談小學(xué)數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)

沈婷

摘 要： 思維是智力的核心，是創(chuàng)造力的源泉。義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：小學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。因此思維培養(yǎng)是教育的本質(zhì)目的之一，在學(xué)習(xí)中起著舉足輕重的作用，對于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)應(yīng)貫通教學(xué)始終，作者就以“雞兔同籠”問題為例，談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、拓展性。

關(guān)鍵詞： 雞兔同籠 思維能力 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

“雞兔同籠”是一道既有趣又益智的歷史名題。大約在1500年前，我國著名的數(shù)學(xué)著作《孫子算法》中早有記載：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔幾何？在小學(xué)教材中也有涉及，如雞和兔一共有8只，數(shù)一數(shù)腿有22條，你知道雞和兔各有多少只嗎？筆者以此題為例談?wù)剬τ趯W(xué)生思維能力的培養(yǎng)的見解。

一、一題多解——培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

思維的靈活性是指思維活動(dòng)的智力靈活程度。小學(xué)兒童在運(yùn)算中思維靈活性的發(fā)展表現(xiàn)為：“一題多解”的解題方法運(yùn)用靈活；靈活解題的精細(xì)性增強(qiáng)；兒童組合分析水平不斷提高。思維的靈活性，其核心是善于運(yùn)用已有知識經(jīng)驗(yàn)解決實(shí)際問題。

這道“雞兔同籠”的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生多角度、全方位地思考，讓他們在課堂教學(xué)中主動(dòng)與他人合作探討培養(yǎng)他們的思維的靈活性。學(xué)生討論熱烈，交流深刻，思維碰撞眾多精彩的火花，一題有五解，真為他們感到自豪。

解法一：畫圖法

先畫8個(gè)圓，表示一共有8只動(dòng)物，再畫腳少的動(dòng)物雞，每只雞2只腳，8只雞就16只腳。然后把多余的腳補(bǔ)成腳多的動(dòng)物，還有22-16=6只腳，又因?yàn)槊恐煌帽让恐浑u多2只腳，再把這6只腳兩只兩只地補(bǔ)在剛才畫的雞上，就成了6÷2=3只有4只腳的兔，沒有添上腳的還有8-3=5只雞。就能根據(jù)畫圖法一眼看出兩種動(dòng)物各有多少只了。

解法二：列表法

雞和兔一共有8只，也就是雞有1只，兔就有7只，腿有2+28=30條；雞有2只，兔就有6只，腿有4+24=28條……以此類推列一個(gè)表格，從而找出和實(shí)際腳數(shù)相符的情況。從表中可以看出，當(dāng)雞5只，兔3只時(shí)，腿共有22條。

以上兩種方法直觀形象，淺顯易懂，適合數(shù)據(jù)不是太大的情況下使用，當(dāng)數(shù)據(jù)較大時(shí)畫圖法和列舉法就顯得很麻煩，因此這兩種方法不具備普遍性。

解法三：極端假設(shè)法

采用極端假設(shè)法，有兩種極端法：

一個(gè)是極端假設(shè)全是雞，8只雞就有8×2=16只腳，而實(shí)際卻有22只腳，假設(shè)比實(shí)際少了22-16=6只腳，因?yàn)榘褜?shí)際4只腳的兔當(dāng)做了2只腳的雞，所以少出來的腳是兔的，每只兔子少了4-2=2只腳，少出來的6只腳里有3個(gè)兩只。所以6÷2=3只兔，雞有8-3=5只采用假設(shè)法必須要用檢驗(yàn)，確保正確。兔3×4=12只腳，雞5×2=10只腳，共有12+10=22只腳，說明答案正確。

反之，另一種極端假設(shè)全是兔，可按上述方法完成。

極端假設(shè)法，要對思維能力要求高一些，能力要強(qiáng)一些。由于對于學(xué)生抽象思維理解難度較大，那么可以結(jié)合形象思維輔助理解。

解法四：形象假設(shè)法

形象假設(shè)法有三種。

第一種是“抬腳法”。首先讓雞和兔都抬起1只腳，這是地上還剩下22-8=14只腳；再讓雞和兔各抬起一只腳，這是雞就兩腳離地，一屁股坐到地上了。當(dāng)兔子抬起兩只腳后，每只兔子地上還有2只腳。這時(shí)地上總共剩下14-8=6只腳，而這6只腳都是兔子的，每只兔子還剩2只腳，所以兔子有6÷2=3只，那么雞就有8-3=5只。

第二種是“砍腳法”。假設(shè)把雞和兔子的腳各砍掉一半，即雞砍掉1只腳，兔砍掉2只腳，那么還剩下22÷2=11只腳。這時(shí)是8個(gè)頭，11只腳。因?yàn)槊恐浑u還剩1只腳，每只兔還剩2只腳，每只兔子比每只雞多1只腳，所以腳比頭多的數(shù)量就是兔子的只數(shù)：11-8=3只，那么雞的只數(shù)是8-3=5只。

抬腳法和砍腳法仍然是假設(shè)法，只不過敘述起來更生動(dòng)，學(xué)生理解起來更形象，雞和兔就像是幽默的、訓(xùn)練有素的小兵。抬腳法和砍腳法都是從雞和兔的腳上做文章，那么他們的頭能不能也可以做做文章解決問題呢？

第三種是“增頭法”。假設(shè)8只動(dòng)物中的每只動(dòng)物都增加一個(gè)頭變成怪異動(dòng)物，就有2×8=16個(gè)頭，頭和腳的差是22-16=6。這時(shí)雞有2個(gè)頭2只腳，頭和腳的差是0；兔有2個(gè)頭和4只腳，頭和腳的差是2。說明6個(gè)里面有3個(gè)2，兔有6÷2=3只，雞有8-3=5只。

解法五：方程法

采用一元一次方程，可以有兩種解法。都是按照雞和兔共有8只設(shè)未知數(shù)，按照腿有22條列出方程，然后求解。

第一種，解：設(shè)兔有x只，雞有（8-x）只。

4x+2（8-x）=22

2x+16=22

x=3

8-x=8-3=5

答：兔有3只，雞有5只。

第二種，是設(shè)雞有x只，則兔有（8-x）只。列出方程完成此題。

方程解法對方程的計(jì)算要求很高，到了初中，還有二元一次方法求解，在此就不具體講述了。

二、編寫題目——培養(yǎng)學(xué)生的思維獨(dú)創(chuàng)性

思維的獨(dú)創(chuàng)性是指思維活動(dòng)在獨(dú)立性、發(fā)散性和新穎性上的表現(xiàn)。小學(xué)兒童思維獨(dú)創(chuàng)性發(fā)展趨勢表現(xiàn)為：（1）從對具體形象材料加工發(fā)展到對語詞抽象材料加工。（2）先模仿，再經(jīng)過半獨(dú)立性的過程，最后發(fā)展到獨(dú)創(chuàng)性。因此在教學(xué)中教師不僅要積極鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度思考問題，一題多解，發(fā)展學(xué)生的思維靈活性，而且要繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較，發(fā)現(xiàn)從中優(yōu)化出最合理的解法，使其方法具有獨(dú)特性。并通過改編題目的訓(xùn)練，使學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性得以發(fā)展。

前面我們完成了“雞和兔一共有8只，腿有22條，你知道雞和兔各有多少只嗎？”這一問題，并用五種不同的方法解決了題目，下面再做幾道題目試試。

題目1：雞和兔一共有8只，腿有18條，雞和兔各有多少只嗎？

題目2：雞和兔一共有8只，腿有24條，雞和兔各有多少只嗎？

題目3：雞和兔一共有8只，腿有26條，雞和兔各有多少只嗎？

題目4：雞和兔一共有8只，腿有30條，雞和兔各有多少只嗎？

這時(shí)誘導(dǎo)學(xué)生思考：大家還想不想再做題了，只要你們想，老師就永遠(yuǎn)有題目。老師這里有50道、500道，甚至更多的題目，你們相信嗎？其實(shí)不僅我有成百上千的題目，你們也可以有，仔細(xì)觀察是怎么編寫題目的？

學(xué)生在自主交流，老師點(diǎn)撥下，學(xué)會了自己編寫題目。先假設(shè)有雞和兔一共有5只，該有幾條腿呢？其實(shí)腿的只數(shù)是在一個(gè)范圍內(nèi)的。最少的是按照5只全部是雞，每只2條腿，共有5×2=10條腿；最多的按照5只全部是兔，每只4條腿，共有5×4=20條腿，因此雞和兔的腿數(shù)應(yīng)該比10條多，且比20條少，同時(shí)腿都是偶數(shù)，所以可以是12、14、16、18。這樣就有4個(gè)題目。

題目1：雞和兔一共有5只，腿有12條，雞和兔各有多少只？

題目2：雞和兔一共有2只，腿有14條，雞和兔各有多少只？

題目3：雞和兔一共有2只，腿有16條，雞和兔各有多少只？

題目4：雞和兔一共有2只，腿有18條，雞和兔各有多少只？

學(xué)生通過自己改編題目，不僅獲得了雞兔同籠的解法，更收獲了一種學(xué)習(xí)方法，學(xué)習(xí)的成就感和自信心油然而生。學(xué)生的思維在更靈活的同時(shí)，也更具獨(dú)創(chuàng)性。

三、舉一反三——培養(yǎng)學(xué)生的思維的拓展性

思維的拓展性是在學(xué)習(xí)過程中，以某個(gè)知識作為支點(diǎn)，積極激發(fā)學(xué)習(xí)者的綜合能力，通過舉一反三思維拓展的過程，對于事物產(chǎn)生獨(dú)到新穎的理解。因此在學(xué)生多種方法解決雞兔同籠問題，并學(xué)會自己改編題目的基礎(chǔ)上，挖掘雞兔同籠的本質(zhì)與關(guān)系，使復(fù)雜的問題簡單化，不僅僅是解決這一道題，而是解決雞兔同籠的這一類題目，更注重知識點(diǎn)成線成面。

在練習(xí)中有這樣一道題目：有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種昆蟲共18只，一共118條腿，20對翅膀。已知蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，2對翅膀；蟬6條腿，1對翅膀。蜘蛛、蜻蜓、蟬各幾只？

分析此題含有三個(gè)未知數(shù)，很難下手，但是仔細(xì)觀察體重蜻蜓和蟬的腿數(shù)是相等的，仍可以看成類似的雞兔同籠問題。當(dāng)然此題可以用方程求解，這里重點(diǎn)講解假設(shè)法。

因?yàn)轵唑押拖s的腿數(shù)是相等的，所以這里假設(shè)18只全是蜻蜓，那么共有18×6=108條腿，假設(shè)比實(shí)際少了118-108=10條，而這少的10條是由于把蜘蛛看成蜻蜓的結(jié)果，因此蜘蛛有10÷（8-6）=5只。那么蜻蜓和蟬共有18-5=13只。現(xiàn)在的題目變成兩個(gè)未知數(shù)“有蜻蜓、蟬兩種昆蟲共13只，20對翅膀。問蜻蜓、蟬各幾只？”這就成為完完全全的雞兔同籠問題。再假設(shè)13只全是蟬，那么共有13×1=13對翅膀，這比實(shí)際少了20-13=7條翅膀，這少的7條翅膀正是把蜻蜓看做蟬的結(jié)果，所以蜻蜓有7÷（2-1）=7只，那么蟬就有13-7=6只。由此可見，無論多復(fù)雜的雞兔同籠問題，只要充分掌握假設(shè)法，就可以轉(zhuǎn)換為基本的雞兔同籠問題。

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