等差數(shù)列設(shè)項(xiàng)技巧

馬繼鈞

涉及等差數(shù)列的問題，很多的解決方法與設(shè)項(xiàng)的情況有關(guān)，設(shè)得巧解決起來就快速簡便，設(shè)得不恰當(dāng)，運(yùn)算煩瑣，還容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.下面就常見等差數(shù)列設(shè)的技巧進(jìn)行剖析，希望對(duì)大家有所

幫助.

一、前后對(duì)稱項(xiàng)問題利用性質(zhì)求解

例1.（2014·陜西模擬）已知一等差數(shù)列的前四項(xiàng)的和為124，后四項(xiàng)的和為156，又各項(xiàng)和為210，則此等差數(shù)列共有（ ）

A.8項(xiàng) B.7項(xiàng) C.6項(xiàng) D.5項(xiàng)

分析：由題意等差數(shù)列的前四項(xiàng)的和為124，后四項(xiàng)的和為156，a1+a2+a3+a4=124，并且an+an-1+an-2+an-3=156，所以根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+an=70，再結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式進(jìn)行

求解.

解析：由題意可得，a1+a2+a3+a4=124，…①

并且an+an-1+an-2+an-3=156，…②

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，①+②可得：4（a1+an）=280，

所以a1+an=70.

由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得：Sn==35n=210.

所以解得n=6.故選C.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的簡單運(yùn)用，屬于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的簡單綜合.這類問題關(guān)鍵是設(shè)出各項(xiàng)，利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可

解決.

二、利用通項(xiàng)與和的關(guān)系公式求解

例2.（2014·江蘇一模）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn+Sn-1=3n2（n≥2）.若對(duì)任意的n∈N*，an

分析：本題已知條件滿足相鄰項(xiàng)的和，想到an和Sn的關(guān)系式，所以關(guān)鍵是根據(jù)條件求出an的有關(guān)的關(guān)系式，利用條件an

解析：由條件Sn+Sn-1=3n2（n≥2）得Sn+1+Sn=3（n+1）2（n≥2），

兩式相減得an+1+an=6n+3，

故an+2+an+1=6n+9，兩式再相減得an+2-an=6，

由n=2得a1+a2+a1=12，a2=12-2a，

從而a2n=6n+6-2a；n=3得a1+a2+a3+a1+a2=27，a3=3+2a，從而a2n+1=6n-3+2a，

由條件得a<12-2a6n+6-2a<6n-3+2a6n-3+2a<6（n+1）+6-2a，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查參數(shù)取值范圍的求解，根據(jù)條件求出與an的有關(guān)的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵，有一定的難度.

三、轉(zhuǎn)化為基本量求解

例3.（2014·太原一模）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a4+a7+a10=9，S14-S3=77，則使Sn取得最小值時(shí)n的值為（ ）

A.4 B.5 C.6 D.7

分析：等差數(shù)列{an}中，利用基本量法，求出首項(xiàng)與公差，得到Sn的公式，利用配方法能夠求出Sn取得最小值時(shí)n的值.

解析：等差數(shù)列{an}中，

∵a4+a7+a10=9，S14-S3=77，

∴當(dāng)n=5時(shí)，Sn取得最小值.故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的靈活運(yùn)用，是基礎(chǔ)題.解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答.

四、連續(xù)三項(xiàng)設(shè)中間項(xiàng)

例4.三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和等于18，它們的平方和等于116，則這三個(gè)數(shù)為 .

分析：由三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)為a-d，a，a+d，從而求解.

解析：依題意設(shè)這個(gè)數(shù)列為a-d、a，a+d.于是可得a-d+a+a+d=18，且（a-d）2+a2+（a+d）2=116.

解得a=6，d=2或a=6，d=-2，所以這三個(gè)數(shù)為4，6，8.故答案為：4，6，8.

點(diǎn)評(píng)：本題考查成等差數(shù)列的數(shù)的設(shè)法，本題的設(shè)法大大減少了運(yùn)算量.

編輯 韓 曉