帳篷設(shè)計(jì)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

吳曉紅

摘 要： 本文研究的是對帳篷的設(shè)計(jì)用料最省的問題。作者通過對帳篷的用途的分析，利用建立求解帳篷面料大小及支桿大小的初等數(shù)學(xué)模型和選擇支桿材料及防雨材料的數(shù)學(xué)模型。

關(guān)鍵詞： 初等數(shù)學(xué) 棱錐 數(shù)學(xué)模型

一、問題重述

假設(shè)你是一個(gè)戶外運(yùn)動(dòng)的愛好者，你希望你的帳篷牢固、抗風(fēng)、防雨，有盡可能大的室內(nèi)空間；因?yàn)樨?cái)力物力均不允許，所以要使所設(shè)計(jì)的帳篷面積最小且符合要求。這是一個(gè)優(yōu)化模型。

首先原材料均需購買，所以我先通過網(wǎng)上調(diào)查設(shè)計(jì)帳篷所需要的原材料種類、規(guī)格、性能及價(jià)格，根據(jù)所需選定原材料，又因?yàn)槭忻嫔喜牧蟽r(jià)格參差不齊，所以選擇較便宜的且符合自身設(shè)計(jì)要求的材料。

其次我設(shè)計(jì)的側(cè)重面主要是防雨，而其他的性能均通過材料的提高達(dá)到；防雨，一方面是下雨時(shí)不可以讓雨水漏進(jìn)帳篷，另一方面就是帳篷不可以有雨水的堆積，從而使帳篷發(fā)生坍塌；而前者我們可以通過采購好的有防水涂層的面料來作為帳篷的外帳，后者則需要設(shè)計(jì)較好的外形，而這個(gè)外形設(shè)計(jì)則為我本次模型的側(cè)重點(diǎn)。

由淺入深討論，通過簡化帳篷的形狀，假設(shè)帳篷為一個(gè)三棱柱（四棱臺會(huì)積水），對會(huì)淋到雨的兩個(gè)側(cè)面進(jìn)行受力分析，使側(cè)面受到的力最小，那么帳篷便不易被擊垮。側(cè)面所受力是雨滴給的，而雨滴的力不僅僅是雨滴的質(zhì)量（分析時(shí)，雨滴質(zhì)量過小，可以忽略不計(jì)），雨滴從高空落下最開始做自由落體運(yùn)動(dòng)，因?yàn)槭芸諝庾枇Φ淖饔茫笃谑芰ζ胶庾鰟蛩龠\(yùn)動(dòng)，落到帳篷上具有一個(gè)收尾速度，由收尾速度可以得出打在帳篷上的水柱高度，再利用壓力方程可以計(jì)算出水滴給帳篷上一點(diǎn)的壓力；對帳篷面的受力情況，進(jìn)行力的分析，求帳篷受力最小值的情況下帳篷側(cè)面與水平面的夾角。

最后，通過受力分析、作圖、計(jì)算等一系列步驟，計(jì)算出最適合的外形輪廓。

二、問題假設(shè)

1.假設(shè)風(fēng)向水平與地面。

2.假設(shè)降雨方向?yàn)榇怪庇诘孛妗?/p>

3.假定帳篷為棱錐體。

4.不考慮帳篷的透風(fēng)性。

5.假定帳篷底面的長度大于或等于其寬度x≥y。

三、符號說明

x：帳篷底面的長度。

y：帳篷底面的寬度。

z：帳篷的高度。

l：人體身高。

l■：風(fēng)繩的長度。

l■：支架的長度。

S■：帳篷地面面積。

S：帳篷總面積。

wp■：單位面積風(fēng)的動(dòng)壓。

wp■：單位面積雨水的動(dòng)壓。

r■：風(fēng)的密度。

v■：風(fēng)的速度。

r■：雨水的密度。

v■：雨水的速度。

Fn：支架所支撐的力。

F■：帳篷所承受的風(fēng)力。

F■：支架所支撐的力。

四、模型的建立與求解

在研究帳篷時(shí)，因?yàn)橐紤]到帳篷的穩(wěn)定性，也就是帳篷在抗風(fēng)壓、雨水壓力時(shí)的支撐能力，以及自身的穩(wěn)定性（不易變形，支撐時(shí)不易發(fā)生滾動(dòng)等）方面考慮，我選用棱錐作為帳篷的骨架。同時(shí)要考慮到內(nèi)部空間要適宜人的休息和活動(dòng)，所以最終選擇了四棱錐作為基礎(chǔ)的骨架。然后從人體因素和環(huán)境因素考慮帳篷的大小要求和通過抗風(fēng)性能及抗雨水能力對表面材料的選擇。

建議模型如下：

1.人體因素

建立帳篷的目的是人短時(shí)間居住在里面，所以帳篷的底面積及長寬高要在一定的程度上適宜人的居住。所以需要帳篷的底面積s要大于人體平躺睡眠時(shí)需要占有的橫截面積。并且?guī)づ竦牡孛骈L度x要大于人體的身高l。然而人的高矮胖瘦存在一定的不同，所以帳篷的寬度y要遠(yuǎn)大于人體的單臂展長度，通常人體的單臂章長度為（1-0.618）l。因此可有條件：

X>l，y>（1-0.618）l

又根據(jù)面積公式可得出帳篷的底面積為：

因?yàn)閹づ袷侨祟愒谑彝饣顒?dòng)的簡易場所，當(dāng)風(fēng)力大于八級時(shí)風(fēng)力已超過了成人室外活動(dòng)最大風(fēng)力承受值，所以不予考慮超過7級以上的風(fēng)力。假定帳篷地面長度為2m，高度為1m，帳篷自重10kg。經(jīng)過計(jì)算得出不同風(fēng)力對應(yīng)的支桿應(yīng)該承受的力如下：

同時(shí)經(jīng)過調(diào)查不同支桿所承受的最大壓力不同，如此可通過將要宿營的地方的風(fēng)力特點(diǎn)及最大風(fēng)力選擇合適的支桿制作帳篷的支架。如下表所示：

對于帳篷的面料及其防雨性能的選擇與抗風(fēng)有所不同，面料只需選取190Td滌綸即可。而防御主要是從面料的表面涂料實(shí)現(xiàn)其功能的。防雨量的性能指標(biāo)是按每平方厘米承受多少毫米的水柱計(jì)算的。同時(shí)，降雨量是指從天空降落到地面上的液態(tài)或固態(tài)（經(jīng)融化后）水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲透、流失，而在水平面上積聚的深度。其中小雨指日降雨量在10毫米以下；中雨日降雨量為10～24.9毫米；大雨日降雨量為25～49.9毫米；暴雨日降雨量為50～99.9毫米；大暴雨日降雨量為100～250毫米；特大暴雨日降雨量在250毫米以上。經(jīng)整理如下：

考慮到降雨等級達(dá)到暴雨時(shí)已經(jīng)威脅到人在室外的安全的問題，我們在計(jì)算時(shí)不予考慮暴雨及其以上級別的宿營帳篷。防雨水是指在一定的水壓沖淋1小時(shí)面料沒有明顯滲水。通常雨傘的防水能力是PU1000mm。根據(jù)調(diào)查可知，在野外環(huán)境中PU800涂層可以防小到中雨，PU1000—1200的涂層可以防中到大雨。如此可根據(jù)宿營地的降雨情況進(jìn)行選取涂層涂料。

綜合上面兩方面情況可整理出制作帳篷的材料的限定條件如下：

需要的面料大?。?/p>

如此對照上述內(nèi)容可以根據(jù)具體的個(gè)人情況和宿營地情況進(jìn)行選擇。

按照我認(rèn)自身的條件建立一個(gè)帳篷如下：

我個(gè)人身高為178cm。宿營地為hz的bmh，平均降雨量20～37mm。常見最大風(fēng)力為4級。所以需要的滌絲尼龍面料大小為109550cm，支架選用鋁合金長度為180.3cm，防雨材料采用PU10002。

五、模型評價(jià)

此模型較好地分析了雨對于帳篷面的影響，并且模型建立時(shí)候，思路較清晰；但是因?yàn)橹饕强紤]雨水對于帳篷的影響，其他方面的影響沒有深入考慮，而那些影響并不是可以單純地依靠材料的提高達(dá)到的，因?yàn)椴牧闲阅艿奶岣撸c之相對的價(jià)格也會(huì)變高；模型只是將帳篷外形簡化成一個(gè)四棱柱，但是真實(shí)的帳篷形狀并不是這樣的，模型還應(yīng)該更深入討論。

參考文獻(xiàn)：

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