運(yùn)算律應(yīng)該怎么教學(xué)

俞正強(qiáng)

不管是學(xué)生還是教師，都覺得運(yùn)用乘法分配律很難，差錯(cuò)很多，因此，有許多學(xué)生很怕簡(jiǎn)便運(yùn)算。這很令教師困惑：原本可以減輕計(jì)算負(fù)擔(dān)的運(yùn)算定律為何卻成為學(xué)生的負(fù)擔(dān)？下面我們以“乘法分配律”為例，討論運(yùn)算律應(yīng)該怎么教學(xué)。

一、理解：算律是算法的“竅門”

計(jì)算教學(xué)的目標(biāo)可以概括為四個(gè)字：又對(duì)又快。當(dāng)將算律與算法放在一起時(shí)，相對(duì)而言，算法解決的是“對(duì)”的問題，而算律解決的是“快”的問題。算律是對(duì)算法的熟能生“竅”。因此，算律源于算法的運(yùn)用。所以，算律的教學(xué)應(yīng)該從算法的運(yùn)用開始。為此，“乘法分配律”的教學(xué)應(yīng)該有這樣的流程。

流程一：練習(xí)，看誰算得又快又對(duì)。（獨(dú)立完成）

14×6+6×6

78×14+22×14

146×12– 46×12

……

設(shè)計(jì)意圖：這些題目，學(xué)生在計(jì)算時(shí)會(huì)有以下兩種方法。

方法1：按照“先乘除后加減”的算法進(jìn)行計(jì)算

14×6+6×6

=84+36

=120

方法2：按照“幾個(gè)幾加幾個(gè)幾一共幾個(gè)幾”的意義理解進(jìn)行計(jì)算

14×6+6×6

=20×6

=120

就當(dāng)下的學(xué)生而言，對(duì)混合運(yùn)算的算法，教師是教過的。但運(yùn)用乘法意義來做這題目，則是學(xué)生自己的“調(diào)皮”，或者說是“竅門”。

流程二：討論，怎樣算得又對(duì)又快？

問題：我們能改變運(yùn)算順序嗎？

結(jié)論：14個(gè)6加6個(gè)6一共是20個(gè)6。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生對(duì)乘法分配律的理解，在小學(xué)二年級(jí)算兩位數(shù)乘一位數(shù)的時(shí)候，就已經(jīng)蘊(yùn)含其中了。

12×3→10×3+2×3=36

當(dāng)時(shí)的理解是10個(gè)3加2個(gè)3一共是12個(gè)3。因此，學(xué)生理解14個(gè)6加6個(gè)6是20個(gè)6是很自然的事。也就是說，學(xué)生將這一類題目的運(yùn)算順序加以改變，十分自然。

流程三：討論，我們改變運(yùn)算順序跟這些題目有關(guān)嗎？是不是所有題目都可以改變運(yùn)算順序呢？

材料： 14×6+6×6

78×14+22×14

146×12-46×12

結(jié)論：運(yùn)算特征： 乘 加（減） 乘 a×b±c×b

數(shù)字特征：有一個(gè)相同數(shù) b

兩個(gè)湊整數(shù) a±c為一整數(shù)

設(shè)計(jì)意圖：教師提供的這組練習(xí)題有兩個(gè)特征：運(yùn)算特征與數(shù)字特征。當(dāng)滿足這兩個(gè)特征時(shí)，可以先加減后乘，這樣就把運(yùn)算律的前提條件給明確了。

流程四：判斷這樣算法，是又對(duì)又快嗎？

① （25+14）×4 ② （15+45）×3

=25×4+14×4 =15×3+45×3

=100+56 =45+135

=156 =180

問題1：先算括號(hào)里面再算括號(hào)外面，這兩道題目都沒有先算括號(hào)里面，可以嗎？

問題2：改變運(yùn)算順序的目的是什么？哪道題目的算法滿足這個(gè)目的？

設(shè)計(jì)意圖：幾個(gè)幾加幾個(gè)幾等于共有幾個(gè)幾，反之，共有幾個(gè)幾可以分為幾個(gè)幾加幾個(gè)幾。改變運(yùn)算順序的目的是為了又對(duì)又快，于是得出我們認(rèn)可并推薦的“竅門”，將其命名為乘法分配律。

（a±b）c=ac±bc

流程五：練習(xí)（略）

二、討論：算律是“規(guī)律”的運(yùn)用

目前，教材基本上把算律歸為“規(guī)律”，其基本流程如下。

與該流程相類似的在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中通常限于“數(shù)學(xué)好玩”或“數(shù)學(xué)廣角”等材料中，比如“打電話”。

我們可以比較打電話與乘法分配律兩個(gè)教學(xué)內(nèi)容，打電話需要分析個(gè)例發(fā)現(xiàn)規(guī)律，以解決比較繁雜的問題，這是正確的。但乘法分配律這個(gè)算律如果稱之為規(guī)律，可以用意義來理解，不需要發(fā)現(xiàn)。把乘法分配律作為問題解決來教學(xué)，是在把簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化。

三、推而廣之：加法交換律應(yīng)該怎么教學(xué)

一次，有位同事問：加法交換律的生活原型是什么？想了許久，也想不出加法交換律的原型。在去聽課的過程中，發(fā)現(xiàn)有的教師會(huì)請(qǐng)兩位學(xué)生到講臺(tái)上來，問其他學(xué)生：這是誰和誰？

然后將兩位學(xué)生交換位置，問：這又是誰和誰？

學(xué)生回答：是誰和誰。

教師問：有沒有變化？

學(xué)生回答：沒有變。

教師又說：這是不是說明位置變了，大小沒變??？

學(xué)生回答：是的。

聽了這個(gè)原型，心里有一種說不出的味道，書上是這樣設(shè)計(jì)的：

一問：2+8=10

二問：8+2=10

三問：同學(xué)們，有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

問題是，2+8=8+2，這需要發(fā)現(xiàn)嗎？難道不發(fā)現(xiàn)就不能知道2+8=8+2了嗎？

那么，正確的呢？自然應(yīng)從算法入手。

流程一：練習(xí)，看誰算得又對(duì)又快？

8+6+2

7+9+3

11+5+9

流程二：交流，誰算得又對(duì)又快？

從左到右依次計(jì)算→先湊整再相加。

流程三：討論，這樣改變運(yùn)算順序的理由是什么？

都是合并（加法意義）。

流程四：結(jié)論，連加算式中，如果能湊整，可以改變順序，交換位置，即兩個(gè)加數(shù)交換位置，和不變。

四、比較：差別在哪里

我們來比較兩種教學(xué)流程所呈現(xiàn)的教學(xué)意義上的差別，如表1所示。

表1 兩種教學(xué)流程呈現(xiàn)的教學(xué)意義上的差別

兩種主張：對(duì)于知識(shí)而言，學(xué)生最終要記住ab±ac=a（b±c），并運(yùn)用它以達(dá)到簡(jiǎn)便運(yùn)算的目的，差別不大。但對(duì)知識(shí)的獲得過程，兩種主張的差別是巨大的。

本文主張要使學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到，算律脫胎于對(duì)算法的靈活運(yùn)用，而靈活運(yùn)用的依據(jù)是對(duì)運(yùn)算意義的理解。教材主張的特征是割裂了算律與算法之間的密切聯(lián)系，使之成為一個(gè)獨(dú)立于算法的規(guī)律，把一個(gè)自然而然的“竅門”變成隆重的問題解決。

以上思考，僅供大家參考。

（責(zé)任編輯：孫建輝）