用概率玩游戲

方弦

除了應(yīng)用于那些高大上的金融行業(yè)外，概率論還能為我們?cè)O(shè)計(jì)一些小小的消遣游戲。畢竟人們雖然希望避免天災(zāi)人禍這樣巨大的不確定性，但卻十分歡迎無(wú)傷大雅小小的不確定性。一場(chǎng)游戲，一局勝負(fù)，就能換來(lái)大家的歡笑。在桌上彈跳的骰子，在指尖翻動(dòng)的硬幣，都能給我們帶來(lái)緊張刺激的樂(lè)趣。

既然偶有閑暇，何不玩?zhèn)€小游戲？

完全公平的對(duì)決

與紙幣相比，雖然硬幣的流通價(jià)值通常不大，但它卻具有一個(gè)保衛(wèi)世界和平的職能——解決各種爭(zhēng)端。據(jù)說(shuō)，當(dāng)遇到不可調(diào)解的分歧時(shí)，為了做出決定，人們的首選往往是猜拳，其次就是拋擲硬幣。就連足球賽場(chǎng)上開(kāi)球方的選擇，也是由硬幣決定的。

如果一枚硬幣兩面的性質(zhì)（如重量、材質(zhì)等）完全一樣，那么擲出正面或者反面的可能性顯然是均等的——應(yīng)當(dāng)是50%與50%。但事實(shí)卻并非如此，由于設(shè)計(jì)的原因，硬幣正反面的花紋是不一樣的，從而導(dǎo)致了重心與中心的微小偏差。

以人民幣一元硬幣為例，正面是代表面額的“1”字，而反面則是菊花，那么重心就會(huì)稍微偏向反面；歐元就更麻煩了，不同歐元區(qū)國(guó)家的鑄幣廠會(huì)打造出不同的背面花紋，因此重心偏向也因這些花紋而異。正是因?yàn)檫@小小的重心偏向，導(dǎo)致我們?cè)跀S硬幣時(shí)，正反面出現(xiàn)的概率也會(huì)有些許偏差。幸好因花紋導(dǎo)致的概率偏差非常小，我們?cè)谌粘Ｉ钪型梢院雎圆挥?jì)。

但是，我們有沒(méi)有辦法修正這個(gè)偏差呢？或者，至少能找到一個(gè)方法，讓有重心偏向的硬幣產(chǎn)生無(wú)偏差的結(jié)果，使游戲盡量公平呢？

我們假設(shè)某枚硬幣擲出正面的概率是p，并用以下方法產(chǎn)生拋擲硬幣的結(jié)果：擲兩次硬幣，如果兩次的結(jié)果相反，則認(rèn)定后擲出的情況為結(jié)果，否則重新再擲兩次。更具體地說(shuō)，如果結(jié)果是“反正”的話，那就當(dāng)作擲出了正面；如果是“正反”的話，那就認(rèn)定結(jié)果為反面；如果是“正正”或者“反反”的話，那就重新再來(lái)。

在這樣的游戲設(shè)定中，每次拋擲硬幣，結(jié)果為正面或反面的概率都是p（1-p），顯然是完全公平的。以后再跟你的朋友玩硬幣游戲的時(shí)候，切記使用這個(gè)方法，并告訴他：“這是理性的科學(xué)！”

擲硬幣排先后

如果你和你的小伙伴需要決定游戲時(shí)的先后順序，那么拋硬幣應(yīng)當(dāng)是個(gè)很好的解決方案。但如果小伙伴不止一位的話，單靠硬幣可能就不太容易解決問(wèn)題了。

假設(shè)我們要從四個(gè)人里公平地選出一人，那么共擲兩次硬幣，并將四種不同的結(jié)果（正正、正反、反正、反反）分別指派給每個(gè)人，擲出哪種結(jié)果就選哪個(gè)人，這個(gè)方法似乎還是挺方便的。當(dāng)然，只有總?cè)藬?shù)為偶數(shù)時(shí)，才可以使用這種方法，但如果只有三個(gè)人呢？

面對(duì)這種情況，我們還有一種比較容易的解決方法：還是拋擲兩次硬幣，并將正正、正反、反正三種結(jié)果指派給三個(gè)人。如果擲出的結(jié)果是指定的結(jié)果之一，那么就選出對(duì)應(yīng)的人。當(dāng)然，如果我們運(yùn)氣不好，擲出“反反”的結(jié)果，那就重新開(kāi)始另一輪的硬幣拋擲。

顯然，這種方法保證了游戲的公平性。因?yàn)樵诿枯営矌艗仈S中，每種結(jié)果出現(xiàn)的概率都是相同的。但萬(wàn)一我們一連好幾輪都擲出“反反”，那這種方法會(huì)不會(huì)過(guò)于浪費(fèi)時(shí)間了呢？

不可能！我們不妨計(jì)算一下，每輪擲出“反反”重新開(kāi)始的概率恰好是1/4，而n輪都出現(xiàn)如此情況的概率應(yīng)當(dāng)是1/4的n次方。當(dāng)n越來(lái)越大的時(shí)候（即拋擲硬幣輪數(shù)越來(lái)越多），這個(gè)概率會(huì)迅速變小。如果n=5，那么數(shù)值已經(jīng)變成1/1024了。試想一下，3個(gè)骰子同時(shí)擲出“6”的概率也僅有1/216而已。

其實(shí)直觀來(lái)看，一輪拋擲無(wú)法決出結(jié)果的概率也并不高，所以這個(gè)方法應(yīng)當(dāng)不會(huì)耗費(fèi)我們太多時(shí)間。更嚴(yán)格的計(jì)算表明，用上述方案從三個(gè)人中選出一個(gè)，平均只需要拋擲8/3次硬幣就能得出結(jié)果，算起來(lái)也只比兩次多一點(diǎn)點(diǎn)而已，說(shuō)明這種方法相當(dāng)有效。

這種方法可以推廣到任意人數(shù)，而且平均需要投擲硬幣的次數(shù)也一定不會(huì)太多。事實(shí)上，不論使用哪種方法，隨著人數(shù)的增長(zhǎng)，平均投擲次數(shù)也一定會(huì)相應(yīng)增加。

杯子下的雞蛋

你一定看到過(guò)魔術(shù)師常常用杯子、雞蛋和硬幣作為道具，向觀眾展示他的魔法。假如今天我們的游戲也有三個(gè)不透明的紙杯，倒扣在桌上，其中分別藏著兩枚硬幣和一個(gè)雞蛋，然后由你的朋友偷偷將它們的位置隨機(jī)打亂，而你的任務(wù)就是指出雞蛋的正確位置。如果只有一次機(jī)會(huì)，顯然你完成任務(wù)的概率只有1/3。

如果你的朋友還愿意給你一點(diǎn)幫助，那結(jié)果會(huì)有所改變嗎？當(dāng)你指定一個(gè)杯子藏有雞蛋后，那么其余的兩個(gè)杯子中至少有一個(gè)藏著一枚硬幣。這時(shí)，如果你的朋友在那兩個(gè)杯子中，打開(kāi)了一個(gè)藏著硬幣的杯子，那么你該如何選擇？是依舊堅(jiān)持原來(lái)的決定，還是換另一個(gè)杯子？也許你會(huì)問(wèn)，這兩個(gè)選擇之間有什么不同嗎？既然已經(jīng)有一個(gè)藏著硬幣的杯子打開(kāi)了，那選擇剩下兩個(gè)杯子中的任意一個(gè)不都一樣嗎，換與不換有什么區(qū)別呢？

如果我們換一種思考方式，得到的結(jié)果就會(huì)大不相同。假如你還是堅(jiān)持原來(lái)的選擇，那么無(wú)論你的朋友在游戲中途做了什么，都不會(huì)影響你的獲勝概率——仍舊和原來(lái)一樣，是1/3。但如果你更換選擇，那么獲勝概率就會(huì)變成2/3。這究竟是什么原因，為什么換一個(gè)杯子會(huì)讓你的獲勝概率提高1倍呢？

讓我們來(lái)做一個(gè)詳細(xì)的概率分析。如果一開(kāi)始你就選擇了正確的杯子，那么換杯子的確會(huì)導(dǎo)致失敗，但這種情況發(fā)生的概率只有1/3。但如果一開(kāi)始你就沒(méi)有選對(duì)杯子，那么剩下的兩個(gè)杯子中就一個(gè)是硬幣，一個(gè)是雞蛋。由于你的朋友給了你一點(diǎn)小幫助，那么很顯然，剩下的那個(gè)杯子里藏有雞蛋。如果此時(shí)你更改選擇的話，必然能完成任務(wù)，而這種情況發(fā)生的概率則是2/3。

其實(shí)我們不難理解，之所以換與不換的結(jié)果有差別，就是因?yàn)槟愕呐笥阎离u蛋在哪里。而他通過(guò)打開(kāi)一個(gè)藏有硬幣的杯子，間接地幫助你縮小了范圍，確定了答案。

這個(gè)問(wèn)題又被稱(chēng)為“三門(mén)問(wèn)題”，其基礎(chǔ)模型正是出自那檔著名的美國(guó)電視節(jié)目《Let’s make a deal》。在節(jié)目中，選手會(huì)面對(duì)一個(gè)大屏幕，大屏幕上有3扇門(mén)，其中兩扇藏著羊，另一扇則藏著汽車(chē)，能選出藏有汽車(chē)那扇門(mén)的參賽者就能開(kāi)走它。游戲的玩法與上述的硬幣、雞蛋游戲如出一撤。如果我們能掌握點(diǎn)概率學(xué)知識(shí)，說(shuō)不定關(guān)鍵時(shí)刻就能得償所愿！

當(dāng)然，除了應(yīng)付這些小游戲外，概率論還能在很多“大游戲”中一顯身手。譬如在網(wǎng)游中，如何更有效地獲取稀有道具；或是在特定情境下，如何在增加一倍攻擊力和擁有10%概率打出10倍暴擊的道具間做出選擇。這些問(wèn)題都能由概率論給出答案。

雖然概率的美妙之處就在于它的隨機(jī)性和不確定性，但我們不得不承認(rèn)，玩游戲時(shí)用概率，算算更有趣！

讓我們準(zhǔn)備3張卡片，1號(hào)卡片正反面都是黑色（A與D），2號(hào)卡片正反面都是紅色（B與E），3號(hào)卡片一面是黑色、另一面是紅色（C與F）。然后把卡片放進(jìn)一個(gè)盒子里，搖一搖，讓對(duì)手抽一張平放在桌子上，接著和他賭反面的顏色和正面的一樣。

直覺(jué)告訴我們，獲勝的概率應(yīng)當(dāng)是1/2，但事實(shí)上并非如此。在這個(gè)被稱(chēng)為“三張卡片的騙局”的游戲中，你的獲勝概率究竟是多少呢？