生活中的一元一次方程應(yīng)用

陳小云

數(shù)學(xué)來源于生活，生活中最基本的衣、食、住、行都含有數(shù)學(xué)元素. 隨著社會的發(fā)展，生活中的科學(xué)化、經(jīng)濟活動中的最優(yōu)化都需要人們運用數(shù)學(xué)知識、思想和方法. 一元一次方程雖簡單，卻是刻畫和研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型.初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱上明文要求學(xué)生會利用數(shù)學(xué)去解決實際生活中所遇到的問題，并且將生活中的實際問題描述為具備實際意義的數(shù)學(xué)問題. 現(xiàn)就一元一次方程在實際生活中的應(yīng)用，從比賽、商品銷售、交通運輸、電費水費等日常生活中的四個方面舉一些常見例子.

一、 比賽類

例1 （2015·云南）為有效開展陽光體育活動，云洱中學(xué)利用課外活動時間進行班級籃球比賽，每場比賽都要決出勝負(fù)，每隊勝一場得2分，負(fù)一場得1分. 已知九年級一班在8場比賽中得到13分，問九年級一班勝、負(fù)場數(shù)分別是多少？

【分析】設(shè)勝了x場，那么負(fù)了（8-x）場，根據(jù)得分為13分可列方程求解.

解：設(shè)勝了x場，那么負(fù)了（8-x）場，根據(jù)題意得：2x+1×（8-x）=13，

解得：x=5， 8-x=3.

答：九年級一班勝、負(fù)場數(shù)分別是5和3.

【方法提升】解比賽類應(yīng)用題的關(guān)鍵是設(shè)出勝的場數(shù)，以總分?jǐn)?shù)作為等量關(guān)系列方程求解.

二、 商品銷售類

例2 （2015·江蘇泰州）某校七年級社會實踐小組去商場調(diào)查商品銷售情況，了解到該商場以每件80元的價格購進了某品牌襯衫500件，并以每件120元的價格銷售了400件.商場準(zhǔn)備采取促銷措施，將剩下的襯衫降價銷售.請你幫商場計算一下，每件襯衫降價多少元時，銷售完這批襯衫正好達到盈利45%的預(yù)期目標(biāo)？

【分析】設(shè)每件襯衫降價x元，根據(jù)銷售完這批襯衫正好達到盈利45%的預(yù)期目標(biāo)，列出方程求解即可.

解：設(shè)每件襯衫降價x元，根據(jù)題意，得：

120×400+（120-x）×100=80×500×（1+45%），

解得：x=20.

答：每件襯衫降價20元時，銷售完這批襯衫正好達到盈利45%的預(yù)期目標(biāo).

【方法提升】解商品銷售類應(yīng)用題的關(guān)鍵是弄清商品的進價、售價、利潤、折扣、利潤率等之間的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列方程求解.

三、 交通運輸類

例3 甲乙兩人騎自行車，同時從相距65千米的兩地相向而行，甲的速度為17.5千米/小時，乙的速度為15千米/小時，經(jīng)過幾個小時甲乙兩人相距32.5千米.

【分析】本題容易漏解，題中兩人相距32.5千米存在兩種情況，相遇前相距32.5千米或相遇后相距32.5千米，所以應(yīng)進行分類討論.

解：設(shè)經(jīng)過x小時兩人相距32.5千米，分兩種情況討論：

（1） 相遇前兩人相距32.5千米，根據(jù)題意得：17.5x+15x=65-32.5，

解得：x=1；

（2） 相遇后兩人相距32.5千米時，根據(jù)題意得：17.5x+15x=65+32.5，

解得：x=3.

答：經(jīng)過1或3小時甲乙兩人相距32.5千米.

【方法提升】解決實際問題時要正確理解題目中給的已知條件中的不確定的數(shù)量、結(jié)論等，為保證答案全面、完整，需要分情況解決.

四、 電費水費類

例4 （2015·湖北省孝感）某市為提倡節(jié)約用水，采取分段收費. 若每戶每月用水不超過20 m3，每立方米收費2元；若用水超過20 m3，超過部分每立方米加收1元. 小明家5月份交水費64元，則他家該月用水_______m3.

【分析】20立方米時交40元，題中已知五月份交水費64元，即已經(jīng)超過20立方米，所以64元水費由兩部分構(gòu)成，列方程即可解答.

解：設(shè)該用戶居民五月份實際用水x立方米，

根據(jù)題意，得： 20×2+（x-20）×3=64，

解得：x=28.

故答案是：28.

【方法提升】在解水費電費分段收費類應(yīng)用題時往往可以設(shè)其中一部分?jǐn)?shù)量為x，然后表示出剩下的一部分?jǐn)?shù)量，再根據(jù)水費電費數(shù)量關(guān)系列出方程求解.

五、 古代數(shù)學(xué)問題

例5 （2015·浙江嘉興）公元前1700年的古埃及紙草書中，記載著一個數(shù)學(xué)問題：“它的全部，加上它的七分之一，其和等于19.”此問題中“它”的值為_______.

【分析】設(shè)“它”為x，根據(jù)它的全部，加上它的七分之一，其和等于19列出方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出“它”的值.

【方法提升】解古代數(shù)學(xué)問題時要抓住題目中出現(xiàn)的關(guān)鍵詞、能夠體現(xiàn)其數(shù)量關(guān)系的句子，將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型，列出方程.

【試一試】

1. （2015·廈門）某商店舉辦促銷活動，促銷的方法是將原價x元的衣服以

x-10元出售，則下列說法中，能正確表達該商店促銷方法的是（ ）.

A. 原價減去10元后再打8折

B. 原價打8折后再減去10元

C. 原價減去10元后再打2折

D. 原價打2折后再減去10元

2. 學(xué)校組織一次有關(guān)世博的知識競賽共有20道題，每一題答對得5分，答錯或不答都倒扣1分，小明最終得76分，那么他答對_______題.

3. 父子倆在同一單位工作，父親從家到單位需用30 min，兒子走這段路只用了20 min，若父親比兒子早出發(fā)5 min，則兒子追上父親需要_______min.

4. 爺爺與孫子下了12盤棋（未出現(xiàn)和棋）后，得分相同，爺爺贏一盤記1分，孫子贏一盤記3分，則爺爺贏了_______盤，孫子贏了_______盤.

5. （2015·懷化）小明從今年1月初起刻苦練習(xí)跳遠，每個月的跳遠成績都比上一個月有所增加，而且增加的距離相同. 2月份、5月份他的跳遠成績分別為4.1 m、4.7 m. 請你算出小明1月份的跳遠成績以及每個月增加的距離.

6. 民航規(guī)定：乘坐飛機普通艙旅客一人最多可免費攜帶20千克行李，超過部分每千克按飛機票價的1.5%購買行李票. 一名旅客帶了40千克行李乘機，機票連同行李費共付1 170元. 機票的價錢是多少？

7. 請根據(jù)圖中給出的信息，求出大量筒中水的高度.

8. 古代數(shù)學(xué)問題：

巍巍古寺在山林，不知寺內(nèi)幾多僧；

三百六十四只碗，看看用盡不差爭；

三人共食一碗飯，四人共吃一碗羹；

請問先生明算者，算來寺內(nèi)幾多僧？

9. （2015·深圳）右表為深圳市居民每月用水收費標(biāo)準(zhǔn).（單位：元/m3）

（1） 某用戶用水10立方米，共交水費23元，求a的值；

（2） 在（1）的前提下，該用戶5月份交水費71元，請問該用戶用水多少立方米？

10. 王剛到書店幫同學(xué)們買書，售貨員告訴他，如果花20元錢辦理會員卡，將享受八折優(yōu)惠.

（1） 王剛預(yù)計要到書店買80元書，他是否值得辦卡？

（2） 在什么情況下，辦會員卡與不辦會員卡買書的費用一樣？

（3） 當(dāng)王剛買標(biāo)價共計200元的書時，怎么做合算，能省多少錢？

【參考答案】

1. B 2. 16 3. 10 4. 9 3

5. 解：設(shè)小明1月份的跳遠成績?yōu)閤 m，根據(jù)題意，得：4.7-4.1=3（4.1-x），解得：x=3.9. 則每個月的增加距離是4.1-3.9=0.2（m）.

答：小明1月份的跳遠成績是3.9 m，每個月增加的距離是0.2 m.

6. 解：設(shè)該旅客機票票價為x元，根據(jù)題意，得：x+（40-20）×1.5%x=1 170，

解得：x=900.

答：該旅客的機票價為900元.

7. 設(shè)大量筒中水的高度為x cm，根據(jù)題意，得：π×52x=π×42（x+6），解得：x=10.

答：大量筒中水的高度為10 cm.

8. 分析：山林中有一個古寺，寺里共有364個碗，平均三個僧人共用一個碗吃飯，四個僧人共用一個碗喝湯，試問寺中有多少個僧人？

等量關(guān)系：吃飯用的碗+喝湯用的碗=364，

解：設(shè)寺中有x個僧人，根據(jù)題意，得

+=364 ，解得：x=624.

答：寺中有624個僧人.

9. 解：（1） a=2.3.

（2） 設(shè)該用戶用水量為x立方米.

∵用水22立方米時，水費為22×2.3=50.6<71，∴x>22，∴22×2.3+（x-22）×（2.3+1.1）=71，

解得：x=28.

答：該用戶用水28立方米.

10. （1） 不值得辦卡；

（2） 當(dāng)買標(biāo)價為100元的書時，辦會員卡與不辦會員卡買書的費用一樣；

（3） 當(dāng)王剛買標(biāo)價共計200元的書時，辦會員卡合算，能省20元.

（作者單位：江蘇省如皋市實驗初級中學(xué)）