無功補(bǔ)償電容器組參數(shù)在線辨識方法

牛勝鎖，梁志瑞，蘇海鋒，趙 飛

（華北電力大學(xué) 新能源電力系統(tǒng)國家重點實驗室，河北 保定 071003）

0 引言

電力系統(tǒng)中并聯(lián)電容器組向系統(tǒng)提供無功補(bǔ)償，提高節(jié)點電壓，減少線路損耗。同時，為了限制合閘涌流及起到一定的諧波濾除作用，往往在電容器組中串聯(lián)一定電抗率的電抗器。電容器組的正常運(yùn)行對電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定十分重要，因此，一般每年都要安排對其進(jìn)行預(yù)防性試驗，檢測電容器組各項參數(shù)是否正常。進(jìn)行預(yù)防性試驗時，測量電容器需拆除連接線，不僅工作量大而且易損壞電容器。目前，也有專門的電力電容器電容量測試儀，測量時不需拆除電容器的連接線，但也要停電加信號進(jìn)行測試[1]。電容器組參數(shù)的在線辨識可避免以上問題，同時，還可以在線分析電容器組的并聯(lián)諧振問題[2-4]及其有功損耗情況[5]，為實現(xiàn)設(shè)備的狀態(tài)檢修及智能電網(wǎng)的建設(shè)提供幫助。

本文對電容器組參數(shù)的在線辨識方法進(jìn)行了研究，建立電容器組的基波及諧波模型，提出了通過同步測量投運(yùn)電容器組的電壓、電流，利用加窗插值快速傅里葉變換（FFT）分析基波和諧波信息，進(jìn)而利用電壓、電流的基波及諧波信息進(jìn)行電容器組參數(shù)在線辨識的方法，仿真和現(xiàn)場試驗驗證了其可行性。

1 電容器組參數(shù)在線辨識理論算法

1.1 電容器組回路等效電路模型

串聯(lián)電抗器的電容器組的單相等效電路模型[5]如圖1所示，圖中，C為無功補(bǔ)償電容器的電容值；L為串聯(lián)的電抗器的電感值；R為電容器和電抗器的等效電阻。通過測量回路的電壓、電流，分析基波和諧波相量，可得到各個參數(shù)。

圖1 電容器組回路等效電路圖Fig.1 Equivalent circuit diagram of capacitor branch

1.2 電容器組參數(shù)辨識算法

測量電容器回路的電壓和電流，并對其進(jìn)行傅里葉變換，可以得到基波及各次諧波的電壓、電流相量：U1、I1，U2、I2，…，Uh、Ih。 通過以上數(shù)據(jù)，結(jié)合圖1所示電路圖可列出如下方程組：

其中，X1為回路對應(yīng)的基波電抗值；Xh（h=2，3，…）為回路對應(yīng)的h次諧波電抗值。

對于電阻值的測量，理論上可通過其中任何一個方程按R=Re（Ui/Ii）求得電阻值，也可綜合考慮基波及諧波信息進(jìn)行冗余測量。但在實際測量中發(fā)現(xiàn)基波電壓、電流測量的準(zhǔn)確度要優(yōu)于諧波電壓、電流測量的準(zhǔn)確度，因此電阻值按式（2）計算比綜合利用基波和諧波信息計算有更高的測量精度。

對于電容和電感值的測量，為了表述方便，記Zi=Ui/Ii，則式（1）可寫為：

R 可按式（2）計算，則式（3）變?yōu)椋?/p>

理論上，在式（4）中，選擇基波和任何一次諧波相量或者選擇任何2次諧波相量即可求解得出L和1/C。但在實際測量中，測得的基波及諧波相量均有誤差，只利用基波及某一次諧波相量信息計算所得結(jié)果的精度及穩(wěn)定性受隨機(jī)誤差影響較大，效果較差。為了增加測量的冗余度，以便進(jìn)一步提高測量結(jié)果的精度，可將測得的基波及含量較大的各次諧波相量信息均用于電容器參數(shù)的辨識。當(dāng)利用基波、2次以上諧波相量信息計算參數(shù)時，式（4）為超定方程組，記：

則式（4）可寫為：

其最小二乘解為：

對離散采樣的電壓、電流數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可得基波及各次諧波的頻率、幅值及相位，則Z和H均可求得，通過式（6）即可求得L和1/C值。

在上述計算過程中，準(zhǔn)確地測量計算頻率、基波及諧波相量對得到準(zhǔn)確的電容器參數(shù)至關(guān)重要。在實際測量中，系統(tǒng)頻率總是在一定范圍內(nèi)波動，由于非同步采樣和數(shù)據(jù)截斷時會產(chǎn)生頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)[6-7]，影響基波和諧波分析的精度，進(jìn)而影響電容器參數(shù)測量的準(zhǔn)確度。為了減小非同步采樣和數(shù)據(jù)截斷帶來的誤差，通常采用加窗插值傅里葉變換算法[8-14]，常用的窗函數(shù)有漢明窗[8]、Blackman 窗[9]、Blackman-Harris窗[10]等，以上加窗插值FFT算法在減少譜泄漏引起的測量誤差方面都取得了一定效果。為了進(jìn)一步提高測量精度，本文采用8項最小旁瓣余弦窗[13]進(jìn)行加窗插值FFT，測量結(jié)果精度較加經(jīng)典的常用窗函數(shù)有較大提高。

2 采樣數(shù)據(jù)的加窗插值FFT處理算法

2.1 窗函數(shù)的選擇

為了降低頻譜泄漏對測量帶來的誤差，應(yīng)選擇旁瓣峰值電平小且旁瓣漸近衰減速率大的窗函數(shù)對信號進(jìn)行處理。具有良好旁瓣性能的最小旁瓣窗是一種余弦組合窗，其時域表達(dá)式為：

其中，M 為窗函數(shù)的項數(shù)；n=1，2，…，N-1，其中 N 為采樣點數(shù)。

幾種旁瓣性能較好的最小旁瓣窗函數(shù)系數(shù)如表1所示[13]，表2給出了最小旁瓣窗及其他余弦組合窗的旁瓣特性。

表1 6、7、8項最小旁瓣窗的系數(shù)Table 1 Coefficients of 6-，7-and 8-term minimum sidelobe windows

表2 余弦組合窗的旁瓣特性比較Table 2 Comparison of sidelobe characteristics among cosine composite windows

由表2可以看出8項最小旁瓣窗具有很小的旁瓣峰值，且具有很大的主瓣寬度，本文選擇該窗對被分析信號進(jìn)行加窗處理，可以起到很好的頻譜泄漏抑制效果。

2.2 加窗插值算法

以含整數(shù)次諧波分量的信號x（t）為例進(jìn)行分析，x（t）以采樣頻率fs均勻采樣得到的離散時間信號為：

其中，H為含有諧波分量的個數(shù)；fs為采樣頻率；當(dāng)i=1 時，ri=1，f1、A1、φ1分別為基波信號的頻率、幅值和初相位；當(dāng) i≠1 時，ri、Ui、φi分別為第 i項諧波信號的次數(shù)、幅值和初相位；n=1，2，…，N為采樣點編號。

對 x（n）加如式（7）所示的余弦窗函數(shù)，可得到xw（n） =x（n）wN（n），忽略負(fù)頻點旁瓣的影響，xw（n）的離散傅里葉變換為：

其中，Δf=fs/N；W（k）為窗函數(shù)的離散傅里葉變換。

考慮到N?1，式（10）可近似表示為：

為不失一般性，設(shè)需要測量的為第i（i≤H）次諧波，為簡單起見，忽略其余各次諧波對第i次諧波的泄漏影響，此時，式（9）變?yōu)椋?/p>

對于第i次諧波，對信號非同步采樣時，由于柵欄效應(yīng)，信號的頻率kiΔf很難正好位于抽樣頻點上，即ki=fi/Δf一般不是整數(shù)。設(shè)在峰值頻點ki附近抽樣得到的幅值最大譜線為ka，其左邊譜線為ka-1，右邊譜線為 ka+1，記 δ=ki-ka，則有-0.5＜δ＜0.5，準(zhǔn)確地求得δ是求解問題的關(guān)鍵。在非同步采樣情況下，加窗FFT后幅值最大譜線及其左右譜線均具有較大幅值，說明含有豐富的與實際譜線相關(guān)的信息，3根譜線的信息均可用于插值修正[15]。 記，另記：

由式（12）和式（13）可得：

當(dāng) N 較大時，式（14）一般可以簡化為 α=g（δ），其反函數(shù)記為 δ=g-1（α）。 當(dāng)窗函數(shù) wN（n）為實系數(shù)時，其幅頻響應(yīng) W（2πf）是偶對稱的，因此函數(shù) g（·）及其反函數(shù) g-1（·）都是奇函數(shù)。 計算 δ=g-1（α）可采用多項式逼近方法。采用8項最小旁瓣窗函數(shù)，在MATLAB中通過仿真，用擬合函數(shù)polyfit（·）擬合可得：

求得δ后，可求得信號i次諧波頻率：

信號的幅值和相位也可通過關(guān)于δ的修正函數(shù)求得。

為了更準(zhǔn)確地求得信號的幅值，將y1、y2和y3用于幅值修正。通過對這3根譜線幅值進(jìn)行加權(quán)平均計算出實際的峰值點的幅值。考慮到y(tǒng)2為最大譜線幅值，在加權(quán)平均時給y2以較大權(quán)重。由式（12）可得，從而有：

由式（17）得：

對于一般的實系數(shù)窗函數(shù)，當(dāng)N較大時，式（18）可表示為 A1=N-1（y1+2y2+y3）v（δ）的形式，其中 v（·）是偶函數(shù)。采用多項式逼近求出函數(shù)v（·）的近似計算公式，結(jié)果中將不含有奇次項。采用8項最小旁瓣窗時，在MATLAB環(huán)境下通過仿真，利用擬合函數(shù) polyfit（·）擬合可得：

信號的相位由式（12）可得：

結(jié)合式（6），式（20）近似可表示為：

通過對輸入的電壓、電流信號用8項最小旁瓣窗函數(shù)進(jìn)行加窗處理，進(jìn)行FFT，再按式（13）—（21）插值修正公式計算基波頻率f1及基波、諧波的電壓、電流的幅值和相位后，即可按式（2）和式（6）計算得到電容器組回路參數(shù)R、C、L。

3 仿真試驗

為了驗證本文算法的可行性，在MATLAB環(huán)境下進(jìn)行了仿真試驗，圖1所示模型中，電抗率取為較普遍的 12%，各元件取值為：C=215 μF，L=5.66 mH，R=0.05 Ω。所加電壓信號表達(dá)式為：

各次電壓幅值及相位如表3所示，對應(yīng)的電流信號表達(dá)式為：

其中，Zi為回路的i次諧波阻抗。取f1=50.5 Hz，采樣頻率fs=12.8 kHz，采樣點數(shù)N=2560。

表3 仿真信號電壓的基波及諧波成分Table 3 Fundamental and harmonic components of voltage simulation signal

對輸入的電壓、電流信號分別用Hanning窗[14]、Blackman 窗[14]、Blackman-Harris窗[12]雙譜線插值FFT和本文方法進(jìn)行處理，本文方法的仿真實驗程序流程如圖2所示，圖中，fu1、fi1分別為基波電壓和基波電流的頻率；fuh、fih分別為第h次諧波電壓和電流的頻率。計算出基波頻率f1及基波和各次諧波的電壓、電流的幅值和相位后去除含量較低的偶次諧波信息，選擇基波和含量相對較高的3、5、7、9次諧波相量信息按式（2）和式（6）計算電容器組回路參數(shù)R、C、L。仿真試驗結(jié)果見表4。

圖2 仿真程序流程圖Fig.2 Flowchart of simulation

表4 R、L、C相對誤差比較Table 4 Comparison of relative error of R，L and C

由表4數(shù)據(jù)可看出，8項最小旁瓣窗具有良好的頻譜泄漏抑制作用，本文方法測量結(jié)果與加Hanning、Blackman和Blackman-Harris雙譜線插值算法相比精度要高出幾個數(shù)量級。

為了仿真實際測量情況，對如式（22）和式（23）信號采樣的離散數(shù)據(jù)加入白噪聲干擾，電壓、電流信號的信噪比均為70 dB（本文測量系統(tǒng)所用的AD轉(zhuǎn)換器性能優(yōu)于70 dB），電網(wǎng)頻率為49.50、49.75、50.00和50.25 Hz時本文方法的單次測量結(jié)果誤差見表5。通過觀察多次測量結(jié)果發(fā)現(xiàn)單次測量誤差εR＜2%、εL＜1%、εC＜0.5%，通過多次測量求平均值可獲得更高精度。由此可以看出本文方法能有效克服電網(wǎng)基波頻率變動對測量結(jié)果的影響，同時在測量數(shù)據(jù)含有白噪聲但信噪比足夠大時也具有一定的測量精度，可用于實際測量。

表5 不同頻率下測量結(jié)果的相對誤差Table 5 Relative error of measurements under different frequencies

4 測量系統(tǒng)的硬件實現(xiàn)

基于本文算法，在研制的電能質(zhì)量監(jiān)測儀上實現(xiàn)電容器組參數(shù)的在線辨識功能。測量系統(tǒng)的硬件結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 測量儀器硬件結(jié)構(gòu)框圖Fig.3 Hardware framework of measuring equipment

數(shù)據(jù)采集模塊主要由電壓電流互感器、信號調(diào)理電路、抗混疊濾波器和A/D轉(zhuǎn)換器等電路組成。A/D轉(zhuǎn)換器采用ADI公司的16位高速、6通道同步采樣芯片ADS8364。裝置對每通道的采樣速率設(shè)定為12.8 kHz。為了適應(yīng)數(shù)據(jù)的高速采樣，采用雙CPU結(jié)構(gòu)。DSP采用TI公司的數(shù)字信號處理芯片TMS320F2812，負(fù)責(zé)ADC轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)的讀取及放入雙口RAM。數(shù)據(jù)處理核心部分選擇使用三星公司的S3C2440AL-40ARM芯片作為主控芯片，它擁有一個ARM9內(nèi)核，穩(wěn)定運(yùn)行于400 MHz，負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)的處理及通信等工作。

5 現(xiàn)場實際運(yùn)行

在滄州地區(qū)電網(wǎng)某220 kV變電站進(jìn)行了電容器組參數(shù)的現(xiàn)場實測，該變電站無功補(bǔ)償電容器組裝設(shè)在10 kV母線上，10 kV母線為單母線分段接線，兩段母線各裝設(shè)4組電容器組。

首先給出Ι段母線521號電容器組參數(shù)的測量數(shù)據(jù)。該電容器組電容銘牌參數(shù)為212 μF，串聯(lián)的電抗器的電抗率為4.5%，據(jù)此可算出其電感值為2.1507 mH。采樣頻率為12.8 kHz，截取的數(shù)據(jù)采樣點數(shù)N=2560。對采樣的電壓、電流信號用第2節(jié)所述方法進(jìn)行加窗插值FFT分析，某次測量計算得到的基波頻率f1=49.966 Hz，電壓和電流的基波及含量相對較大的3、5、7和9次諧波的幅值和相位如表6所示。

表6 被測電壓、電流信號的分析結(jié)果Table 6 Results of signal analysis for measured voltage and current

利用表6數(shù)據(jù)再根據(jù)第1節(jié)所述方法進(jìn)行參數(shù)計算可得：R=0.275 Ω、C=210.52 μF、L=2.131 mH，與銘牌值基本一致。

在參數(shù)實際測量時，取20次單次計算（利用2 560點的數(shù)據(jù)量進(jìn)行1次計算）結(jié)果的平均值作為一次測量結(jié)果，可獲得較為穩(wěn)定的測量結(jié)果。Ι段母線4組電容器組A相電容值的銘牌值、停電實測值及本文方法測量結(jié)果見表7，本文方法在線實測結(jié)果與銘牌值和停電實測值較為接近，測量結(jié)果可以作為判斷電容器性能的依據(jù)。

表7 電容器組電容值實測結(jié)果與銘牌值和停電測量值對比Table 7 Comparison of capacitance among online measurement，nameplate value and offline measurement for different capacitors

6 結(jié)論

本文提出了利用電壓、電流基波及諧波相量進(jìn)行電容器組參數(shù)在線辨識的方法，推導(dǎo)了加8項最小旁瓣窗函數(shù)的插值FFT算法，并將該算法應(yīng)用于電容器組參數(shù)的在線辨識。仿真試驗和現(xiàn)場實際運(yùn)行驗證了本文所提方法正確可行且具有較高的測量精度。設(shè)計的測量系統(tǒng)使用靈活方便，測量結(jié)果精確、穩(wěn)定，可用于電容器組參數(shù)的在線辨識。