小議物體動態(tài)平衡問題

溫衛(wèi)國

摘 要：對物體正確地進行受力分析，是高中物理的一個重點，而對動態(tài)平衡問題，由于類型和方法多樣，是教學的一個難點。本文通過公式法、圖像法等六種方法，為學生解決此類問題提供了方法和思路。

關(guān)鍵詞：動態(tài)平衡；受力分析；公式法；圖像法

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2015）8-0041-4

在對物體進行受力分析時，往往涉及到一種常見的動態(tài)平衡問題，它是指通過控制某些物理量的變化，使物體的狀態(tài)發(fā)生“緩慢”變化?！熬徛笔侵肝矬w的速度很小，可認為速度為零。所以，物體在變化過程中始終處于平衡狀態(tài)。筆者通過對此類問題的分析，歸納并總結(jié)了此類問題的六種常見類型，供參考。

1 利用公式討論力的變化

例1 如圖1是給墻壁粉刷涂料用的“涂料滾”的示意圖。使用時，用撐竿推著粘有涂料的涂料滾沿墻壁上下緩緩滾動，把涂料均勻地粉刷到墻上。撐竿的重量和墻壁的摩擦均不計，而且撐竿足夠長，粉刷工人站在離墻壁一定距離處緩緩上推涂料滾，該過程中撐竿對涂料滾的推力為F1，涂料滾對墻壁的壓力為F2，以下說法正確的是（ ）

A.F1增大，F(xiàn)2減小

B.F1減小，F(xiàn)2 增大

C.F1、F2均增大

D.F1、F2均減小

分析 設撐竿與墻壁間的夾角為θ，因“涂料滾”受到三力作用而平衡，則可求得推力F1=mg/cosθ，墻壁對涂料滾的支持力為F=mgtanθ，即涂料滾對墻壁的壓力為F2=mgtanθ，當涂料滾緩緩上推時，θ逐漸減小，F(xiàn)1、F2均減小，選D。

例2 如圖2，在具有水平轉(zhuǎn)軸O的圓柱體A點放一重物P，圓柱體緩慢地勻速轉(zhuǎn)動，P隨圓柱體從A轉(zhuǎn)至A' 的過程中與圓柱體始終保持相對靜止，則P受到的摩擦力的大小變化情況，下列各圖中正確的是（ ）

分析 重物P與圓柱體之間的摩擦力為靜摩擦力，且靜摩擦力與物體在該點的下滑力相等，即Ff=mgcosθ=mgcos（α+ωt）（α為OA與水平線的夾角），由于θ增大，F(xiàn)f逐漸減小且摩擦力的大小變化情況以最高點為對稱。所以，正確的是選項A。

說明：分析此類問題時，先求出力F的大小表達式，然后根據(jù)角度的變化作出正確判斷。

2 借用圖像討論力的變化

當物體受三力作用而處于平衡狀態(tài)時，其合力為零，三個力的矢量依次恰好首尾相連，構(gòu)成閉合三角形，當物體所受三個力中二個發(fā)生變化而又維持平衡關(guān)系時，這個閉合三角形總是存在，只不過形狀發(fā)生改變而已，比較這些不同形狀的矢量三角形，各力的大小及變化就一目了然了。

例3 如圖4所示，電燈懸掛于兩墻壁之間，更換水平繩OA使連接點A向上移動而保持0點的位置不變，則在A點向上移動的過程中（ ）

A.繩OB的拉力逐漸增大

B.繩OB的拉力逐漸減小

C.繩OA的拉力先增大后減小

D.繩OA的拉力先減小后增大

分析 在繩OA的連接點A向上移動的過程中，結(jié)點O始終處于平衡狀態(tài)。在變化過程中各力的變化特點是：電燈通過懸繩對O點的拉力F3的大小、方向不變，繩BO對點O的拉力F2的方向不變，變化的是繩AO對O點拉力的方向，作出如圖5所示的受力圖。圖中F1、F2、F3分別是AO、繩BO、電燈對結(jié)點O的拉力，F(xiàn)3′是F1與F2的合力，且F3′=F3。

在A點向上移動的過程中，F(xiàn)3′的大小和方向都保持不變，F(xiàn)2的方向保持不變。由圖5可知，當繩OA與繩OB垂直時，繩OA中的拉力最小，所以繩OA的拉力先減小后增大，繩OB的拉力逐漸減小，故選B、D選項。

例4 重為G的光滑小球靜止在固定斜面和豎直擋板之間，若擋板逆時針緩慢轉(zhuǎn)到水平位置，在該過程中，斜面和擋板對小球的壓力大小如何變化？

分析 由于擋板是緩慢轉(zhuǎn)動的，可以認為每個時刻小球都處于平衡狀態(tài)，因此所受合力為零。應用三角形定則，G、F1、F2三個矢量應組成封閉三角形，其中G的大小、方向始終保持不變；F1的方向不變；F2的起點在G的終點處，而終點必須在F1所在的直線上，由圖7可知，擋板逆時針轉(zhuǎn)動90 °，F(xiàn)2矢量也逆時針轉(zhuǎn)動90 °，因此F1逐漸變小，F(xiàn)2先變小后變大。（當F2⊥F1，即擋板與斜面垂直時，F(xiàn)2最?。?/p>

說明：力的圖解法是解決動態(tài)平衡類問題的常用分析方法，這種方法的優(yōu)點是形象直觀，可使問題得到簡化。

3 根據(jù)相似三角形討論力的變化

對于受三力作用而平衡的物體，如果三力組成的矢量三角形為非特殊三角形（直角三角形或等腰三角形），則可尋找與力的三角形相似的幾何三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，建立比例關(guān)系，把力的大小變化問題轉(zhuǎn)化為幾何三角形邊長的大小變化問題進行討論。

例5 一輕桿BO，其O端用光滑鉸鏈鉸于固定豎直桿AO上，B端掛一重物，且系一細繩，細繩跨過桿頂A處的光滑小滑輪，用力F拉住，如圖8所示?，F(xiàn)將細繩緩慢往左拉，使桿BO與桿AO間的夾角θ逐漸減少，則在此過程中，拉力F及桿BO所受壓力FN的大小變化情況是（ ）

A.FN先減小，后增大 B.FN始終不變

C.F先減小，后增大 D.F始終不變

分析 取BO桿的B端為研究對象，受到繩子拉力（大小為F），BO桿的支持力FN和懸掛重物的繩子的拉力（大小為G）的作用，將FN與G合成，其合力與F等值反向，如圖9所示，得到一個力三角形（如圖中畫斜線部分），此力三角形與幾何三角形OBA相似。設AO高為H，BO長為L，繩長為l，則由對應邊成比例可得■=■=■，式中G、H、L均不變，l逐漸變小，所以可知FN不變，F(xiàn)逐漸變小。故B選項正確。

例6 如圖10所示，固定在水平面上光滑半球，半徑為R，球心O的正上方A固定一個小定滑輪，細線一端拴一小球，置于半球面的P點，另一端繞過A點，現(xiàn)緩慢地將小球從P點向上移動的過程中，小球?qū)Π肭虻膲毫Υ笮、細線的拉力大小F的變化情況是（ ）

A.N變大，F(xiàn)不變 B.N變小，F(xiàn)變大

C.N不變，F(xiàn)變小 D.N變大，F(xiàn)變小

拉動過程中，AP變小，OA與R不變，所以N不變，F(xiàn)變小。

說明：利用相似三角形法，可以解決非特殊三角形的一類問題。

4 運用整體法討論力的變化

例7 如圖11所示，輕繩一端系在質(zhì)量為m的物塊上，另一端系在一個套在粗糙豎直棒MN的圓環(huán)上?，F(xiàn)用水平力F拉住繩子上一點O，使物塊從圖中實線位置緩慢下降到虛線位置，但圓環(huán)仍保持在原來位置不動。在這一過程中，環(huán)對桿的摩擦力F1和環(huán)對桿的壓力F2的變化情況是（ ）

A.F1保持不變，F(xiàn)2逐漸增大

B.F1逐漸增大，F(xiàn)2保持不變

C.F1逐漸減小，F(xiàn)2保持不變

D.F1保持不變，F(xiàn)2逐漸減小

分析 將圓環(huán)和物體看成一個整體，則這個整體受到四個力，整個系統(tǒng)的重力，水平拉力F，桿對環(huán)的彈力大小等于F2，桿對環(huán)的摩擦力大小等于F1，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)則F=F2，F(xiàn)1=（m+M）g，當物體從實線位置緩慢下降到虛線位置時繩與豎直方向夾角變小，根據(jù)F=mgtanθ，可知F2減小，正確答案是D選項。

例8 在粗糙水平地面上放著一個截面為半圓的柱狀物體A，A與豎直墻之間放一光滑圓球B，整個裝置處于靜止狀態(tài)?，F(xiàn)對B加一豎直向下的力F，F(xiàn)的作用線通過球心，設墻對B的作用力為F1，B對A的作用力為F2，地面對A的作用力為F3。若F緩慢增大而整個裝置仍保持靜止，如圖12所示，在此過程中（ ）

A.F1保持不變，F(xiàn)3緩慢增大

B.F1緩慢增大，F(xiàn)3保持不變

C.F2緩慢增大，F(xiàn)3緩慢增大

D.F2緩慢增大，F(xiàn)3保持不變

分析 力F產(chǎn)生了兩個作用效果，一個是使B壓緊墻面的力F1，一個是壓緊A的力F2，當力F緩慢增大時，合力的方向和兩個分力的方向都沒有發(fā)生變化，所以當合力增大時兩個分力同時增大。用整體法進行分析，可知地面對A的作用力F3是彈力與摩擦力的合力，摩擦力與F1大小相等，方向相反；彈力與力F和兩球重力的合力大小相等，方向相反，選項C正確。

說明：通過整體法分析問題，可以培養(yǎng)學生的全局意識，提高他們分析問題和解決問題的能力。

5 根據(jù)臨界條件分析力的變化

例9 如圖13所示，在粗糙的斜面上，一木塊受到從零開始逐漸增大的水平推力F作用，且木塊始終處于靜止狀態(tài)，則下列說法正確的是（ ）

A.摩擦力的方向始終沿斜面向上

B.摩擦力的方向可能先沿斜面向上、后沿斜面向下

C.摩擦力逐漸變大

D.摩擦力逐漸變小

分析 本題的關(guān)鍵是尋找Ff=0時的臨界條件，由題意可知，當F增大到Gtanθ時，F(xiàn)f=0；所以，當推力F≤Gtanθ時，摩擦力大小隨推力F的增大而減小到零，方向沿斜面向上；當推力F﹥Gtanθ時，摩擦力大小隨推力F的增大而增大，方向沿斜面向下。因此，隨著水平推力F的不斷增大，摩擦力的方向先沿斜面向上，后沿斜面向下，摩擦力的大小先逐漸變小后逐漸變大。但本題中未說明水平推力F增大到多大，故選項B表達更準確。

當水平推力F較小時，物體受重力G 、彈力FN、摩擦力Ff及推力F四力作用，當推力F增大到Gtanθ時，摩擦力Ff=0，此時物體僅受三力作用。此后，推力F再增大，物體又會受到摩擦力Ff作用。

例10 如圖14所示，物體在斜向上的推力F作用下靜止于粗糙的豎直墻壁上，當推力F逐漸變大時，試分析物體受到的摩擦力的變化情況。

分析 本題同上題一樣，當推力F逐漸變大時，摩擦力Ff的大小也會先增大后減小，問題的關(guān)鍵同樣是找出臨界條件，即推力F多大時，F(xiàn)f=0，由題意可知，當推力F的豎直分量等于重力，即 F=G/cosθ時，物體僅受三力作用；因此，當推力F≤G/cosθ時，摩擦力大小隨推力F的增大而減小到零，方向豎直向上，當推力F﹥G/cosθ時，摩擦力大小隨推力F的增大而增大，方向豎直向下。因此，隨著推力F的不斷增大，摩擦力的方向先向上、后向下，摩擦力的大小先逐漸變小后逐漸變大。

說明：此類問題的關(guān)鍵是求出四力轉(zhuǎn)化為三力時的臨界值。

6 注意似變非變問題

例11 如圖15所示，晾曬衣服的繩子輕且光滑，懸掛衣服的衣架的掛鉤也是光滑的，輕繩兩端分別固定在兩根豎直桿上的A、B兩點，衣服處于靜止狀態(tài)。如果保持繩子A端位置不變，將B端分別上下移動到不同的位置時，繩子張力變化情況如何？

分析 因為掛鉤和繩子都是光滑的，所以兩邊繩子與豎直方向夾角相等，當B端向上移動到B1位置時，根據(jù)對稱性可以證明繩子方向與OB方向平行，即衣服掛鉤與繩子的夾角不發(fā)生變化，所以不會使張力變化。

例12 如圖16所示，OA為一遵循胡克定律的彈性輕繩，其一端固定于天花板上的O點，另一端與靜止在動摩擦因數(shù)恒定的水平地面上的滑塊相連。當繩處于豎直位置時，滑塊對地面有壓力作用。B為緊挨繩的一光滑水平小釘，它到天花板的距離BO等于彈性繩的自然長度?，F(xiàn)用一水平力F作用于滑塊，使之向右緩慢地做直線運動，則在運動過程中，地面對滑塊的支持力FN如何變化？

分析 設AB間的長度為x，就是彈性輕繩開始時的伸長量。當繩處于豎直位置時，地面對滑塊的支持力FN=mg-kx?；瑝K向右緩慢地做直線運動到C時，設BC與水平方向的夾角為θ，這時彈性輕繩的伸長量x′=x/sinθ，這時地面對滑塊的支持力FN=mg-kx′sinθ=mg-kx，所以地面對滑塊的支持力不變，此時地面對滑塊的滑動摩擦力保持不變。

從以上各例可以看出，盡管動態(tài)平衡問題類型較多，但只要我們掌握相應的方法，熟悉處理各種問題的思路，一定能快速并準確地得出結(jié)論。

參考文獻：

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（欄目編輯 羅琬華）