淺析數(shù)學(xué)開放性問題

董軍

數(shù)學(xué)開放性問題指條件和結(jié)論不完備或不確定、解題策略多樣化的題目，它一般需要學(xué)生通過觀察、試驗(yàn)、估計(jì)、猜測、類比和歸納等才能解決，對學(xué)生具有挑戰(zhàn)性和探究性.國際數(shù)學(xué)教育委員會指出：“……也許在數(shù)學(xué)課堂更多地進(jìn)行沒有固定答案的研討的趨勢，將會使更多的學(xué)生首次體驗(yàn)到科學(xué)女皇賦予該學(xué)科的美感.”無疑，把數(shù)學(xué)開放性問題引入教學(xué)中，是提高課堂教學(xué)質(zhì)量的重要而有效的途徑，也是全面培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要環(huán)節(jié).本文就初中數(shù)學(xué)中的幾類開放性問題進(jìn)行歸類和分析.

一、探索性問題

這類問題有別于其他常規(guī)問題，從解題過程來看，較少現(xiàn)成的法則和套路，較多分析、探索與創(chuàng)新.

例1：①若有兩張長方形的桌子，把它們拼成一張長方形桌子，有幾種拼法？（兩種，如圖1、2）

②一張桌子可坐6個(gè)人，若按圖2方式擺放，2張桌子可坐？搖 ？搖？搖人.③按圖2方式繼續(xù)擺放桌子，完成下表：

先讓學(xué)生把表格中的前4項(xiàng)填好，之后再討論n張桌子可坐幾人？

學(xué)生從不同的角度思考，得到不同的策略：①一張桌子可坐6人，每增加一張桌子增加4人，幾張桌子增加4（n-1）人，因此n張桌子可坐[6+4（n-1）]人，即（4n+2）人；②桌子無論增加幾張，左右兩側(cè)始終只能坐2人，而每張桌子的上下兩側(cè)都可坐4人，故有（4n+2）人；③每張桌子可坐6人，那么n張桌子按理可坐6n人，但要減去每兩張桌子重合的2人.列式得6n-2（n-1），等于（4n+2）人；④一張桌子的一半可坐（2+1）人，n張桌子的一半可坐（2n+1）人，因此，n張桌子可坐2（2n+1）人，即（4n+2）人.這一系列問題的設(shè)計(jì)給學(xué)生的不同見解留下了足夠的空間，學(xué)生可以在自己原有的知識結(jié)構(gòu)中進(jìn)行同化，多角度、全方位地尋找解題策略.

評析：這是“多結(jié)論”的開放題，它不限于結(jié)論，而是讓學(xué)生觀察圖形，分析條件有關(guān)的已知條件探求諸多因素間的關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)結(jié)論，增強(qiáng)了思維的發(fā)散性，對培養(yǎng)思維的靈活性、廣泛性有獨(dú)到之處.

二、存在性開放問題

這類問題是探索題設(shè)條件下的某個(gè)數(shù)學(xué)對象（數(shù)值、點(diǎn)、其他圖形）是否存在，一般按以下思路進(jìn)行：假設(shè)存在—演繹推理—得出結(jié)論，即肯定存在或否定存在.

評析：本題著重考察根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)要利用原方程根的判別式得出矛盾.從這一點(diǎn)看，這類問題培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性.

三、閱讀理解類問題

這種題型對考生的能力提出了更高的要求：會閱讀，能理解，能找出錯(cuò)誤，在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析和歸納總結(jié)，并解決實(shí)際問題.

∴△ABC是直角三角形.

解析：（1）閱讀過程中，可發(fā)現(xiàn)③出現(xiàn)錯(cuò)誤；

所以，本題的正確結(jié)論是△ABC是一直角三角形或等腰三角形.

評析：本題考查了學(xué)生閱讀理解過程中邏輯推理的嚴(yán)密性，較之讓學(xué)生直接判斷三角形的形狀降低難度，但培養(yǎng)了學(xué)生思維的批判性，克服了思維的盲從性.

四、分類討論問題

這類問題常需要根據(jù)對象的性質(zhì)差異，分別以不同情況予以考查.而分類討論這種解題策略，也具有較強(qiáng)的邏輯性及綜合性.

依據(jù)a的取值，分類討論如下：

1.當(dāng)-4

4.當(dāng)a≥4或x≤-4時(shí)，原不等式所對應(yīng)的方程的兩根為：

評析：因本題是含參數(shù)a的題目，a的取值直接影響不等式的取值范圍，因此必須根據(jù)參數(shù)a的不同取值進(jìn)行分類討論，從而提高了思維的全面性和準(zhǔn)確性.