占龍俊，黃心中

（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建泉州362021）

調(diào)和映照與像域?yàn)榫€性連結(jié)的剪切函數(shù)的關(guān)系

占龍俊，黃心中

（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建泉州362021）

調(diào)和映照；線性連結(jié)；調(diào)和擬共形映照；α近于凸.

1 預(yù)備知識(shí)

Huang［3］對(duì)Chuaqui等［2］所得的結(jié)論進(jìn)一步推廣，得到不少有趣的成果.Huang［3］還特別指出，在一定條件下，f（D）的線性連結(jié)性與f（z）的擬共形性，及h（D）線性連結(jié)性與h（z）的單葉性是一對(duì)不變量.文獻(xiàn)［6－8］分別對(duì)單葉調(diào)和映照的性質(zhì)及穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行研究.

Chen等［10］證明了定理C［2］.

2 主要結(jié)果及證明

證明 假設(shè)F（z）＝h（z）－g（z），若h（z）在D上不單葉，則存在z1，z2∈D，且z1≠z2，使得h（z1）＝h（z2）.由h（z）＝F（z）＋g（z），則F（z2）－F（z1）＝g（z1）－g（z2）.根據(jù)F（z）的單葉性，令w＝F（z）有w2－w1＝g（F－1（w1））－g（F－1（w2））.由于F（D）是M－線性連結(jié)區(qū)域.則存在連結(jié)w1－w2∈F（D）的可求長(zhǎng)曲線γ∈F（D）滿足l（γ）≤M｜w1－w2｜，即

這與w2－w1＝g（F－1（w1））－g（F－1（w2））矛盾，從而說(shuō)明h（z）在D上單葉.

令ξ＝h（F－1（w））＝w＋g（F－1（w）），任意ξ1，ξ2∈h（D），存在w1，w2∈F（D），使ξ1＝h（F－1（w1）），ξ2＝h（F－1（w2））.由于F（D）是M－線性的連結(jié)區(qū)域，則存在γ為連結(jié)w1，w2的曲線，使l（γ）≤M｜w1－w2｜.取Γ＝h（F－1（γ）），有

又

又

相應(yīng)于定理C的結(jié)果，進(jìn)一步研究其參數(shù)化的情況，得到定理2.

證明 因F（z）為D上α近于凸映照，由文獻(xiàn)［6］得F（z）在D上的單葉，且F（D）是1／cos（απ／2）－線性連結(jié)區(qū)域，則由定理C可得h（z）在D上的單葉.

令ξ＝h（F－1（w））＝w＋g（F－1（w）），任意ξ1，ξ2∈h（D），存在w1，w2∈F（D），使ξ1＝h（F－1（w1）），ξ2＝h（F－1（w2））.由于F（D）是1／cos（απ／2）－線性連結(jié)區(qū)域，則存在γ為連結(jié)w1，w2的曲線，使l（γ）≤1／cos（απ／2｜w1－w2｜）.取Γ＝h（F－1（γ）），有

又

又

注1 注意到當(dāng)｜λ｜＜1時(shí)，這時(shí)t可以取到小于2的常數(shù).

又

對(duì)于fλ（z）＝h（z）＋λg（z）時(shí)，采用相同的證明方法，可得到定理3中的結(jié)論.定理3證畢.

在定理1，2，3中，若F（z）＝h（z）＋g（z）有相應(yīng)的假定，結(jié)論仍是成立的.

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Relation Between Harmonic Mapping and Its Shear Function With Linearly Connected Image Domain

ZHAN Long－jun，HUANG Xin－zhong

（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

harmonic mapping；linearly connected domain；harmonic quasiconformal mapping；α－close－to convex

陳志賢 英文審校：黃心中）

O174.51；O174.55文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

1000－5013（2015）05－0603－06 doi：10.11830／ISSN.1000－5013.2015.05.0603

2015－01－05

黃心中（1957－），男，教授，博士，主要從事函數(shù)論的研究.E－mail：huangxz＠hqu.edu.cn.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11471128）；福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2014J01013）