關(guān)于滑塊與木板的相對運動問題的例析

吳秀萍

摘 要： 滑塊與長木板模型的題目，物理變量繁多，各物理量之間相互制約，對學(xué)生對各種知識的綜合分析應(yīng)用能力提出較高要求。作者從滑塊與長木板模型的基本問題開始，逐步引申到斜面、電磁場等環(huán)境中，以題目為例，對這一類型問題的解題思路與方法進行分析與歸納。

關(guān)鍵詞： 滑塊 長木板 相對運動

滑塊與長木板模型為運動力學(xué)的基本模型，考查學(xué)生對各種相對運動過程中摩擦力相互作用的分析與應(yīng)用，是高中物理中常遇問題，也是高考復(fù)習(xí)過程中需要重視的題目類型。該類型題目常引入斜面、電場、磁場等方面因素，各物理量間相互制約，對學(xué)生的綜合分析應(yīng)用能力提出更高要求。筆者嘗試從滑塊與長木板模型的基本情境開始，逐步引申到斜面、電磁場等環(huán)境中，對此類型問題進行分析與歸納。

一、只存在重力場的滑塊與長木板的相對運動問題

例1：如圖1所示，在光滑的水平地面上靜止放置一塊長度為2米，質(zhì)量為1kg的木板，在木板左端放置一塊質(zhì)量為1kg的滑塊，木板與滑塊之間存在動摩擦因數(shù)μ=0.2。要使滑塊從木板左端向右滑行而不致滑落，求滑塊初速度最大值。

圖1

解析：由于水平面光滑，滑塊與長木板作為整體，其在水平方向上不受外力作用。在光滑水平面上，滑塊滑到長木板上后，滑塊做勻減速運動，長木板做勻加速運動。當(dāng)二者速度相等時，二者將以共同的速度在光滑水平面上勻速直線運動，則滑塊不會滑落。若滑塊初速度較大，滑塊滑到長木板右端時，滑塊速度比長木板大，則滑落。所以當(dāng)滑塊恰好滑到右端且速度與木板相等時，滑塊的初速度為使其不致滑落的最大值。

滑塊恰好滑到右端時，滑塊相對長木板的位移為L，相對初速度為v=v-v=v，

相對加速度a=a-a=--=-=-=-2μg

∵L===

∴V==4m/s。

點評：只存在重力場的環(huán)境是基本類型。處于重力場水平面上，無外力作用，滑塊與長木塊水平方向上只受摩擦力的作用，其運動狀態(tài)也主要受摩擦力的影響。豎直方向上，只有重力與各個接觸面之間的壓力，不會發(fā)生變化。所以相對滑動時，摩擦力不會發(fā)生大小變化，直到速度相同。因此只需要對相對運動與摩擦力的作出正確的方向判斷，即可得出滑塊與長木塊的運動狀態(tài)。

例2：如圖2所示，質(zhì)量為1kg的長木板停在底端設(shè)有擋板的固定的光滑斜面上，斜面傾角為37°。質(zhì)量為5kg的滑塊以沿斜面方向7.2m/s的初速度，從長木板底端向上運動。已知滑塊與長木板之間動摩擦因素為0.3，在整個過程中，滑塊始終在長木板上，求滑塊沿斜面向上運動的最遠距離。（重力加速度為g=10m/s）

圖2

解析：初始滑塊相對木板做沿斜面向上的相對運動，受來自木板的摩擦力沿斜面向下，滑塊做勻減速運動。長木板受到摩擦力沿斜面向上，計算得摩擦力大于長木板所受重力沿斜面的分力，所以長木板沿斜面向上做勻加速直接運動。當(dāng)二者速度相同后，物塊與木板將以相同的速度與加速度一起向上做勻減速直線運動，直到二者速度減少到零時，物塊運動最遠。

設(shè)滑塊的質(zhì)量m，剛開始時勻減速運動的加速度大小為

a==gsinθ+μgcosθ=8.4m/s

設(shè)長木板的質(zhì)量為m，剛開始時做勻加速運動的加速度大小為

a==6m/s

設(shè)經(jīng)過t時間，二者的速度相等時

v=v-at=at？圯t=0.5s？搖？搖v=3m/s

當(dāng)二者的速度相等后，滑塊與長木板的加速度相等a=g·sinθ=6m/s。

所以滑塊沿斜面向上運動的最遠距離為s=t+=3.3m。

點評：當(dāng)系統(tǒng)處于斜面，影響運動狀態(tài)的，除摩擦力外還必須考慮重力沿斜面分力的作用。重力分力是不變的，其對滑塊與長木板產(chǎn)生的加速度也是相等的。所以當(dāng)斜面光滑時，滑塊與長木板速度相等即相對靜止后，摩擦力消失，在斜面方向上，二者只受重力分力作用，以相同的速度與加速度進行運動。

例3：一長木板在水平地面上運動，在t=0時刻將一相對于地面靜止的滑塊輕放到長木板上，以后長木板運動的速度-時間圖像如圖3所示。已知滑塊與長木板質(zhì)量相同，滑塊與長木板間、長木板與地面間均有摩擦，滑塊與長木板間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且木板足夠長。（取重力加速度g=10m/s）

求：（1）滑塊與長木板間μ和長木板與地面間的動摩擦因數(shù)μ；

（2）從t=0時刻開始到滑塊與長木板都靜止時，滑塊相對于長木板的位移的大小。

圖3

解析：（1）從t=0時開始，以長木板為參照物，滑塊相對長木板向左方向運動，所以滑塊受到的滑動摩擦力方向向右，使滑塊加速；長木板受到滑塊和地面的摩擦力，使木板減速，此過程一直持續(xù)到物塊和木板具有共同速度為止，所以在圖像折點處，即0.5s時，物塊和木板速度相等。設(shè)從0—0.5s時間內(nèi)，滑塊加速度為a，長木板加速度為a，則

對于滑塊：a===2m/s

由牛頓第二定律得：μmg=ma？圯μ===0.2

對于長木板：a=||=||=8m/s

由牛頓第二定律得：μmg+μ（mg+mg）=ma？圯μ=0.3

（2）當(dāng)二者速度相等后，假設(shè)滑塊與長木板一起做勻減速運動，對于滑塊和長木板這個系統(tǒng)進行受力分析得出系統(tǒng)共同加速度：μ·2mg=2ma？圯a=μg=3m/s

滑塊受到靜摩擦力為：f=ma=3m（N）

又因為滑塊受到的最大靜摩擦力為：f=μmg=2m（N）

∵滑塊受到的f>f

∴假設(shè)不成立

二者仍發(fā)生相對滑動，且以不同加速度做勻減速運動，設(shè)滑塊和長木板的加速度分別為a′和a′，可得

μmg=ma′？圯a′=a=2m/s

μ·2mg-μmg=ma′？圯a′=4m/s

則滑塊的v-t圖像如圖3-1中虛線所示?？赏浦瑥膖=0到停止，滑塊和長木板的運動距離分別為

圖3-1

s=×t×2=×0.5×2=0.5（m）

s=×t×=×0.5×=1.625（m）

∴s=|s-s|=1.125（m）

點評：若水平地面粗糙，滑塊與長木板速度相等后，整個系統(tǒng)在水平方向上仍受外力即地面摩擦力作用。此時需用假設(shè)法判斷是否以相同加速度進行勻減速運動，或是以不同的加速度做勻減速運動。

二、勻強電場作用下滑塊與長木板的相對運動問題

例4：如圖所示，在電場強度為E=1×10N/C的水平向右的勻強電場中，粗糙水平面上靜止放置著一質(zhì)量為M=0.2kg的長木板。另一帶正電荷滑塊以初速度v=8m/s滑上長木板，滑塊質(zhì)量為m=0.1kg，帶電量為q=2×10C。已知長木板與水平面間動摩擦因數(shù)μ=0.1，滑塊與長木板間動摩擦因數(shù)μ=0.5，重力加速度為g=10m/s。求：

圖4

（1）開始時滑塊和長木板的加速度大小分別為多少？

（2）滑塊最后停止時，距長木板左端的距離為多少？

解析：（1）滑塊與長木板之間的滑動摩擦力f=μ·mg=0.5N，長木板與水平面之間滑動摩擦力f=μ（m+M）g=0.3N，電場力qE=0.2N。

滑塊剛滑上長木板時，相對長木板向右運動，滑塊受到長木板的動摩擦力向左，長木板受滑塊摩擦力向右。

設(shè)此時長木板與滑塊的加速度分別為a和a，可得：f–qE=ma，f–f=ma，得a=3m/s，a=1m/s。

（2）設(shè)二者經(jīng)過t時間速度相等，此時速度為v，則v-at=at=v，得t=2s，v=2m/s。

這段時間內(nèi)滑塊位移：s=·t=×2=10（m）

長木板位移：s=·t=×2=2（m）

當(dāng)長木板與滑塊速度相等，假設(shè)二者以相同速度與加速度一起向右做勻減速運動，對滑塊和長木板系統(tǒng)的水平受力分析，可得共同的加速度為

F-qE=（m+M）a？圯a=（m/s）

此時滑塊受到的靜摩擦力為f′：f′-qE=ma？圯f′=（N）

∵f′

∴假設(shè)成立

在此之后，滑塊與長木板一起向右減速運動?；瑝K最后停止時，距長木板左端的距離為Δs=s–s=8m。

點評：在勻強電場作用下，帶電物體除受到重力壓力摩擦力的作用外，還受大小方向不變的電場力作用。若電場方向是水平的，電場力對摩擦力沒有直接影響，則只需將其作為一個恒力考慮，其他方面與沒有電場力作用的情況相同。若電場方向不是水平，則需要考慮電場力在豎直方向的分力對摩擦力的影響。

三、勻強磁場作用下滑塊與長木板的相對運動問題

例5：如圖5所示，在垂直于紙面向里的勻強磁場中，將一帶負(fù)電荷的滑塊A放置在不帶電的絕緣小車B上，初始時二者均處于靜止?fàn)顟B(tài)。在t=0時刻小車B受到一較小的水平向左恒力F推動。已知地面光滑，小車B足夠長，A、B接觸面粗糙，在運動過程中A所帶電荷量保持不變。圖5-乙中關(guān)于A、B的v-t圖像大致正確的是（？搖？搖？搖？搖）

圖5

解析：滑塊A在水平方向上只受摩擦力作用，滑塊A與小車B間壓力等于重力與豎直向上的洛倫茲力的合力，摩擦力受其影響而變化；小車B在水平方向上受滑塊A的摩擦力與恒力F的共同作用。

初始二者速度小，洛倫茲力小，二者一起做勻加速直線運動，共同加速度a=，滑塊受靜摩擦力f=m·a=。

隨運動進行，A受到方向向上的洛倫茲力逐漸增大，A對B的壓力逐漸減小，使得A、B間的最大靜摩擦力減小，當(dāng)f

點評：在勻強磁場作用下，帶電物體在運動過程中受垂直于運動方向的洛倫茲力影響。當(dāng)磁場方向垂直于紙面，洛倫茲力方向是豎直的，與重力共同影響物體之間的壓力，從而影響摩擦力。需注意速度的變化引起洛倫茲力變化，從而影響摩擦力，應(yīng)進行動態(tài)分析。

小結(jié)：滑塊與長木板相對運動的問題，在認(rèn)真審題和進行初步的受力分析后，需要理清以下三個問題：1.豎直于運動方向的力的作用，尤其是壓力變化對摩擦力影響；2.平行于運動方向的合力對運動狀態(tài)的作用，尤其注意外力在水平方向分力，以及摩擦力的變化；3.運動狀態(tài)發(fā)生變化的臨界點時，物體受力情況與加速度的變化，如滑塊與木板速度相同時的力的變化。理清這三個問題，即可將整個運動過程清晰地呈現(xiàn)出來，從而找出解題思路。