。

3) 通過(guò)對(duì)球面3根天線陣元模型測(cè)向誤差公式的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，從理論上證明了球面3根天線陣列擺放成球大圓時(shí)測(cè)向誤差最小這一結(jié)論，進(jìn)而給出了立體基線測(cè)向算法中3根天線球面陣列的最佳擺放位置。

4) 由于實(shí)際測(cè)向中存在測(cè)向模糊，根據(jù)前面3根天線陣元模型的測(cè)向原理對(duì)5根天線陣元模型測(cè)向算法進(jìn)行仿真與分析，驗(yàn)證了本文所提算法的有效性，且本文測(cè)向算法測(cè)向性能優(yōu)于平面基線算法測(cè)向性能，本文算法對(duì)系統(tǒng)通道不一致有較強(qiáng)的魯棒性。

[1] 呂科. 防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)與反輻射導(dǎo)彈的對(duì)抗研究[J]. 航天電子對(duì)抗, 2006, 22(4): 1?3. Lü Ke. Countermeasures of air defense missile system against anti-radar missile[J]. Aerospace Electronic Warfare, 2006, 22(4): 1?3.

[2] ZHOU Rongguo, ZHANG Hualiang, XIN Hao. Improved two-antenna direction finding inspired by human ears[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2011, 59(7): 2691?2697.

[3] ZHENG Jimeng, Kaveh M. Sparse spatial spectral estimation: A covariance fitting algorithm, performance and regularization[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2013, 61(11): 2767?2777.

[4] Kebeli M. Extended symmetrical aperture direction finding using correlative interferometer method[C]// 2011 7th International Conference on Electrical and Electronics Engineering, ELECO. Bursa, 2011: II-209? II-213.

[5] Stoica P, WANG Zhizhong, LI Jian. Robust capon beamforming[C]// 2002 36th Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers. Pacific Grove, CA, USA, 2002: 876?880.

[6] Capon J. High-resolution frequency-wave number spectrum analysis[J]. Proceedings of IEEE, 1969, 57(8): 1408?1418.

[7] Kaveh M, Barabell A J. The statistical performance of the MUSIC and the minimum-norm algorithms in resolving plane waves[J]. IEEE Transactions Acoustics, Speech, Signal Processing, 1986, 34(2): 331?341.

[8] Roy R, Kailath T. ESPRIT-estimation of signal parameters via rotational invariance techniques[J]. IEEE Transactions Acoustics, Speech, Signal Processing, 1989, 37(7): 984?995.

[9] Jansson M, Swindlehurst A L, Ottersten B. Weighted subspace fitting for general array error models[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1998, 46(9): 2484?2498.

[10] 狄慧, 劉渝, 楊健, 等. 聯(lián)合到達(dá)時(shí)間估計(jì)的長(zhǎng)基線測(cè)向相位解模糊算法研究[J]. 電子學(xué)報(bào), 2013, 41(3): 496?500. DI Hui, LIU Yu, YANG Jian, et al. Long baseline direction finding unwrapping phase ambiguity algorithm with TOA estimation[J]. Acta Electronica Sinica, 2013, 41(3): 496?500.

[11] 劉滿超, 楊建紅. 四元T形干涉儀測(cè)向解模糊方法研究[J]. 信息通信, 2013(2): 31?33. LIU Manchao, YANG Jianhong. Study on the methods of solving direction finding ambiguity in T-array with four antenna[J]. Information & Comunication, 2013(2): 31?33.

[12] 張春杰, 李智東. 非均勻圓陣天線模型解模糊誤差研究[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2012, 34(8): 1525?1529. ZHANG Chunjie, LI Zhidong. Research on solving ambiguity error of nonuniform circular antenna array model[J]. Systems Engineering and Electronics, 2012, 34(8): 1525?1529.

[13] 毛虎, 楊建波, 劉鵬. 干涉儀測(cè)向技術(shù)現(xiàn)狀與發(fā)展研究[J]. 電子信息對(duì)抗技術(shù), 2010, 25(6): 1?6. MAO Hu, YANG Jianbo, LIU Peng. The actuality and development of phase interferometer technology[J]. Electronic Warfare Technology, 2010, 25(6): 1?6.

[14] 湯京永, 董麗.一類新的求解非線性方程組的記憶梯度法[J]. 信陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2011, 24(3): 311?312. TANG Jingyong, DONG Li. A new memory gradient method for solving nonlinear equations[J]. Journal of Xinyang Normal University (Nature Science Edition), 2011, 24(3): 311?312.

[15] 司偉建, 萬(wàn)良田. 立體基線算法的測(cè)向誤差研究[J]. 彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào), 2012, 32(4): 13?17. SI Weijian, WAN Liangtian. The research on direction-finding with spatial baseline[J]. Rockets, Missiles and Guidance, 2012, 32(4): 13?17.

[16] 司偉建, 初萍, 孫圣和. 基于半圓陣的解模糊技術(shù)研究[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2008, 30(11): 2128?2131. SI Weijian, CHU Ping, SUNG Shenghe. Research on solving ambiguity technology based on semi-circle array[J]. Systems Engineering and Electronics, 2008, 30(11): 2128?2131.

[17] GU Jie. Wavelet threshold de-noising of power quality signals[C]// 2009 5th International Conference on Natural Computation, ICNC. Tianjin, China, 2009: 591?597.

(編輯 陳燦華)

Direction finding error of spatial baseline algorithm based on spherical array

SI Weijian, ZHAO Pinjiao, LIU Lutao

(College of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

To deal with the scenario that the placement form of antennas is single and the placement space of antennas is finite, which is common in traditional spatial baseline algorithm, a novel algorithm based on spherical array was proposed. Firstly, the phase difference expressions of incident signal impinging on the different antennas were deduced on the basis of simple geometric theory. Then, nonlinear equations consisting of three phase-error formulas were solved by taking advantages of the memory gradient method, and the direction of arrival (DOA) of the incident signal was obtained. Finally, through derivation and simplification of error formulas of azimuth angle and elevation angle in the spherical coordinates, it was proved that when three antenna arrays were placed in the biggest circle, the direction-finding error was the miminum, thus the best format of antenna arrays in the proposed algorithm could be given. Compared with other similar existing algorithms, the arrays in the proposed algorithm could be placed in three-dimensional space instead of two-dimensional plane, which eliminates the limitation that baselines must be coplanar in the seeker of multimode guidance. The simulation results demonstrate the effectiveness and better direction-finding performance of the proposed algorithm when considering the root mean square error and solving ambiguity probability. Moreover, the proposed algorithm is robust to channel inconsistency.

spherical array baseline algorithm; direction-finding performance; memory gradient method

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.09.022

TN911

A

1672?7207(2015)09?3317?08

2014?09?12；

2014?11?29

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61201410)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目(HEUCF130804) (Project(61201410) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(HEUCF130804) supported by the Fundamental Research Funds for the Central University)

司偉建，博士，研究員，從事寬帶信號(hào)處理、檢測(cè)與識(shí)別及高分辨高精度測(cè)向技術(shù)研究；E-mail: swj0418@263.net