2015年高考數(shù)學(xué)（新課標全國卷Ⅱ）試卷解讀

戴鑫

2015年的高考已經(jīng)進入了新課標教材的第六個年頭.每逢高考結(jié)束便是各高中教師分析高考試題，總結(jié)復(fù)習經(jīng)驗，并為新一屆高三學(xué)生復(fù)習提出建議的時候.下面簡單闡述一下本人對本年度數(shù)學(xué)（新課標全國卷Ⅱ）的理解.

一、試卷整體評價

1. 知識點覆蓋比較全面

三角12分，數(shù)列10分，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)27分，立體幾何22分，解析幾何22分，統(tǒng)計與概率17分，集合、復(fù)數(shù)、算法、向量、線性規(guī)劃、二項式定理各5分，與2013和2014兩年相比，局部略有調(diào)整，總體知識主干不變，重點突出.

2. 整體難度較2013、2014兩年有所下降

選擇題12個，填空題4個，解答題6個（其中一個為三選一的選修題）.選擇填空部分難度低于2013年，與2014年基本持平.解答題部分比2013、2014兩年均略簡單.

二、試卷題目特點

1. 注重基礎(chǔ)知識，貼近教材

今年高考試卷的第1～8，13，14題，這10個題目均為基礎(chǔ)知識考查題，難度與課后習題A組類似，是教學(xué)中知識點的直接考查，而且題目背景極其貼近教材內(nèi)容.

例如：8.下邊程序框圖的算法思路源于我國數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a、b，分別為14、18，則輸出的a=（ ）.

A.0 B.2 C.4 D.14

本題即為必修三教材第36頁的算法案例，其作用是求兩個數(shù)的最大公因數(shù).

2. 整理題型，重視基本方法

試卷第9，11，12，15，16，17，20（1），21題，這8個題目體現(xiàn)了教師和學(xué)生對經(jīng)典題型和方法的掌握情況.

例如：9.已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB=90°，C為該球面上的動點.若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（ ）.

A. 36？仔 B. 64？仔 C.144？仔 D. 256？仔

該題是立體幾何中關(guān)于多面體外接球的經(jīng)典補形題型之一.對于墻角類型具有三垂直的三棱錐的補形動作為以三垂直的頂點為頂點，三條互相垂直的棱分別為長寬高構(gòu)造長方體或正方體，此長方體或正方體的體對角線即為其外接球直徑.

（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

甚至連今年的壓軸題21題導(dǎo)數(shù)，都是對典型題型和基本方法的考查.

例如：21.設(shè)函數(shù)f （x）=emx+x2-mx.

（1）證明：f （x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增；

（2）若對于任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f （x1）-f （x2）|≤e-1，求m的取值范圍.

（1）是平日練習中利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)單調(diào)性的方法.（2）的條件即是f （x）在[-1，1]的最大值與最小值的差小于等于e-1.結(jié)合（1）的結(jié)論很快就可以解決（2）.

這些題目所考查的手法都應(yīng)該是老師帶領(lǐng)學(xué)生在高三復(fù)習階段反復(fù)練習的重點，可見高考題目對經(jīng)典題型和基本方法多么重視.

3.重視數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)

（1）空間想象能力

自從在立體幾何中引入空間直角坐標系以來，立體幾何從特別注意考查學(xué)生空間想象能力的方向轉(zhuǎn)變成了計算題，使得學(xué)生在平時的訓(xùn)練中多重視計算，空間想象力越來越弱.但今年的選擇題9和解答題19（1）改變了我們以上看法.

與球有關(guān)的問題大多需要學(xué)生有良好的空間想象力，手繪直觀圖，并在大腦中產(chǎn)生球的圖形，再加上點C在球面上運動的最值問題，使得選擇題9更具特色.

例如：19. 如右上圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4.過點E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形.

（Ⅰ）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）.

該題打破了以往高考試題中立體幾何解答題第一問證明的模式，要求學(xué)生繪制直觀圖中的截面，這是新課標高考的首次嘗試.

兩個題目的難度雖不大，但考查學(xué)生空間想象力的目的達到了，也改變了教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習立體幾何的常規(guī)，最重要的是將立體幾何學(xué)科的特點凸顯出來.

（2）數(shù)據(jù)處理能力

例如：3.根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量（單位：萬噸）柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是（ ）.

A.逐年比較：2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效

C.2006年以來我國二氧化硫年排放量顯減少趨勢

D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)

18.某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：

（Ⅰ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可）.

數(shù)據(jù)處理能力體現(xiàn)在會收集、整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對研究問題有用的信息，并做出判斷.2014年的第19題也考查了對大量數(shù)據(jù)的處理和預(yù)測的內(nèi)容.連續(xù)兩年出現(xiàn)統(tǒng)計類的問題提示我們應(yīng)該將統(tǒng)計中的數(shù)據(jù)處理問題和基本操作方法整理到復(fù)習的方案中.

4.突出數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用和創(chuàng)新

試卷中第3，10，18，19，20（2）題給我留下了非常深刻的印象，這些題目使得我們重新思考學(xué)習數(shù)學(xué)知識的意義，掌握數(shù)學(xué)知識的作用.讓我們看到了數(shù)學(xué)不僅僅是抽象的推理、論證、計算，它有很強的應(yīng)用價值，它來源于我們的生活，并能很好地指導(dǎo)我們的生活；它富于探索，富于挑戰(zhàn)，富于創(chuàng)新，使得數(shù)學(xué)具有了神秘的色彩，它吸引著一代又一代無數(shù)的天才前赴后繼，為攀登數(shù)學(xué)的高峰不懈地努力著.endprint

5.選修試題穩(wěn)中求變

每年的三選一試題都是10分，是六個解答題中分值最低的一個，這也決定了它的難度應(yīng)該是最低的一個，難度適中學(xué)生才不會在考場上發(fā)生心理突變.22題平面幾何選講變化不大，但23題坐標系與參數(shù)方程和24題不等式選講確有很多新意.

例如：23.坐標系與參數(shù)方程

（Ⅱ）若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值.

該題最突出的部分便是其第（2）問，學(xué)生解決這一類問題往往都選擇轉(zhuǎn)化成直角坐標系的定式思維，表面上感覺易于上手操作，但今年的題目在極坐標系下更為簡單.可見出題人的用意是需要學(xué)生在適當?shù)臓顩r下選擇適當?shù)淖鴺讼担ㄖ苯亲鴺讼祷驑O坐標系），在同一坐標系下再選取適當?shù)姆匠蹋ㄖ苯亲鴺讼迪碌钠胀ǚ匠袒騾?shù)方程）.

例如：24.不等式選講

設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a+b=c+d，證明：

該題的亮點也是在第（2）問，考查了充要條件的雙向性（充分性和必要性）.學(xué)生在證明的時候必須體現(xiàn)以上兩個方面，是以往試題只考查單向證明的一個創(chuàng)新.

三、準高三教學(xué)建議

1. 回歸教材

在近三年的高考中，每年的題目都會出現(xiàn)與教材中例題、課后習題、課文背景相同的試題.這些試題構(gòu)成高考試題的基礎(chǔ)部分，是高中知識的直接考查，是每個高中生必須掌握的部分，是每個考生臨場答卷心理的保障.建議新高三生在一輪復(fù)習時多翻教材，緊扣教材中的知識和方法，這是高考取得好成績的必要條件.

2.重視通式通法

在一輪復(fù)習時，老師要帶領(lǐng)學(xué)生整理題型，體現(xiàn)多題一解，典型題型運用典型方法，使得學(xué)生在操作時易于上手，確立其解決問題的信心.二輪復(fù)習時，多體現(xiàn)通式通法的遷移，一題多解，讓學(xué)生能夠隨機應(yīng)變.本年度的高考試題對很多經(jīng)典題型、典型方法進行了考查，所以平時學(xué)習踏實認真的學(xué)生會比較容易取得高分.

3. 關(guān)注學(xué)生落實

學(xué)生的落實情況是教師教學(xué)成效的直接反饋.很多學(xué)生平時夸夸其談，紙上談兵，實際操作中動手能力差，一寫就暈，一算就錯.要求學(xué)生必須在平日里多加練習，注重筆頭，在老師的幫助下多行動.教師也要及時批改作業(yè)、試卷，在第一時間發(fā)現(xiàn)并幫助學(xué)生解決問題，從而提高學(xué)生答題的準確性.

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編輯/張燁endprint