探討靜力學(xué)中物體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的幾種類(lèi)型及求解方法

周佳園

摘 要： 正確求解物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題，是工程力學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容。本文對(duì)物體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的幾種類(lèi)型加以總結(jié)，并介紹相應(yīng)求解方法。

關(guān)鍵詞： 物體系統(tǒng) 平衡問(wèn)題 求解方法

物體系統(tǒng)平衡問(wèn)題相對(duì)于單個(gè)物體平衡問(wèn)題要復(fù)雜一些，學(xué)生在求解物體系統(tǒng)平衡問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)感覺(jué)無(wú)從下手，不知道如何求解。對(duì)于物體系統(tǒng)平衡問(wèn)題與單個(gè)物體平衡問(wèn)題的區(qū)別在于研究對(duì)象的選擇及解題的順序。研究對(duì)象可以是整體，也可以取單個(gè)或一個(gè)部分的物體系統(tǒng)，解題順序按照研究對(duì)象選擇的順序而定。本文把物體系統(tǒng)平衡問(wèn)題分為幾種類(lèi)型，并為每種類(lèi)型提供解題方法，只要分清屬于哪種類(lèi)型，并對(duì)癥下藥，問(wèn)題便會(huì)迎刃而解。

類(lèi)型一：以整體為研究對(duì)象未知力個(gè)數(shù)小于3個(gè)。如圖1所示，該物體系統(tǒng)中，包含3個(gè)構(gòu)件AB、ED、CD，以整體為研究對(duì)象，A處固定鉸鏈2個(gè)約束反力，B處活動(dòng)鉸鏈1個(gè)約束反力，總共3個(gè)約束反力，受力圖如圖2所示，可以直接列3個(gè)平衡方程求解。如有需要還可以以個(gè)體為研究對(duì)象，約束反力小于等于3個(gè)，可以列平衡方程求解。

類(lèi)型二：以整體為研究對(duì)象，未知力個(gè)數(shù)大于3個(gè)，以個(gè)體為研究對(duì)象未知力個(gè)數(shù)小于等于3個(gè)。如圖3所示，物體系統(tǒng)包含AB、BC兩個(gè)桿件，已知均布載荷q、集中力F，以整體為研究對(duì)象，A處固定端約束3個(gè)約束反力，C處活動(dòng)鉸鏈約束1個(gè)約束反力，未知力個(gè)數(shù)大于3個(gè)，此時(shí)以整體為研究對(duì)象列3個(gè)方程不能求解4個(gè)未知力。所以把個(gè)體拿出來(lái)畫(huà)受力圖分析，在求解時(shí)應(yīng)該先取BC桿為研究對(duì)象，受力圖如圖4所示，因?yàn)锽C桿上的未知力為3個(gè)，列平衡方程可以直接求解出來(lái)，而AB桿受力圖如圖5所示，未知力為5個(gè)，不能直接求解。以BC桿為研究對(duì)象，列平衡方程，求解出B、C處的約束反力，再以整體或者AB為研究對(duì)象就可以求出A兩處的約束反力。

類(lèi)型三：以整體或以個(gè)體為研究對(duì)象，未知力個(gè)數(shù)大于3個(gè)，但是有3個(gè)未知力交于一點(diǎn)。如圖6所示，物體系統(tǒng)中有兩個(gè)構(gòu)件，以整體為研究對(duì)象4個(gè)未知力，如圖7所示。以個(gè)體AD、BC為研究對(duì)象，受力圖如圖8、9所示，也都有4個(gè)未知力，無(wú)法用3個(gè)平衡方程求出4個(gè)未知力。

此時(shí)我們分析一下這個(gè)物體系統(tǒng)的受力圖，以BC為研究對(duì)象時(shí)，如圖8所示，4個(gè)未知力，列平衡方程無(wú)法全部求出，

我們回頭看一下問(wèn)題之所以可以求解，是因?yàn)檫@道題目符合這樣一個(gè)特征，4個(gè)未知力中，有3個(gè)未知力交于一定，我們可以利用力矩式求出另一個(gè)未知力。所以我們?cè)谇蠼馕矬w系統(tǒng)平衡問(wèn)題時(shí)，一定要仔細(xì)觀察有沒(méi)有3個(gè)未知力交于一點(diǎn)的情況，這是我們求解問(wèn)題的突破口。這道題目我們還可以：（1）先以整體為研究對(duì)象，因?yàn)镕交于一點(diǎn)A，以A點(diǎn)為矩心列力矩式方程，則可以求出F；（2）再以BC為研究對(duì)象，列方程求解出B、C處的約束反力；（3）最后以整體或者AC為研究對(duì)象，求出A處的約束反力。此處不再列出方程式。

類(lèi)型四：不滿足以上三種類(lèi)型，這一類(lèi)問(wèn)題在靜力學(xué)中無(wú)法求解，需要結(jié)合材料力學(xué)的知識(shí)，創(chuàng)建補(bǔ)充方程求解，這一類(lèi)型本文不加以介紹。

綜上所述，在求解物體系統(tǒng)平衡問(wèn)題時(shí)，首先不要著急，靜下心來(lái)，以整體為研究對(duì)象畫(huà)出受力圖，然后把系統(tǒng)里的每個(gè)個(gè)體的受力圖畫(huà)出來(lái)，再按照上面的三種類(lèi)型分析，屬于哪一種類(lèi)型，選擇對(duì)應(yīng)的解題方法即可。