JSZ期限結(jié)構(gòu)模型對(duì)我國(guó)債券收益率曲線的擬合實(shí)證

趙前程

（1.東北財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院，遼寧 大連 116025；2.大連海洋大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，遼寧 大連 116023）

JSZ期限結(jié)構(gòu)模型對(duì)我國(guó)債券收益率曲線的擬合實(shí)證

趙前程1，2

（1.東北財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院，遼寧 大連 116025；
2.大連海洋大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，遼寧 大連 116023）

利率期限結(jié)構(gòu)是指?jìng)牡狡谑找媛逝c到期期限之間的關(guān)系，該結(jié)構(gòu)可以通過(guò)利率期限結(jié)構(gòu)圖表示，圖中的曲線即為收益率曲線。本文利用JSZ模型對(duì)我國(guó)債券市場(chǎng)利率期限結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行估計(jì)，擬合效果好，而且運(yùn)算速度比卡爾曼濾波更快。本文旨在提煉出JSZ模型的精華內(nèi)容并闡述其計(jì)算的邏輯過(guò)程，并用于擬合我國(guó)銀行間固定利率債券，使研究利率期限結(jié)構(gòu)學(xué)者能快速掌握J(rèn)SZ模型的核心思想及其應(yīng)用。

JSZ模型；利率期限結(jié)構(gòu)；卡爾曼濾波

對(duì)高斯動(dòng)態(tài)期限結(jié)構(gòu)模型（GDTSM）的估計(jì)大多采用卡爾曼濾波方法，這種方法的最大問(wèn)題是模型中的變量太多，如果初始值設(shè)置的不好，模型不易收斂，或因計(jì)算過(guò)程中矩陣出現(xiàn)奇異矩陣，造成運(yùn)算無(wú)法繼續(xù)運(yùn)行或結(jié)果不準(zhǔn)確。JSZ模型是Scott Joslin、Kenneth J.Singleton、HaoxiangZhu（2011）提出，用于利率期限結(jié)構(gòu)模型的估計(jì)。但JSZ（2011）文章內(nèi)容較多，晦澀難懂，筆者下面的內(nèi)容旨在提煉出JSZ模型的精華內(nèi)容及其在我國(guó)債券收益率曲線擬合過(guò)程中的應(yīng)用，相應(yīng)的文獻(xiàn)綜述和證明過(guò)程請(qǐng)參考JSZ（2011）原文。

1　JSZ模型的核心

JSZ模型描述如下：

Xt是定價(jià)因子，∑x∑x′是Xt的條件協(xié)方差矩陣，εtP，εtQ～N（0，IN）。

對(duì)于0息票債券模型收益率仍然遵循Duffiee和Kan（1996）仿射函數(shù)，表示成：

Am，Bm滿足Riccati差分方程：

（1）、（2）、（3）、（4）是JSZ模型的規(guī)范化形式，為了便于計(jì)算，在命題1中JSZ給出其規(guī)范形式的等價(jià)形式：

任何規(guī)范的GDTMS觀測(cè)上等價(jià)于下面形式：

與標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)范形式不同之處是：t是單位1向量，∑X是下三角矩陣，是按順序排列的約當(dāng)型（Jordan）矩陣。

各個(gè)約當(dāng)塊是按特征值的順序排列（從大到?。?。

這種等價(jià)形式簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程，而且便于計(jì)算機(jī)的處理，但定價(jià)因子X(jué)t仍然是不可觀測(cè)變量，因此，JSZ給出定理1，存在可觀測(cè)的定價(jià)因子Ft=Wyt，任何規(guī)范的GDTMS等價(jià)于下面的模型：

在此模型里，定價(jià)因子可以用可觀測(cè)變量代替，假設(shè)名為Ft，這樣不可觀測(cè)的定價(jià)因子X(jué)t變?yōu)榭捎^測(cè)的定價(jià)因子Ft，可以假定N個(gè)0息票債券或其線性組合可以被模型精確定價(jià)；Ft的Q分布可以描述成參數(shù)：

綜上所述，JSZ模型設(shè)置了2個(gè)測(cè)度P和Q，2種定價(jià)因子，可觀測(cè)的P和不可觀測(cè)的X，因此模型顯得復(fù)雜，但運(yùn)算并不復(fù)雜，JSZ對(duì)似然函數(shù)的處理進(jìn)一步簡(jiǎn)化了估計(jì)難度。P測(cè)度下可觀測(cè)的收益率的條件似然函數(shù)為：

這樣，參數(shù)而JSZ模型只有前4個(gè)參數(shù)，存在實(shí)質(zhì)性的改進(jìn)。

2　JSZ模型對(duì)我國(guó)國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)的實(shí)證

這里選取銀行間固定利率國(guó)債收益率數(shù)據(jù)，時(shí)間是從2006 年3月到2014年2月，取每月最后一天的數(shù)據(jù)，期限取6月、1年、2年、3年、5年、7年、10年。每一期限共計(jì)96個(gè)月度數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來(lái)源是wind數(shù)據(jù)庫(kù)。數(shù)據(jù)的基本情況如圖1所示。

圖1銀行間固定利率國(guó)債收益率數(shù)據(jù)基本情況圖

為了利用Matlab軟件編程，將式（6）到式（11）描述成計(jì)算機(jī)可以處理的形式：

在P測(cè)度下：

F（t+1）-F（t）=K0P_F+K1P_F*X（t）+eps_F（t+1）

其中：Cov（eps_F（t+1））=Sigma_F

在風(fēng)險(xiǎn)中性Q測(cè)度下：

X（t+1）-X（t）=K0Q_X+K1Q_X*X（t）+eps_X（t+1）

其中：Cov（eps_X（t+1））=Sigma_X

F（t+1）-F（t）=K0Q_F+K1Q_F*X（t）+eps_F（t+1）

其中：Cov（eps_F（t+1））=Sigma_F

式（4）描述成計(jì)算機(jī)處理形式為：

模型收益率Yt=AF’+BF’*F（t）或：Yt＝AX’＋BX’*X（t）

利用JSZ模型及JSZ提供的Matlab工具箱，對(duì)模型的各參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果如下：

AF=［-0.076 9 0.075 8 0.101 1-0.026 3-0.190 7-0.0831 0.217 7］

BF=［0.458 30.459 00.435 80.399 90.328 70.273 5 0.216 7-0.4501-0.336 5-0.106 50.091 40.357 50.488 3 0.548 3-0.630 4-0.019 5 0.471 0 0.485 80.139 0-0.183 7 -0.441 0］

AX=［0.747 21.546 22.821 03.716 04.809 25.399 5 5.688 2］

BX=［0.975 50.947 10.893 70.844 30.756 10.680 4 0.585 80.873 10.748 30.565 00.441 60.294 90.216 2 0.152 50.869 80.742 50.556 90.433 20.287 80.210 5 0.148 4］

K0P_F=［-0.108 6 0.224 8-0.286 7］

K1P_F=［-0.050 00.182 40.001 8-0.013 1-0.129 3 -0.431 9 0.001 7-0.003 4-0.467 9］

K0Q_F=［0.274 1 0.122 7-0.050 3］

K1Q_F=［-0.005 10.075 80.285 0-0.006 8-0.008 4 -0.191 0-0.003 8 0.005 6-0.107 1］

K0Q_X=［0.315 0 0.000 0 0.000 0］

K1Q_X=［-0.009 9 0.000 0 0.000 0 0.000 0-0.054 6

0.0000 0.000 0 0.000 0-0.056 1］

下面對(duì)比模型的擬合值和實(shí)際值，如圖2所示。

圖2 JSZ模型計(jì)算的收益率數(shù)值與實(shí)際值比較

圖2中黑色實(shí)線表示實(shí)際值，紅色實(shí)線（如果無(wú)顏色，則是較淡的曲線）表示模型求得的擬合值，如果不放大圖，二者幾乎重合，說(shuō)明JSZ模型非常好地?cái)M合收益率曲線數(shù)據(jù)。

3　結(jié)論

JSZ模型可以很好地?cái)M合我國(guó)銀行間國(guó)債收益率曲線，而且收斂的速度比用卡爾曼濾波技術(shù)快得多，幾秒完成運(yùn)算。使用卡爾曼濾波需要設(shè)置初始值較多，如果設(shè)置不好，收斂的速度會(huì)非常慢，甚至不收斂，而JSZ模型無(wú)此問(wèn)題。JSZ模型的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是需要估計(jì)的參數(shù)少，三因子模型只有4個(gè)，利用卡爾曼濾波需要估計(jì)22個(gè)參數(shù)。JSZ模型本身也非常靈活，感興趣學(xué)者可以在此基礎(chǔ)上加入宏觀經(jīng)濟(jì)變量，來(lái)分析利率期限結(jié)構(gòu)與宏觀經(jīng)濟(jì)之間的關(guān)系。

主要參考文獻(xiàn)

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10.3969/j.issn.1673-0194.2015.17.061

F812.5

A

1673-0194（2015）17-0115-03

2015-07-16