XFEM在高壓管道裂紋擴(kuò)展計(jì)算中的應(yīng)用

摘要： 介紹XFEM的基本理論，針對(duì)常規(guī)有限元計(jì)算困難的三維裂紋，運(yùn)用XFEM完成三維高壓管道中的裂紋擴(kuò)展計(jì)算.根據(jù)管道裂紋擴(kuò)展的計(jì)算結(jié)果，總結(jié)得到管道裂紋擴(kuò)展的規(guī)律，得到徑向裂紋比軸向裂紋更嚴(yán)重的結(jié)論.

關(guān)鍵詞： 高壓管道； 疲勞； 裂紋擴(kuò)展； 三維裂紋； 有限元

中圖分類號(hào)： U4文獻(xiàn)標(biāo)志碼： B

Abstract： The basic theory of XFEM is introduced. As to the problem that it is difficult to calculate 3D crack by the normal finite element， XFEM is used to perform the crack propagation calculation on a 3D highpressure pipe. According to the crack propagation calculation results of the pipe， the law of pipe crack propagation is summarized and it is concluded that the crack in radial direction is more critical than that in axial direction.

Key words： highpressure pipe； fatigue； crack propagation； 3D crack； finite element

收稿日期： 2014[KG*9〗05[KG*9〗10修回日期： 2014[KG*9〗10[KG*9〗24

作者簡(jiǎn)介： 陳星文（1983—），男，山東青島人，工程師，碩士，研究方向?yàn)楣艿懒W(xué)，（Email）chxw@snerdi.com.cn0引言

在用有限元法處理工程問(wèn)題時(shí)，由于常規(guī)有限元法的位移函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，所以利用常規(guī)有限元法所建立的單元其內(nèi)部位移必須是連續(xù)的.因此，常規(guī)有限元法在處理如裂紋這類不連續(xù)問(wèn)題時(shí)，必須把裂紋面作為單元邊界面，裂紋尖端作為為單元的節(jié)點(diǎn).

在裂紋尖端附近區(qū)域，應(yīng)力集中使其應(yīng)力急劇變化.常規(guī)有限元法的位移函數(shù)是多項(xiàng)式，在裂紋尖端的網(wǎng)格劃分中，若多項(xiàng)式的次數(shù)不變，要模擬裂紋尖端附近應(yīng)力的急劇變化，使有限元解逼近于精確解，則必須將單元尺寸劃分得非常小.另外，如果單元尺寸不變，可通過(guò)增加多項(xiàng)式的次數(shù)來(lái)反映裂紋尖端單元的應(yīng)力變化.實(shí)踐證明，在處理裂紋尖端應(yīng)力集中這類問(wèn)題時(shí)，高次多項(xiàng)式的逼近性能非常差，求解結(jié)果不能滿足精度要求.[1]

在模擬裂紋擴(kuò)展問(wèn)題上，常規(guī)有限元顯得更加無(wú)能為力，由于必須把裂紋面設(shè)置為單元界面，裂紋尖端設(shè)置成單元節(jié)點(diǎn)[12]，因此當(dāng)裂紋擴(kuò)展后，就必須對(duì)結(jié)構(gòu)重新劃分網(wǎng)格，而由于裂紋尖端存在應(yīng)力集中，網(wǎng)格必須細(xì)化，所以會(huì)極大地增加計(jì)算量，對(duì)于一些復(fù)雜結(jié)構(gòu)問(wèn)題甚至無(wú)法實(shí)現(xiàn).

由于常規(guī)有限元法在計(jì)算裂紋問(wèn)題上存在上述缺陷，1996年德克薩斯大學(xué)教授MELENK等[3]提出單位分解概念，通過(guò)單位分解，擴(kuò)大有限元形函數(shù)的形式，使得不連續(xù)函數(shù)和非多項(xiàng)式函數(shù)可以添加到有限元的位移函數(shù)中，使得許多在相關(guān)問(wèn)題上逼近性很強(qiáng)的函數(shù)可以用于有限元單元位移函數(shù)，從而使有限元的計(jì)算變得簡(jiǎn)潔，結(jié)果更加精確.1999年，以BELYTSCHKO為首的美國(guó)西北大學(xué)力學(xué)研究組提出XFEM理論：在單位分解法的基礎(chǔ)上改變常規(guī)有限元的位移函數(shù).[45]其在常規(guī)有限元位移函數(shù)的基礎(chǔ)上加上裂紋尖端位移函數(shù)因子，[68]從而無(wú)須將網(wǎng)格在裂紋尖端細(xì)化就可以準(zhǔn)確地逼近結(jié)構(gòu)的精確解.而且，XFEM不需要將結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在的幾何或物理界面作為網(wǎng)格劃分的邊界[9]，其所使用的網(wǎng)格可以與結(jié)構(gòu)內(nèi)部的形狀特點(diǎn)無(wú)關(guān).這樣，在裂紋擴(kuò)展的過(guò)程中就不需要對(duì)結(jié)構(gòu)重新進(jìn)行網(wǎng)格劃分，為裂紋擴(kuò)展計(jì)算提供可行性和便捷性.

1XFEM基本理論

1.1裂紋界面位移改進(jìn)函數(shù)

在常規(guī)有限元中，單元位移函數(shù)通常表示為u=Niui

v=Nivi

w=Niwi（1）式中：ui，vi和wi為節(jié)點(diǎn)i的位移；Ni為結(jié)構(gòu)的形函數(shù).

由于常規(guī)有限元的單元位移函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，因此對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格劃分時(shí)裂紋面必須作為單元的邊界，以保證有限元單元內(nèi)部位移的連續(xù)性.對(duì)于帶裂紋的平板（圖1），按常規(guī)有限元方法，在不考慮裂紋尖端應(yīng)力集中的情況下，網(wǎng)格劃分見圖2.

按圖2的網(wǎng)格，結(jié)構(gòu)內(nèi)任意點(diǎn)的位移可表示為u=10i=1Niui（2）令a=u9+u102，b=u10-u92，N11=N9+N10，u11=a，代入式（2），得u=8i=1Niui+N11u11+bN11H（x）（3）式中：H（x）稱為跳躍函數(shù)，H（x）=1，y>0

-1，y<0 .

式（3）右端前2項(xiàng)即為常規(guī)有限元的位移函數(shù)，最后一項(xiàng)跳躍函數(shù)則代表單元內(nèi)不連續(xù)區(qū)域的存在.式（3）說(shuō)明圖2所示的單元形函數(shù)可由圖3所示的有限元單元形函數(shù)和一個(gè)代表裂紋的單元內(nèi)不連續(xù)函數(shù)組成.這樣，在求解含裂紋的結(jié)構(gòu)時(shí)，只需改進(jìn)包含裂紋的單元的位移函數(shù)，即在單元位移函數(shù)上添加跳躍函數(shù)bN11H（x），就無(wú)須再將裂紋面設(shè)置為單元的邊界面，卻依然可以得到足夠精確的解.[3]

1.2裂紋尖端位移函數(shù)

處理裂紋尖端應(yīng)力集中問(wèn)題時(shí)，根據(jù)單位分解法[3]，可以將裂紋尖端所在單元的節(jié)點(diǎn)自由度加強(qiáng)，即在常規(guī)有限元位移函數(shù)上加上已知的裂紋尖端漸近位移函數(shù)，從而能夠在不細(xì)化網(wǎng)格的前提下，仍然能在裂紋尖端單元內(nèi)得到精確、連續(xù)、光滑的解.

裂紋尖端漸近位移函數(shù)為u=Mm=1αmψm（4）式中：αm為漸近函數(shù)權(quán)重值；ψm為裂紋尖端位移函數(shù)；M為裂紋尖端位移函數(shù)所包含的函數(shù)總個(gè)數(shù).[5]

裂紋尖端位移函數(shù)ψm為已知的漸近位移函數(shù)場(chǎng)，能夠精確反應(yīng)裂紋尖端附近區(qū)域的位移場(chǎng).文獻(xiàn)[6]給出各向同性彈性體的裂紋尖端漸近位移函數(shù)為

式中：θ和r是以裂紋尖端為原點(diǎn)的極坐標(biāo)的2個(gè)坐標(biāo)參數(shù)，θ=0的方向平行于裂紋面.對(duì)于各向同性彈性體材料，無(wú)論其承受何種載荷，其裂紋尖端的位移場(chǎng)均可用式（5）的4個(gè)函數(shù)表示.對(duì)于各向異性彈塑性材料或復(fù)合材料，裂紋尖端位移改進(jìn)函數(shù)還需進(jìn)一步研究.

1.3最終的單元位移函數(shù)

對(duì)于存在任意裂紋的結(jié)構(gòu)體，裂紋界面位移函數(shù)和裂紋尖端位移函數(shù)都必須添加到結(jié)構(gòu)的單元位移函數(shù)中，才能正確模擬結(jié)構(gòu)的裂紋.綜合式（2）和（3）可得含任意裂紋結(jié)構(gòu)的改進(jìn)位移函數(shù)為

式中：I為結(jié)構(gòu)整個(gè)區(qū)域上的節(jié)點(diǎn)；J為裂紋經(jīng)過(guò)單元但不包括裂紋尖端單元上的節(jié)點(diǎn)；k1和k2為裂紋尖端單元上的節(jié)點(diǎn).裂紋尖端單元內(nèi)的節(jié)點(diǎn)不需要添加裂紋界面位移函數(shù)，因?yàn)榱鸭y尖端位移函數(shù)給出的是裂紋尖端所在單元區(qū)域精確的位移場(chǎng)，所以不需要再模擬裂紋界面的存在.含任意裂紋平面板上需加強(qiáng)的節(jié)點(diǎn)示意圖見圖4，圖中圓圈標(biāo)注的節(jié)點(diǎn)為需要增添裂紋界面位移函數(shù)的節(jié)點(diǎn)，四邊形標(biāo)注的節(jié)點(diǎn)為需要增添裂紋尖端位移函數(shù)的節(jié)點(diǎn).

2計(jì)算實(shí)例

通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例證明XFEM在裂紋擴(kuò)展計(jì)算上的準(zhǔn)確性.一個(gè)1 m×1 m各向同性的薄板見圖5.薄板中包含一個(gè)水平裂紋，一端垂向簡(jiǎn)支，一端施加均勻拉力；另外，為防止結(jié)構(gòu)在變形中存在水平轉(zhuǎn)動(dòng)，在薄板的水平方向施加旋轉(zhuǎn)約束.薄板均勻拉力為σ=2.0×109 Pa，彈性模量為E=2.1×1011 Pa，泊松比為0.3，板中初始裂紋長(zhǎng)度為0.3 m.

2.1XFEM求解裂紋的擴(kuò)展

利用XFEM求解裂紋的擴(kuò)展，其網(wǎng)格劃分可以不考慮其內(nèi)部裂紋面，只需將裂紋附近的單元位移函數(shù)按XFEM改進(jìn)即可，薄板的網(wǎng)格劃分見圖6.

薄板裂紋破壞準(zhǔn)則采用最大主應(yīng)力準(zhǔn)則[7]，假定當(dāng)板中第一主應(yīng)力達(dá)到84.4 MPa（此數(shù)據(jù)可任意假定，不影響裂紋的擴(kuò)展路徑）時(shí)，裂紋開始擴(kuò)展，計(jì)算得到薄板裂紋擴(kuò)展的路徑見圖7.

2.2用應(yīng)力強(qiáng)度因子K1和K2求解裂紋的擴(kuò)展

用一個(gè)簡(jiǎn)單但繁瑣的方法證明XFEM在裂紋擴(kuò)展計(jì)算上的準(zhǔn)確性.針對(duì)第2.1節(jié)中的薄板，采用常規(guī)有限元法模擬薄板中裂紋的存在，細(xì)化裂紋尖端網(wǎng)格，可以得到裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子.[10]根據(jù)文獻(xiàn)[8]，對(duì)于均勻的各項(xiàng)同性線彈性材料，可以用應(yīng)力強(qiáng)度因子求出板中裂紋的擴(kuò)展方向θ=cos-13K22+K41+8K21K22K21+9K22（7）式中：θ是從裂紋初始認(rèn)定擴(kuò)展方向q逆時(shí)針轉(zhuǎn)向裂紋法線的度數(shù).裂紋初始認(rèn)定擴(kuò)展方向?yàn)榕c裂紋尖端處裂紋面平行且遠(yuǎn)離裂紋的方向.

對(duì)此例中1 m×1 m的薄板采用線性擴(kuò)展方法，使裂紋沿θ方向擴(kuò)展5 cm的長(zhǎng)度，然后再對(duì)此時(shí)的薄板重新劃分網(wǎng)格，細(xì)化裂紋尖端，再求出此時(shí)薄板的裂紋擴(kuò)展方向，以此反復(fù)可求出薄板裂紋最終的擴(kuò)展路徑.

經(jīng)16步迭代，最終求出薄板裂紋的擴(kuò)展路徑.其中第2步和第8步的薄板網(wǎng)格劃分見圖8和9.比較圖8與圖6的網(wǎng)格劃分，可知XFEM在處理含裂紋結(jié)構(gòu)問(wèn)題上的簡(jiǎn)潔性.

a）路徑b）網(wǎng)格最終得到的薄板裂紋擴(kuò)展路徑見圖10.比較圖10與圖7，可以看出裂紋擴(kuò)展路徑基本一致.

3XFEM在管道裂紋擴(kuò)展計(jì)算中的應(yīng)用將XFEM應(yīng)用到三維高壓管道模型計(jì)算中.為更好地觀察裂紋擴(kuò)展，采用較大壁厚的管道.設(shè)管道的外徑為60 mm，內(nèi)徑為20 mm，長(zhǎng)度為90 mm，其彈性模量為E=2.1×1011 Pa，泊松比為0.3.管道包含任一裂紋，管道內(nèi)表面受徑向均勻壓力.管道兩端邊界條件為固支.破壞準(zhǔn)則采用最大主應(yīng)力準(zhǔn)則，當(dāng)最大主應(yīng)力達(dá)到84.4 MPa時(shí)，裂紋開始擴(kuò)展.其三維模型見圖11.

針對(duì)上述管道模型，內(nèi)表面任意初始軸向表面裂紋的管道裂紋擴(kuò)展結(jié)果見圖12，外表面任意初始軸向表面裂紋的裂紋擴(kuò)展結(jié)果見圖13，內(nèi)部有1個(gè)初始環(huán)向深埋裂紋的裂紋擴(kuò)展結(jié)果見圖14.

對(duì)于內(nèi)表面受均勻徑向壓力的管道，通過(guò)對(duì)包含各種不同裂紋面的管道的斷裂計(jì)算，根據(jù)其裂紋擴(kuò)展路徑，得到以下規(guī)律.

1）裂紋初始擴(kuò)展總是從裂紋面沿管道徑向向管道內(nèi)表面擴(kuò)展，在裂紋穿透內(nèi)表面后，再沿軸向和徑向向外表面方向同時(shí)擴(kuò)展，最終穿透外壁.

2）根據(jù)裂紋的擴(kuò)展路徑和管道的受力分析，同等長(zhǎng)度的徑向裂紋比軸向裂紋對(duì)管道的承載能力影響更大，這也符合內(nèi)表面均勻受壓管道的受力特性.因?yàn)橄鄬?duì)于拉力平行于裂紋長(zhǎng)度方向，拉力垂直于裂紋長(zhǎng)度方向時(shí)裂紋面更容易發(fā)生斷裂擴(kuò)展破壞.

4結(jié)論

1）對(duì)于裂紋疲勞擴(kuò)展問(wèn)題，由于采用XFEM，結(jié)構(gòu)在裂紋擴(kuò)展后不需要重新劃分網(wǎng)格.因此，XFEM在模擬裂紋的疲勞擴(kuò)展問(wèn)題上具有很大的優(yōu)勢(shì)，特別是當(dāng)結(jié)構(gòu)模型非常復(fù)雜時(shí)，其優(yōu)勢(shì)更明顯.

2）給出各向同性線彈性材料的裂紋尖端位移改進(jìn)函數(shù)，而對(duì)于非各向同性、非線性的材料或者復(fù)合材料，其裂紋尖端位移改進(jìn)函數(shù)仍需要進(jìn)一步的研究，以使XFEM可以應(yīng)用到更多的領(lǐng)域.

3）由于XFEM可提高有限元在處理不連續(xù)問(wèn)題上的準(zhǔn)確性和便捷性，所以其在復(fù)雜流體、復(fù)雜傳熱、相變和流固耦合等復(fù)雜不連續(xù)和多項(xiàng)介質(zhì)耦合中的應(yīng)用可以進(jìn)行更多研究.參考文獻(xiàn)：

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