盤點(diǎn)《整式乘法與因式分解》中的數(shù)學(xué)思想方法

周玉俊

思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓，初中階段常見的數(shù)學(xué)思想方法有轉(zhuǎn)化、分類、數(shù)形結(jié)合等. 在日常學(xué)習(xí)中，如果同學(xué)們能經(jīng)常從思想方法的高度對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行審視與思考，這對提升大家的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、發(fā)展思維能力是十分有益的.下面結(jié)合本單元內(nèi)容舉例說明.

一、 轉(zhuǎn)化思想

“轉(zhuǎn)化”是研究數(shù)學(xué)問題的一種基本思想.在解決數(shù)學(xué)問題時，總的指導(dǎo)思想是把所求問題通過變換，化歸為在已知條件下能夠解決的問題.在本單元中，要求某些特殊類型的多項(xiàng)式的值，可以借助因式分解將多項(xiàng)式變形后再求解，這樣做往往能夠化繁為簡.

【點(diǎn)評】本例（1）中的轉(zhuǎn)化可以從條件出發(fā)，也可以從結(jié)論出發(fā)，但目標(biāo)都是對x3進(jìn)行降次；（2）是關(guān)于大數(shù)值的計(jì)算問題，若直接計(jì)算將十分繁瑣，而通過用字母表示數(shù)的方法將原問題轉(zhuǎn)化成整式的計(jì)算問題，便可幫助我們達(dá)到化繁為簡、出奇制勝的目的.

二、 分類討論

分類討論是十分重要的數(shù)學(xué)思想.本單元在涉及完全平方式問題時，由于中間項(xiàng)系數(shù)可正可負(fù)，所以結(jié)果往往有兩解.

【點(diǎn)評】完全平方式可定義為：a2±2ab+b2，這樣的多項(xiàng)式都是兩個數(shù)的平方和加上或減去這兩個數(shù)積的2倍，因此，完全平方式中間項(xiàng)的系數(shù)可正可負(fù)，故（1）中m的值應(yīng)為兩解.第（2）小題在分類時要做到不重復(fù)、不遺漏，標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，思考要全面.

三、 數(shù)形結(jié)合

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”學(xué)習(xí)整式的乘法和因式分解，我們不僅要能從“數(shù)”的角度熟練進(jìn)行運(yùn)算，而且要能從“形”的角度理解公式、法則的幾何背景，既要學(xué)會算法，也要弄清算理，真正做到數(shù)形結(jié)合，融會貫通.

例3 如圖1是一個邊長為（m+n）的正方形，小穎將圖1中的陰影部分拼成圖2的形狀，由圖1和圖2能驗(yàn)證的式子是（ ）.

【解析】由題意可知，拼圖前后陰影部分的面積保持不變.

【點(diǎn)評】完成本題一定要抓住兩個圖形中陰影部分的面積相等，由圖1可知，四個直角三角形的直角邊均為m、n，拼圖前陰影部分面積可以用大正方形的面積減去小正方形的面積表示，拼圖后陰影部分可以分成上下兩個三角形，也可以分成左右兩個三角形，還可以分成四個三角形，只要抓住拼圖前后陰影部分面積相等，就能得出正確答案，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

四、 整體思想

【解析】將已知條件化簡得y-x=-2，即x-y=2；把要求的代數(shù)式變形得-xy==，再將x-y=2當(dāng)成一個“整體”代入，結(jié)果為2.

【點(diǎn)評】解答以上兩例的關(guān)鍵是要有整體意識. 例4第（1）小題要將x2-2x當(dāng)成一個“整體”，由已知條件得這個整體等于3，而2x2-4x在提取出2之后恰好也含有這個“整體”，只需再代入求值即可；第（2）小題將已知條件用完全平方公式展開后，將兩式分別相加減，同樣要把（a2+b2）和ab當(dāng)成整體. 在例5中把要求的代數(shù)式先通分，再把分子因式分解，通過變換得到（x-y）這個整體.

（作者單位：江蘇省東臺市教育局教研室）