數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)

潘秋瑜

數(shù)學(xué)概念是客觀對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性的反映，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論和構(gòu)建數(shù)學(xué)框架的奠基石。對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解與掌握既是正確思維的前提，又是提高數(shù)學(xué)解題能力的必要條件。盡管一直以來，教學(xué)大綱和新課標(biāo)都強(qiáng)調(diào)了概念的重要性和基礎(chǔ)性，但教育反饋的結(jié)果表明，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的掌握并不理想。對(duì)于鄰近的數(shù)學(xué)概念辨別不清，對(duì)于基本的數(shù)學(xué)概念理解不透徹顯得更平常。每次考試過后，總有學(xué)生由于數(shù)學(xué)概念把握不準(zhǔn)確和思路混亂，而導(dǎo)致解題失誤。而教師對(duì)于學(xué)生的錯(cuò)誤也表示出乎意料，深感最基本的概念問題是必得分問題，怎么可能丟分？而追根究底，數(shù)學(xué)概念形成的主要渠道可以說是教學(xué)。但現(xiàn)在許多教師仍然存在“重解題技巧的教學(xué)，輕數(shù)學(xué)概念的教學(xué)”的傾向，有的教師仍然刻意追求概念教學(xué)的最小化和習(xí)題教學(xué)的最大化，并譽(yù)名“快節(jié)奏、大容量”。實(shí)際上這是應(yīng)試教育下典型的舍本逐末的錯(cuò)誤做法，致使學(xué)生中出現(xiàn)兩種錯(cuò)誤的傾向，一是認(rèn)為概念的學(xué)習(xí)單調(diào)乏味，不去重視它，不求甚解，導(dǎo)致對(duì)概念認(rèn)識(shí)的模糊；二是對(duì)基本概念只是死記硬背，沒有透徹理解，只有機(jī)械、零碎的認(rèn)識(shí)。結(jié)果導(dǎo)致學(xué)生在沒能正確理解數(shù)學(xué)概念，無法形成能力的情況下匆忙解題，使得學(xué)生只會(huì)模仿老師解決某些典型的題和掌握某類特定的解法，一旦遇到新的背景、新的題目就束手無策，進(jìn)一步導(dǎo)致教師和學(xué)生為了提高成績(jī)陷入無底的題海之中。因而在數(shù)學(xué)新課標(biāo)實(shí)施的背景下，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)進(jìn)行反思，針對(duì)不足提出教學(xué)建議顯得尤為迫切和必要。

要改變數(shù)學(xué)概念講不透的現(xiàn)狀，筆者談?wù)勛约簩?duì)該方面的見解：其一，處理好講與練的關(guān)系，在肯定科學(xué)訓(xùn)練對(duì)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的作用的同時(shí)，教師應(yīng)重視對(duì)數(shù)學(xué)概念的講解，通過講解向?qū)W生全面系統(tǒng)地傳授概念知識(shí)。將講和練有機(jī)地結(jié)合在一起，為概念講解贏得時(shí)間。其二，轉(zhuǎn)變教師的教學(xué)觀念，實(shí)現(xiàn)由單一的課程實(shí)施者向課程的研究者，建設(shè)者和課程資源開發(fā)重要力量的角色轉(zhuǎn)變。概念教學(xué)最好不要囿于課本，應(yīng)盡量從學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過講解幫助學(xué)生形成良好的概念網(wǎng)絡(luò)，真正在講上下工夫，力爭(zhēng)把數(shù)學(xué)概念講透。

教師應(yīng)真正做到如課標(biāo)中要求的轉(zhuǎn)變自己的教學(xué)觀念，筆者認(rèn)為接下來更多的是要注重概念的講解過程，采取的有效方式，在這方面筆者有很深的感觸。

一、在體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的過程中認(rèn)識(shí)概念

數(shù)學(xué)概念的引入，應(yīng)從實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，提出問題。通過與概念有明顯聯(lián)系、直觀性強(qiáng)的例子，使學(xué)生在對(duì)具體問題的體驗(yàn)中感知概念，形成感性認(rèn)識(shí)，通過對(duì)一定數(shù)量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質(zhì)屬性。

如在“異面直線”概念的教學(xué)中，教師最好先陳述概念產(chǎn)生的背景。如在長(zhǎng)方體模型中，讓學(xué)生觀察長(zhǎng)方體的各條棱中，是否存在兩條既不平行又不相交的直線？若存在，請(qǐng)同學(xué)們找出來。教師接下來告訴學(xué)生像這樣的兩條直線就叫做異面直線。接著提出“什么是異面直線”的問題，讓學(xué)生相互討論，嘗試敘述，經(jīng)過反復(fù)修改補(bǔ)充后，給出簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x：“我們把不在任何一個(gè)平面上的兩條直線叫做異面直線。”經(jīng)過了學(xué)生自己的直觀感知，歸納概括的基礎(chǔ)上，再讓學(xué)生找出教室或長(zhǎng)方體中的異面直線，進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)概念的理解。最后以平面作襯托，引導(dǎo)學(xué)生如何畫出異面直線的圖形。學(xué)生經(jīng)過以上過程對(duì)異面直線的概念有了明確的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也經(jīng)歷了概念發(fā)生發(fā)展過程的體驗(yàn)，更有利于學(xué)生對(duì)概念的把握。這一點(diǎn)在新課標(biāo)教材改革后有明顯的體現(xiàn)。

二、在挖掘新概念的內(nèi)涵與外延的基礎(chǔ)上理解概念

一個(gè)新概念的引入，無疑是對(duì)已有概念的繼承、發(fā)展和完善。有些概念由于其內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個(gè)層次，逐步加深提高。如三角函數(shù)的定義，經(jīng)歷了以下三個(gè)循序漸進(jìn)、不斷深化的過程：（1）用直角三角形邊長(zhǎng)的比刻畫的銳角三角函數(shù)的定義；（2）用點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)的定義；（3）任意角的三角函數(shù)的定義，等等?？梢姡呛瘮?shù)的定義在三角函數(shù)教學(xué)中可謂重中之重，是整個(gè)“三角”部分的奠基石，它貫穿于與“三角”有關(guān)的各部分內(nèi)容，并起著關(guān)鍵作用。所以重視概念教學(xué)，挖掘概念的內(nèi)涵與外延，對(duì)于學(xué)生理解概念顯得更有必要。常言道：磨刀不誤砍柴工。事實(shí)上，也正是如此，對(duì)概念的內(nèi)涵與外延的把握，不但不會(huì)耽誤例題的講解，反而會(huì)相得益彰。

三、類比鄰近概念，引入新概念

任何數(shù)學(xué)概念必定有與之相關(guān)的鄰近概念，因此教學(xué)中要以學(xué)生已掌握了的知識(shí)為基礎(chǔ)，從學(xué)生的鄰近概念出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生探求新舊概念之間的區(qū)別和聯(lián)系。這樣有助于學(xué)生掌握概念之間的相互聯(lián)系，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理論整體性與嚴(yán)密性的把握。

例如，曲線的方程和方程的曲線的概念引入。首先請(qǐng)學(xué)生回答一、三象限的角平分線方程是什么？學(xué)生都會(huì)說：是x-y=0。接著再問：為什么是x-y=0呢？學(xué)生便會(huì)積極思考，再啟發(fā)學(xué)生注意：角平分線是直線，那么請(qǐng)學(xué)生回顧，直線的方程和方程的直線又是如何定義的呢？學(xué)生會(huì)回答：①直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；②以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上。繼而讓學(xué)生觀察圖像為曲線的拋物線y=x和正弦函數(shù)y=sinx的圖像，辨析它們是否也滿足這一點(diǎn)。通過直觀對(duì)比，觀察，啟發(fā)學(xué)生概括曲線和方程相互表示的條件。最后教師引導(dǎo)學(xué)生用類比直線的方程和方程的直線的方法給這類數(shù)與形和諧統(tǒng)一的曲線和方程下個(gè)定義。

當(dāng)然，對(duì)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，乃至所有的課堂教學(xué)，教師始終應(yīng)更注重的是引導(dǎo)學(xué)生自主探索，發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納，從而形成概念。