二次直紋曲面的新判別法

熊宗洪，姚　娟

（貴州民族大學(xué) 理學(xué)院，貴州 貴陽 550025 ）

二次直紋曲面的新判別法

熊宗洪，姚娟

（貴州民族大學(xué) 理學(xué)院，貴州 貴陽 550025 ）

本文先給出二次直紋曲面的判別法則，并利用四類經(jīng)典二次直紋曲面的某些性質(zhì)，建立了它們相應(yīng)的新判別法則。最后，舉出若干實(shí)例加以應(yīng)用。

直紋曲面；二次錐面；二次柱面；單葉雙曲面；雙曲拋物面；直母線；新判別法

在空間解析幾何中，二次直紋曲面是一類很重要的曲面，對(duì)二次直紋曲面最為經(jīng)典的判別法是利用不變量和半不變量［1，2］。本文先給出二次直紋曲面的判別法則，再分別利用四類經(jīng)典二次直紋曲面的某些性質(zhì)，系統(tǒng)地建立了相應(yīng)的新判別法則。無疑，這是對(duì)空間解析幾何該部分內(nèi)容的一個(gè)補(bǔ)充。

1.二次直紋曲面的統(tǒng)一方程及判別法則

所謂直紋曲面是指由一族或幾族直母線所生成的曲面。對(duì)直紋曲面的研究，首先考慮函數(shù)方程，其中

這里Ai、Bi、Ci、Di（i=1，2，3，4）為實(shí)數(shù)，且A1、B1、C1、A3、B3、C3和A2、B2、C2、A4、B4、C4不同時(shí)為零或A1、B1、 C1、 A4、 B4、 C4和A2、B2、C2、A3、B3、C3不同時(shí)為零。

判定定理1 設(shè)有如上的方程 F（x，y，z）=0，則它的圖像為二次直紋曲面S。

證明

將方程 F（x，y，z）=0 改寫為

考慮方程組其中1λ、2λ是不同時(shí)為零的任意實(shí)數(shù)。對(duì)于12：λ λ的每一比值，方程（2）表示一條直線，稱為λ族直（母）線?，F(xiàn)在證明，λ族直線可以構(gòu)成整個(gè)曲面S，從而它是曲面S的一族直線。為此需要證明以下兩點(diǎn)。

（i）λ族直線中的每一直線在曲面S上。

當(dāng)120λ λ≠時(shí)，將（2）中的兩式相乘得到方程（1），這表明當(dāng)120λ λ≠時(shí)，（2）表示的直線在曲面S上。當(dāng)120λ λ=時(shí)，如，則（2）式變?yōu)?/p>

（ii）在曲面 S上的每一點(diǎn)處，必有直線族（2）中一條直線經(jīng)過該點(diǎn)。

考慮方程組

這是關(guān)于1λ、2λ的二元一次齊次方程組，并由（3）式可知，系數(shù)行列式為零。從而上述方程組有非零解，因而可唯一確定比值12：λ λ，于是直線族（2）中有唯一一條直線過0P。

注：（2）表示的直線為λ族直線，也可以將（1）式改為μ族直（母）線：

并且同理可證它也可以構(gòu)成整個(gè)曲面S，從而它也是曲面S的一族直線.

由判定定理1及其證明過程知，無論λ族直線還是μ族直線均可以生成直紋曲面。在此，指出兩個(gè)概念：若直紋曲面由一族直線生成，稱它為 1參數(shù)直紋曲面；若直紋曲面由兩異族直線生成，稱它為2參數(shù)直紋曲面。

2.四類直紋曲面的某些性質(zhì)及新判定法則

現(xiàn)列出空間解析幾何教材中直紋曲面的部分性質(zhì)［3］，并通過這些性質(zhì)給出四類經(jīng)典直紋曲面的新判定法則。

性質(zhì)1 柱面和錐面均為1參數(shù)直紋曲面，而單葉雙曲面和雙曲拋物面均為2參數(shù)直紋曲面。

性質(zhì) 2 非平面的錐面和單葉雙曲面同族的任意三條兩兩不同的直母線不平行于同一平面。

性質(zhì) 3 柱面和雙曲拋物面同族的所有直母線都平行于同一平面。

記直紋曲面的同族中任意三條兩兩不同直母線的方向向量的混合積為Δ，并結(jié)合性質(zhì) 1、2、3給出二次直紋曲面的新判別法則。

判定定理2 （1）設(shè)曲面S是1參數(shù)直紋曲面，若0Δ=，則S是柱面；若0Δ≠，則S是非平面的錐面。（2）設(shè)曲面S是2參數(shù)直紋曲面，若0Δ=，則S是雙曲拋物面；若0Δ≠，則S是單葉雙曲面。

3.實(shí)例研究

利用判定定理 1可以將所給二次曲面判別為直紋曲面，再由判定定理 2可以將直紋曲面具體判定為四類經(jīng)典二次直紋曲面。下面舉出若干例子進(jìn)行說明。

3.1.例1

試問方程

為何種曲面？

解：記所給方程為F（x，y，z）=0，則方程F（x，y，z）=0可以改寫為

顯然，上式具有本文提及的方程形式，由判定定理1可知，方程 F（x，y，z）=0為直紋曲面。進(jìn)一步，它的λ族直線和μ族直線分別為

易知，它們?yōu)橥环匠探M，由性質(zhì) 1可得，F(xiàn)（x，y，z）=0表示的曲面為1參數(shù)曲面，從而它或?yàn)殄F面或?yàn)橹?，需要繼續(xù)判別。為此，取λ族直線的任意三條兩兩不同的直母線

其方向向量為

綜上，F(xiàn)（x，y，z）=0為1參數(shù)的直紋曲面且同族直母線中任意三條兩兩不同直母線的方向向量的混合積為零。由判定定理2可得，F(xiàn) （x，y，z）=0為柱面。

3.2.例2

證明方程

表示錐面。

證明：原方程可以改寫為

由判定定理1，方程表示直紋曲面，考慮它的兩族族直線

顯然，它們?yōu)橥环匠探M。由性質(zhì)1可知，方程為1 參數(shù)曲面?，F(xiàn)取λ族直線的任意三條兩兩不同的直母線

其方向向量為

因L1、L2、L3是三條兩兩不同的直線，則x、y、z兩兩不同，從而

當(dāng)30v=時(shí)，30u≠，亦有類似結(jié)論。

綜上所述，曲面為 1參數(shù)的直紋曲面且同族直母線中任意三條兩兩不同直母線的方向向量的混合積不為零，由判定定理2，方程表示非平面的錐面。

3.3.例3

解：原方程可以改寫為

由判定定理 1可知，方程為直紋曲面，考慮它的兩族族直線

其方向向量分別為

假設(shè)它們共線，則有比例關(guān)系

其方向向量為

易計(jì)算得3個(gè)向量的混合積

于是，該方程為1參數(shù)的直紋曲面且同族直母線中任意三條兩兩不同直母線的方向向量的混合積為零，由判定定理2，曲面為雙曲拋物面。

3.4.例4

判別方程

的幾何形狀.

解：用析因式法將原方程可以改寫為

由判定定理1，方程表示直紋曲面，考慮它的兩族族直線

其方向向量為

易證得，當(dāng)1λ、2λ和1μ、2μ都不全為零時(shí)，兩方向向量不共線。由性質(zhì)2可得，該直紋曲面是2參數(shù)的?？紤]λ族直線的任意三條兩兩不同的直母線

其方向向量為

經(jīng)過計(jì)算和整理可得，這3個(gè)向量的混合積

對(duì)于0Δ≠的情形，已在例2中討論。

綜上，曲面為 2參數(shù)的直紋曲面且同族直母線中任意三條兩兩不同直母線的方向向量的混合積不為零，由判定定理2可知，曲面為單葉雙曲面。

［1］李養(yǎng)成.空間解析幾何［M］.新版.北京：科學(xué)出版社，2010.

［2］呂林根，許子道.空間解析幾何［M］.第四版.北京：高等教育出版社，2005.

［3］黃宣國.空間解析幾何與微分幾何［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2003.

The New Criterion of Quadric Ruled Surfaces

XIONG Zonghong，YAO Juan
（School of Science，Guizhou Minzu University，Guiyang，Guizhou 550025，China ）

Firstly，the paper provided judging rule for quadric ruled surfaces. By using some properties of four kinds of classic quadric ruled surfaces，a new criterion was set up. Finally，the paper gave some examples for applying the rules.

ruled surface；quadric cone；quadric cylinder；uniparted hyperboloid；hyperbolic paraboloid；rectilinear generator；new criterion

O182.2

A

1673-9639 （2015） 04-0161-04

（責(zé)任編輯 毛志）（責(zé)任校對(duì) 徐松金）（英文編輯 田興斌）

2015-05-27

本文系貴州省科技廳聯(lián)合基金（黔科合LH字［2014］7378），貴州省數(shù)學(xué)建模及應(yīng)用創(chuàng)新人才團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目（黔教科研發(fā)［2013］405號(hào)）研究成果。

熊宗洪（1982-），男，貴州思南人，講師，碩士，研究方向：奇點(diǎn)理論。